力矩分配法
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C M AB = CM BA = −28.6
q = 12kN / m
A
EI
B
EI
C
10m
q = 12kN / m
10m
u MB
A 2 ql / 12
B
u MB
C
M
C CB
=0
A
B
C
最终杆端弯矩: 最终杆端弯矩 M AB = −100 − 28.6 = −128.6 M BA = 100 − 57.1 = 42.9 M BC = 0 − 42.9 = −42.9 M CB = 0
B
d M BC
d u M BA = µ BA ( − M B )
d u M BC = µ BC ( − M B ) d d M BA M BC ---分配弯矩 分配弯矩
令
µ BA µ BC
S BA = S BA + S BC S BC = S BA + S BC
µ BA µ BC ---分配系数 分配系数
---传递系数 ---传递系数 1 1
A
i i i
B
2i C=1/2
传递弯矩
B
C=0 C=C=-1 与远端支承 情况有关
3i A 1
远端定向时: 远端定向时: i A
B
固定状态: 固定状态 F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m F M BA = 100kN .m F F M BC = M CB = 0 放松状态: 放松状态 d u M BA = µ BA ( − M B ) = −57.1 d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9
EI
B
EI
C
6m
4m
练习:作弯矩图 练习:
解: EI 3 S BA = 3 × EI = 10 10 EI S BC = 5 0.3 EI µ BA = = 0.6 (0.3 + 0.2) EI 0.2 EI = 0.4 µ BC = (0.3 + 0.2) EI
100kN .m
A
100 kN .m
2
B
EI
10m
10m
10m
u M2
M = − ql / 12 = −100
F 12 2
M = ql / 12 = 100 F M = M 1FA + M 12 = 50 F F M = M 21 + M 2 B = 100 放松结点2(结点 固定): 结点1固定 放松结点 结点 固定 S 21 = 4i S 2 B = 3i µ 21 = 0.571 µ 2 B = 0.429
EI
B
EI
C
10m
5m
100
50
µ
M F − 100
分 配 传 递
0.6 0.4 − 50 0
30 20
0 − 20
0
100
100 kN .m
M − 100
− 20
20
− 20
20
二.多结点力矩分配
固定状态: 固定状态 M 1FA = ql 2 / 8 = 150
A
q = 12kN / m
EI
1
EI
F 21 u 1 u 2 2
A
q = 12kN / m
M 1u
ql / 12
ql 2 / 8
12
2
B
28.6
50
6.1 -6.1 6.1 3.5
100 100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
放松结点1(结点 固定 放松结点 结点2固定 结点 固定):
-9.2 -12.2 1.8 1.8
S12 = 4i S1 A = 3 i µ 12 = 0.571 µ 1 A = 0.429
d BA
d u M BA = µ BA ( − M B )
d u M BC = µ BC ( − M B ) d d M BA M BC ---分配弯矩 分配弯矩
µ BA µ BC ---分配系数 分配系数
µ BC
S BC = S BA + S BC
一个结点上的各杆端分配系数总 和恒等于1 和恒等于1。
−
1 64
−
3 64
练习
20kN / m 40kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20kN / m
4m
40kN .m
60
A
60
B
40kN.m
u MB
C
M = 60 + 40 = 100kN .m
u B
作图示梁的弯矩图( 作图示梁的弯矩图 利用传递系数的概念)
60
40kN.m
10kN
20kN.m A
C M AB = CM BA = −28.6
C M CB = 0
0 0
配 传 递
最终杆端弯矩: 最终杆端弯矩 M AB = −100 − 28.6 = −128.6 q = 12kN / m 42.9 M BA = 100 − 57.1 = 42.9 M BC = 0 − 42.9 = −42.9 128 .6 M CB = 0
M − 128 .6 42.9 − 42.9
0
M
计算图示梁,作弯矩图 例1.计算图示梁 作弯矩图 计算图示梁 解: EI S BA = 4 × = 0.5 EI 8 EI S BC = 3 × = 0.5 EI 6 0.5 EI µ BA = = 0.5 (0.5 + 0.5) EI 0.5 EI = 0.5 µ BC = (0.5 + 0.5) EI
d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9
A
B
C
远端弯矩 C= 近端弯矩
远端固定时: 远端固定时: 4i 远端铰支时: 远端铰支时:
C d M AB = CM BA = 0.5 × ( −57.1) = −28.6 C d M CB = CM BC = 0 × ( −42.9) = 0
F M BA = 100kN .m
F F M BC = M CB = 0
q = 12kN / m
ϕB
A
EI
B
EI
C
10m
q = 12kN / m
10m
u MB
A ql 2 / 12
ϕB
B
u MB
C
u F F M B = M BA + M BC
= 100kN .m
放松状态: 放松状态:
A
M
F BA
B
u MB
M
作剪力图,求反力 作剪力图 求反力
∑M
A
=0
A
q = 12 kN / m
40.3
1 2
B
Q 1 A × 10 + 140 + 12 × 10 × 5 = 0 Q 1 A = − 74
M
140
∑F
Q
A1
y
=0
= 46
Q A1
46
A
Q1 A
69.97 74 50.03 4.03
1
Q
∑
Fy = 0
74
C
需借助分配系数 传递系数等概念求解 需借助分配系数, 传递系数等概念求解 分配系数
B
F M BC
转动刚度：使AB杆的 端产生单位转动，在A端所需施 杆的A端产生单位转动， 端所需施 杆的 端产生单位转动
加的杆端弯矩称为 称为AB杆 端的转动刚度 记作S 端的转动刚度， 加的杆端弯矩称为 杆A端的转动刚度，记作 AB。
A
EI
40kN
10kN / m
B
4m
EI
C
4m
6m
µ
M F − 40
分 配 传 递
0.5 0.5 40 − 45
2.5 2.5
0 0
1.25
M − 38 .75
42.5 − 42.5 42.5
40kN 10kN / m
0
40
40 kN
45 10kN / m
38 .75
40
M
计算图示刚架,作弯矩图 例2.计算图示刚架 作弯矩图 计算图示刚架 解:
q
1 64
B
2ql
11 32
1
1 16
C
EI = C
3 64
S1 B = 3 i S1 A = 4 i S1 C = i 4i = 1/ 2 µ1 A = 4i + 3i + i 3i = 3/8 µ1B = 4 i + 3i + i i = 1/ 8 µ 1C = 4 i + 3i + i
q
ql / 8 ql / 4
一、力矩分配法基本概念
固定状态: 固定状态: u M B ---不平衡力矩 顺时针为正 不平衡力矩,顺时针为正 不平衡力矩 固端弯矩---荷载引起的单 固端弯矩 荷载引起的单 跨梁两端的杆端弯矩,绕杆 跨梁两端的杆端弯矩 绕杆 端顺时针为正. 端顺时针为正 F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m
2 2
l
A
l
l
结点 杆端
µ
B B1
A A1
1 1A 1B 1C 1/2 3/8 1/8
C C1
2ql
ql 2 / 4
MF 0 所的结果是 0 分配 近似解吗? 近似解吗传递 M 0 q
-1/4 1/4 1/8
−
−
0
0
3 64
3 64
3 3 9 3 − − − 32 16 64 64
11 32 1 16
一个结点上的各杆端分配系 数总和恒等于1 数总和恒等于1。
S BC = 3i S BA = 4i µ BA = 4i /( 3i + 4i ) = 4 / 7 = 0.571
ϕB
u MB
µ BC = 3i /( 3i + 4i ) = 3 / 7 = 0.429
d u M BA = µ BA ( − M B ) = −57.1
S BC = 3i S BA = 4i µ BA = 4i /( 3i + 4i ) = 4 / 7 = 0.571
ϕB
u MB
A
M
d BA
B
u MB
C
µ BC = 3i /( 3i + 4i ) = 3 / 7 = 0.429
M
d BA
= µ BA ( − M ) = −57.1
u B
d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9
1
ql / 8
2
12
2
100 0 -57.1 -42.9 -6.1 3.5 2.6
0 0 0
28.6
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4 6.1 -9.2 -12.2 -6.1 1.8 6.1 1.8 3.5 2.6
分 配 传 递
0
M 0
A
0
q = 12 kN / m
40.3
2
B
… … ...
2.6
… … ...
A
q = 12kN / m
EI
1
EI
2
B
EI
A
q = 12 kN / m
1
2
B
10m
10m
10m
u M2
A
q = 12kN / m
M1u
ql / 12
µ
B
MF 0
0.429 0.571 0.571 0.429 150 -100 -28.6 -9.2 -12.2 1.8 -0.8 -1.0 140 -140 40.3 -40.3 140
1
69.97
R1 = 74 + 69 .97 = 143 .97 ( kN )( ↑ )
R1
例1：作图示连续梁的M图。EI等于常数，l1=6 m, l2=5 m， 作图示连续梁的M EI等于常数 等于常数， m， P=1000kN。（只计算二轮） P=1000kN。（只计算二轮） 。（只计算二轮
S 1 AB
1
A
i
B
4i
A
i
B
S AB = 4i
A i B S AB = 3i A
i
对等直杆，SAB只与B端的 对等直杆， 只与B 支撑条件有关， 支撑条件有关，而与近端 支承无关
A端一般称为近端（本端）， 端一般称为近端 本端）， 近端（ B端一般称为远端（它端）。 端一般称为远端 它端） 远端（
力矩分配法是渐进法的一种（逐次逼近法），是位 力矩分配法是渐进法的一种（逐次逼近法），是位 ）， 移法的变体。 移法的变体。
• •
适用范围是：连续梁和无结点线位移刚架。 适用范围是：连续梁和无结点线位移刚架。
力矩分பைடு நூலகம்法
理论基础：位移法； 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架； 适用范围：连续梁和无侧移刚架； 方法特点：概念生动形象， 方法特点：概念生动形象， 方法单一重复。 方法单一重复。
第二篇 超静定结构 第七章 力矩分配法
引言 问题的提出
• 计算超静定刚架或连续梁, 计算超静定刚架或连续梁,无论采用力法或 位移法, 均需建立和求解线性代数方程组 建立和求解线性代数方程组。 位移法, 均需建立和求解线性代数方程组。当未 知量较多时，计算工作非常繁重 工作非常繁重。 知量较多时，计算工作非常繁重。有时几乎不可 能完成。为此，提出了渐进法 渐进法， 能完成。为此，提出了渐进法，以避免解算联立 方程组。 方程组。
固定状态: 固定状态 F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m F M BA = 100kN .m F F M BC = M CB = 0
q = 12kN / m
A
EI
B
EI
C
10m
10m
µ 0.571 0.429 放松状态: 放松状态 d u 100 0 M BA = µ BA ( − M B ) = −57.1 M F − 100 d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9 分 − 28.6 − 57.1 − 42.9
B
S AB = i
M
M
d BA
d BC
= S BAϕ B
= S BC ϕ B
A
M
d BA
ϕB
u MB
B
u MB
C
u d d M B + M BA + M BC = 0 1 u ⋅ (− M B ) ϕB = S BA + S BC
B
d M BC
S BA u M = (− M B ) S BA + S BC S BC d u M BC = (− M B ) S BA + S BC S BA 令 µ BA = S BA + S BC
q = 12kN / m
A
EI
B
EI
C
10m
q = 12kN / m
10m
u MB
A 2 ql / 12
B
u MB
C
M
C CB
=0
A
B
C
最终杆端弯矩: 最终杆端弯矩 M AB = −100 − 28.6 = −128.6 M BA = 100 − 57.1 = 42.9 M BC = 0 − 42.9 = −42.9 M CB = 0
B
d M BC
d u M BA = µ BA ( − M B )
d u M BC = µ BC ( − M B ) d d M BA M BC ---分配弯矩 分配弯矩
令
µ BA µ BC
S BA = S BA + S BC S BC = S BA + S BC
µ BA µ BC ---分配系数 分配系数
---传递系数 ---传递系数 1 1
A
i i i
B
2i C=1/2
传递弯矩
B
C=0 C=C=-1 与远端支承 情况有关
3i A 1
远端定向时: 远端定向时: i A
B
固定状态: 固定状态 F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m F M BA = 100kN .m F F M BC = M CB = 0 放松状态: 放松状态 d u M BA = µ BA ( − M B ) = −57.1 d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9
EI
B
EI
C
6m
4m
练习:作弯矩图 练习:
解: EI 3 S BA = 3 × EI = 10 10 EI S BC = 5 0.3 EI µ BA = = 0.6 (0.3 + 0.2) EI 0.2 EI = 0.4 µ BC = (0.3 + 0.2) EI
100kN .m
A
100 kN .m
2
B
EI
10m
10m
10m
u M2
M = − ql / 12 = −100
F 12 2
M = ql / 12 = 100 F M = M 1FA + M 12 = 50 F F M = M 21 + M 2 B = 100 放松结点2(结点 固定): 结点1固定 放松结点 结点 固定 S 21 = 4i S 2 B = 3i µ 21 = 0.571 µ 2 B = 0.429
EI
B
EI
C
10m
5m
100
50
µ
M F − 100
分 配 传 递
0.6 0.4 − 50 0
30 20
0 − 20
0
100
100 kN .m
M − 100
− 20
20
− 20
20
二.多结点力矩分配
固定状态: 固定状态 M 1FA = ql 2 / 8 = 150
A
q = 12kN / m
EI
1
EI
F 21 u 1 u 2 2
A
q = 12kN / m
M 1u
ql / 12
ql 2 / 8
12
2
B
28.6
50
6.1 -6.1 6.1 3.5
100 100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
放松结点1(结点 固定 放松结点 结点2固定 结点 固定):
-9.2 -12.2 1.8 1.8
S12 = 4i S1 A = 3 i µ 12 = 0.571 µ 1 A = 0.429
d BA
d u M BA = µ BA ( − M B )
d u M BC = µ BC ( − M B ) d d M BA M BC ---分配弯矩 分配弯矩
µ BA µ BC ---分配系数 分配系数
µ BC
S BC = S BA + S BC
一个结点上的各杆端分配系数总 和恒等于1 和恒等于1。
−
1 64
−
3 64
练习
20kN / m 40kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20kN / m
4m
40kN .m
60
A
60
B
40kN.m
u MB
C
M = 60 + 40 = 100kN .m
u B
作图示梁的弯矩图( 作图示梁的弯矩图 利用传递系数的概念)
60
40kN.m
10kN
20kN.m A
C M AB = CM BA = −28.6
C M CB = 0
0 0
配 传 递
最终杆端弯矩: 最终杆端弯矩 M AB = −100 − 28.6 = −128.6 q = 12kN / m 42.9 M BA = 100 − 57.1 = 42.9 M BC = 0 − 42.9 = −42.9 128 .6 M CB = 0
M − 128 .6 42.9 − 42.9
0
M
计算图示梁,作弯矩图 例1.计算图示梁 作弯矩图 计算图示梁 解: EI S BA = 4 × = 0.5 EI 8 EI S BC = 3 × = 0.5 EI 6 0.5 EI µ BA = = 0.5 (0.5 + 0.5) EI 0.5 EI = 0.5 µ BC = (0.5 + 0.5) EI
d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9
A
B
C
远端弯矩 C= 近端弯矩
远端固定时: 远端固定时: 4i 远端铰支时: 远端铰支时:
C d M AB = CM BA = 0.5 × ( −57.1) = −28.6 C d M CB = CM BC = 0 × ( −42.9) = 0
F M BA = 100kN .m
F F M BC = M CB = 0
q = 12kN / m
ϕB
A
EI
B
EI
C
10m
q = 12kN / m
10m
u MB
A ql 2 / 12
ϕB
B
u MB
C
u F F M B = M BA + M BC
= 100kN .m
放松状态: 放松状态:
A
M
F BA
B
u MB
M
作剪力图,求反力 作剪力图 求反力
∑M
A
=0
A
q = 12 kN / m
40.3
1 2
B
Q 1 A × 10 + 140 + 12 × 10 × 5 = 0 Q 1 A = − 74
M
140
∑F
Q
A1
y
=0
= 46
Q A1
46
A
Q1 A
69.97 74 50.03 4.03
1
Q
∑
Fy = 0
74
C
需借助分配系数 传递系数等概念求解 需借助分配系数, 传递系数等概念求解 分配系数
B
F M BC
转动刚度：使AB杆的 端产生单位转动，在A端所需施 杆的A端产生单位转动， 端所需施 杆的 端产生单位转动
加的杆端弯矩称为 称为AB杆 端的转动刚度 记作S 端的转动刚度， 加的杆端弯矩称为 杆A端的转动刚度，记作 AB。
A
EI
40kN
10kN / m
B
4m
EI
C
4m
6m
µ
M F − 40
分 配 传 递
0.5 0.5 40 − 45
2.5 2.5
0 0
1.25
M − 38 .75
42.5 − 42.5 42.5
40kN 10kN / m
0
40
40 kN
45 10kN / m
38 .75
40
M
计算图示刚架,作弯矩图 例2.计算图示刚架 作弯矩图 计算图示刚架 解:
q
1 64
B
2ql
11 32
1
1 16
C
EI = C
3 64
S1 B = 3 i S1 A = 4 i S1 C = i 4i = 1/ 2 µ1 A = 4i + 3i + i 3i = 3/8 µ1B = 4 i + 3i + i i = 1/ 8 µ 1C = 4 i + 3i + i
q
ql / 8 ql / 4
一、力矩分配法基本概念
固定状态: 固定状态: u M B ---不平衡力矩 顺时针为正 不平衡力矩,顺时针为正 不平衡力矩 固端弯矩---荷载引起的单 固端弯矩 荷载引起的单 跨梁两端的杆端弯矩,绕杆 跨梁两端的杆端弯矩 绕杆 端顺时针为正. 端顺时针为正 F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m
2 2
l
A
l
l
结点 杆端
µ
B B1
A A1
1 1A 1B 1C 1/2 3/8 1/8
C C1
2ql
ql 2 / 4
MF 0 所的结果是 0 分配 近似解吗? 近似解吗传递 M 0 q
-1/4 1/4 1/8
−
−
0
0
3 64
3 64
3 3 9 3 − − − 32 16 64 64
11 32 1 16
一个结点上的各杆端分配系 数总和恒等于1 数总和恒等于1。
S BC = 3i S BA = 4i µ BA = 4i /( 3i + 4i ) = 4 / 7 = 0.571
ϕB
u MB
µ BC = 3i /( 3i + 4i ) = 3 / 7 = 0.429
d u M BA = µ BA ( − M B ) = −57.1
S BC = 3i S BA = 4i µ BA = 4i /( 3i + 4i ) = 4 / 7 = 0.571
ϕB
u MB
A
M
d BA
B
u MB
C
µ BC = 3i /( 3i + 4i ) = 3 / 7 = 0.429
M
d BA
= µ BA ( − M ) = −57.1
u B
d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9
1
ql / 8
2
12
2
100 0 -57.1 -42.9 -6.1 3.5 2.6
0 0 0
28.6
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4 6.1 -9.2 -12.2 -6.1 1.8 6.1 1.8 3.5 2.6
分 配 传 递
0
M 0
A
0
q = 12 kN / m
40.3
2
B
… … ...
2.6
… … ...
A
q = 12kN / m
EI
1
EI
2
B
EI
A
q = 12 kN / m
1
2
B
10m
10m
10m
u M2
A
q = 12kN / m
M1u
ql / 12
µ
B
MF 0
0.429 0.571 0.571 0.429 150 -100 -28.6 -9.2 -12.2 1.8 -0.8 -1.0 140 -140 40.3 -40.3 140
1
69.97
R1 = 74 + 69 .97 = 143 .97 ( kN )( ↑ )
R1
例1：作图示连续梁的M图。EI等于常数，l1=6 m, l2=5 m， 作图示连续梁的M EI等于常数 等于常数， m， P=1000kN。（只计算二轮） P=1000kN。（只计算二轮） 。（只计算二轮
S 1 AB
1
A
i
B
4i
A
i
B
S AB = 4i
A i B S AB = 3i A
i
对等直杆，SAB只与B端的 对等直杆， 只与B 支撑条件有关， 支撑条件有关，而与近端 支承无关
A端一般称为近端（本端）， 端一般称为近端 本端）， 近端（ B端一般称为远端（它端）。 端一般称为远端 它端） 远端（
力矩分配法是渐进法的一种（逐次逼近法），是位 力矩分配法是渐进法的一种（逐次逼近法），是位 ）， 移法的变体。 移法的变体。
• •
适用范围是：连续梁和无结点线位移刚架。 适用范围是：连续梁和无结点线位移刚架。
力矩分பைடு நூலகம்法
理论基础：位移法； 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架； 适用范围：连续梁和无侧移刚架； 方法特点：概念生动形象， 方法特点：概念生动形象， 方法单一重复。 方法单一重复。
第二篇 超静定结构 第七章 力矩分配法
引言 问题的提出
• 计算超静定刚架或连续梁, 计算超静定刚架或连续梁,无论采用力法或 位移法, 均需建立和求解线性代数方程组 建立和求解线性代数方程组。 位移法, 均需建立和求解线性代数方程组。当未 知量较多时，计算工作非常繁重 工作非常繁重。 知量较多时，计算工作非常繁重。有时几乎不可 能完成。为此，提出了渐进法 渐进法， 能完成。为此，提出了渐进法，以避免解算联立 方程组。 方程组。
固定状态: 固定状态 F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m F M BA = 100kN .m F F M BC = M CB = 0
q = 12kN / m
A
EI
B
EI
C
10m
10m
µ 0.571 0.429 放松状态: 放松状态 d u 100 0 M BA = µ BA ( − M B ) = −57.1 M F − 100 d u M BC = µ BC ( − M B ) = −42.9 分 − 28.6 − 57.1 − 42.9
B
S AB = i
M
M
d BA
d BC
= S BAϕ B
= S BC ϕ B
A
M
d BA
ϕB
u MB
B
u MB
C
u d d M B + M BA + M BC = 0 1 u ⋅ (− M B ) ϕB = S BA + S BC
B
d M BC
S BA u M = (− M B ) S BA + S BC S BC d u M BC = (− M B ) S BA + S BC S BA 令 µ BA = S BA + S BC