第4章 离散傅里叶变换1
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X p (k ) 设任意k次频率的复指数序列分量 e jk1n的复幅度用 表示，则可以推出周期序列的傅立叶级数变换对。
离散傅里叶级数的变换对表达式
X p (k ) DFS[ x p (n)] x p (n)e
n 0 N 1 j 2 nk N
j nk 1 N 1 N x p (n) IDFS[ x p (n)] X p (k )e N k 0
x(n)
X (e j )
…
0
n
－2
－
0
2
Ω
X (e j ) 是连续周期函数，因此也可以进行傅立叶级数展开
三、特点与应用
序列可以表示为复指数序列分量的叠加，而对 复指数序列的响应完全由系统的频率响应 H (e j ) 确定，既可以推出输出的傅立叶变换为：
Y (e j ) X (e j ) H (e j )
第三节 离散傅里叶变换（DFT）
一、离散傅里叶变换DFT定义式 离散傅里叶变换就是对有限长序列进行傅里叶变换 的表示式。定义一个周期序列在第一个周期内的有 限长序列值为此周期序列的主值区间，表示为：
x p (n), 0 n N -1 x ( n) , 其他 0
nk X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n ) W 正变换 N n 0 N 1
N个X (k) (N点DFT)
4N 2
第五节 快速傅里叶变换
按定义计算，需要 N 2 次复数乘和(N-1)N次复数加运算，若序列为 复数，则每次复数乘包括4次实数乘和2次实数加，每次复数加包 含2次实数加，因此对于长度为N的序列，运算总共有4 N 2 次实数 乘和2 N 2+2(N-1)N次实数加。随着N的增加，实时处理就无法实 现。
第四节 离散傅里叶变换的性质
圆周卷积特性 N 1 x(m)hp (n m) RN (n) 1）时域圆周卷积 y(n) x(n) h(n) m 0 2）频域圆卷积 若 y (n) x(n)h(n)
1 N 1 Y (k ) DFT[ y(n)] X (l ) H p (k l ) RN (k ) N l 0 实数序列奇偶性（对称性） 帕斯瓦尔定理：变换过程中能量是守恒的。
计算机运算时（编程实现）：
k 0 k 1 k 2
00 10 ( N 1)0 X (0) x(0)WN x(1)WN x( N 1)WN
01 11 X (1) x(0)WN x(1)WN ( N 1)1 x( N 1)WN
X (2) x(0)W
其中l和m为整数。
nk 2．WN 的对称性
nk * nk ( N n ) k ( N k ) n [WN ] WN WN WN
X (e j )
X (k)
0
2
第四节 离散傅里叶变换的性质
线性特性
DFT[ax(n) by(n)] aX (k ) bY (k )
时移特性 xp (n m) RN (n) 过程、圆移位 1）圆周移位序列 2）时移定理 DFT[ x (n m)R (n)] W mk X (k ) p N N
X ( z)
z e j
X (e j )
n
x(n)e jn
序列的傅立叶变换定义为单位圆上的Z变换，因此 其同Z变换具有相同的性质
二 、物理意义与存在条件
1 x ( n) 2 1 x(t ) 2
比较这两个反变换
X (e j )e j d
X ( )e jt d
0 0
W W W
0 -11
W W W
0 - 21
W
0
0 -1(N -1)
W -(N-1)1 W
-(N -1)( N 1)
- 2(N -1)
X (0) X ( 1 ) X ( N 1 )
或
X(k)= W nk x(n) 1 -nk x(n)= W X(k) N
《测试信号分析与处理》课程
第四章 离散傅里叶变换及其 快速算法
数字谱分析是数字信号处理的基本内容，通过对信号的频谱 分析，掌握信号特征，以便对信号作进一步处理，达到提 取有用信息的目的。包括序列的傅立叶变换、离散傅立叶 级数、离散傅立叶变换和快速傅立叶变换
第一节 第二节 第三节 第四节
序列的傅里叶变换 离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT） 离散傅里叶变换的性质
1 N 1 nk 反变换 x(n) IDFT [ X (k )] X (k )WN N k 0
第三节 离散傅里叶变换（DFT）
矩阵形式
X (0) W X (1) W X ( N 1) W
0 0
复数乘法 复数加法
一个X(k) N个X(k) (N点DFT) N N2 N–1 N (N – 1)
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad) 一次复乘 一次复加 一个X (k) 4N 实数乘法 4 实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
3）DFT复乘运算时间：N2=(60000)2=36*108次
(60000 ) 36*10 s 3600s
2 8
由于计算量大，且要求相当大的内存，难以实现实
时处理，限制了DFT的应用。长期以来，人们一直在寻
求一种能提高DFT运算速度的方法。
FFT便是 Cooley & Tukey 在1965 年提出的的快速
e j t
e jn
x(t)
序列傅立叶变换存 在条件
n
x(n)
X (e j )
X ( )
正变换 分析
反变换 综合
| x ( n) |
连续非周期
连续周期
序列必须绝对可和
三、特点与应用
非周期序列的傅里叶变换（频谱）的特点在于它 是 周期为 2 的连续周期函数，其周期为 2 。
02 N
x(1)W
12 N
x( N 1)W
( N 1)2 N
N个点
1N 1 k N 1 X ( N 1) x(0)WN0N 1 x(1)WN
x( N 1)WN( N 1)N 1
N次复乘，N-1次复加
运算量
nk x ( n ) W N n 0 N 1
2
WN e
j
2 N
N 1 n 0
nk X p (k ) DFS[ x p (n)] x p (n)WN
1 N 1 nk x p (n) IDFS[ X p (k )] X p (k )WN N k 0
第三节 离散傅里叶变换（DFT） 离散傅立叶级数的正反变换，为数字信号 分析和处理做好了理论准备，因为时域和 频域都是离散化； 但是他们都是周期序列，需要在理论上对 序列的有限化进一步研究，以解决离散信 号分析处理或系统设计以及实现等实用化 方面的问题。
第二节 离散傅里叶级数（DFS）
二、离散傅里叶级数（定量表达周期序列的傅立叶级数展开式） 离散周期信号的频谱，即离散傅里叶级数(DFS)。 非周期序列的频谱
1 x ( n) 2
X (e
j
)e
jn
d
一个非周期序列x(n)可以分解为一系列连续的 jn e 不同频率的复指数序列 的叠加积分，其频 谱 X (e j ) 表示了这些不同频率分量的复幅度， 频率是周期性的，独立分量在 到 之间。
mk IDFT[WN X (k )] xp (n m)RN (n)
序列在时域中圆周移位，频域上将产生附加相移
频移特性
nl DFT[ x(n)WN ] X p (k l )RN (k )
nl IDFT[ X p (k l )RN (k )] x(n)WN
序列在时域上乘于复指数序列，则在频域上将发生圆周移位
第二节 离散傅里叶级数（DFS）
一、傅里叶变换在时域和频域中的对称规律
第二节 离散傅里叶级数（DFS）
第二节 离散傅里叶级数（DFS）
一个域中（时域或频域）是连续的，对应另一个域 中（频域或时域）是非周期的。
一个域中（时域或频域）是离散的，对应另一个域 中（频域或时域）是周期的。
周期序列的频谱是非周期序列频谱的离散化，根据 频谱的含义，意味着一个周期序列可以分解成一系 列 为离散（ k1 ）的指数序列分量 e jk1n 的叠加， 其频率间隔：
1 1T , 1 2 / T1 , T1 NT 2 2 2 1 T T T1 NT N
第三节 离散傅里叶变换（DFT）
二、DFT的物理意义 1 非周期序列的频谱，即它的傅立叶变换，是一个连 续的周期性频谱； 2 有限长序列的DFT却是离散的序列，两者虽然不同， 但存在着重要的联系。 可以证明：有限长序列的傅立叶变换DFT是该序 列频谱的抽样值。
有限长序列的DFT就是序列在单位圆上的Z变换 （即有限长序列的傅里叶变换或频谱）以 1 2 / N 为间隔的抽样值
计算其循环卷积（圆周卷积）
解：将x(n)按逆时针方向依次均匀分布在内圆上，将序列h(n) 按顺时针方向依次均匀分布在外圆上，依次逆时针旋转外圆， 增加时间序号，将内外圆数值对应相乘并求和。得到 y(n)={24,22,24,30}.
第五节 快速傅里叶变换 DFT是利用计算机进行信号谱分析的理论依据，但计算量太大；
W W W
0 11
0 1(N -1)
x(0) 21 (N -1)1 x ( 1 ) W W 2(N -1) (N -1)( N 1) x ( N 1 ) W W W
0
W
0
W x(0) x(1) 1 W N x( N 1) W
快速傅立叶变换是以较少计算量实现DFT的快速算法，FFT是数 字信号处理中最基本的算法。本节分析直接计算的工作量及DFT 的特点，最后研究基2时析型FFT（基2时间抽选法） 一、DFT直接运算的工作量
nk X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN n 0 N 1
0 k N 1
n 0
N 1
1 x(n) X (k ) N k 0
2
N 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
顺时针,左移,逆时针转动, 再顺时针读数.
H((-n))NRN(n)
y(0)
H((1-n))NRN(n)
H((2-n))NRN(n)
H((3-n))NRN(n)
例：长度为4的两个有限长序列x(n)={1,2,3,4}和h(n)={4,3,2,1)
《测试信号分析与处理》课程
第五节 第六节 第七节 第八节
快速傅里叶变换 IDFT的快速算法（IFFT） 实序列的FFT高效算法 频率域采样理论
第一节 序列的傅里叶变换
一、定义
已知序列x(n)的Z变换为：
X ( z)
n
n x ( n ) z
如X(Z)在单位圆上是收敛的，则将在单位圆上的Z 变换定义为序列的傅里叶变换，即
算法，它可以使运算速度提高几百倍，从而使数字信号 处理学科成为一个新兴的应用学科。
第五节 快速傅里叶变换
二、DFT运算的特点（从公式入手，利用自身运算特点，提出解 决问题的方法） nk WN 1． 的周期性，即对变量n和k，均为周期函数
nk ( nlN ) k n( k mN ) ( nlN )( k mN ) WN WN WN WN
例：计算一个 N点DFT ，共需N2次复乘。以做一次 复乘1μs计，若N =4096，所需时间为
(4096 ) 16777216 s 17s
2
例：石油勘探，有24个通道的记录，每通道波形记 录长度为5秒，若每秒抽样500点/秒，
1）每通道总抽样点数：500*5=2500点
2）24通道总抽样点数：24*2500=6万点
离散傅里叶级数的变换对表达式
X p (k ) DFS[ x p (n)] x p (n)e
n 0 N 1 j 2 nk N
j nk 1 N 1 N x p (n) IDFS[ x p (n)] X p (k )e N k 0
x(n)
X (e j )
…
0
n
－2
－
0
2
Ω
X (e j ) 是连续周期函数，因此也可以进行傅立叶级数展开
三、特点与应用
序列可以表示为复指数序列分量的叠加，而对 复指数序列的响应完全由系统的频率响应 H (e j ) 确定，既可以推出输出的傅立叶变换为：
Y (e j ) X (e j ) H (e j )
第三节 离散傅里叶变换（DFT）
一、离散傅里叶变换DFT定义式 离散傅里叶变换就是对有限长序列进行傅里叶变换 的表示式。定义一个周期序列在第一个周期内的有 限长序列值为此周期序列的主值区间，表示为：
x p (n), 0 n N -1 x ( n) , 其他 0
nk X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n ) W 正变换 N n 0 N 1
N个X (k) (N点DFT)
4N 2
第五节 快速傅里叶变换
按定义计算，需要 N 2 次复数乘和(N-1)N次复数加运算，若序列为 复数，则每次复数乘包括4次实数乘和2次实数加，每次复数加包 含2次实数加，因此对于长度为N的序列，运算总共有4 N 2 次实数 乘和2 N 2+2(N-1)N次实数加。随着N的增加，实时处理就无法实 现。
第四节 离散傅里叶变换的性质
圆周卷积特性 N 1 x(m)hp (n m) RN (n) 1）时域圆周卷积 y(n) x(n) h(n) m 0 2）频域圆卷积 若 y (n) x(n)h(n)
1 N 1 Y (k ) DFT[ y(n)] X (l ) H p (k l ) RN (k ) N l 0 实数序列奇偶性（对称性） 帕斯瓦尔定理：变换过程中能量是守恒的。
计算机运算时（编程实现）：
k 0 k 1 k 2
00 10 ( N 1)0 X (0) x(0)WN x(1)WN x( N 1)WN
01 11 X (1) x(0)WN x(1)WN ( N 1)1 x( N 1)WN
X (2) x(0)W
其中l和m为整数。
nk 2．WN 的对称性
nk * nk ( N n ) k ( N k ) n [WN ] WN WN WN
X (e j )
X (k)
0
2
第四节 离散傅里叶变换的性质
线性特性
DFT[ax(n) by(n)] aX (k ) bY (k )
时移特性 xp (n m) RN (n) 过程、圆移位 1）圆周移位序列 2）时移定理 DFT[ x (n m)R (n)] W mk X (k ) p N N
X ( z)
z e j
X (e j )
n
x(n)e jn
序列的傅立叶变换定义为单位圆上的Z变换，因此 其同Z变换具有相同的性质
二 、物理意义与存在条件
1 x ( n) 2 1 x(t ) 2
比较这两个反变换
X (e j )e j d
X ( )e jt d
0 0
W W W
0 -11
W W W
0 - 21
W
0
0 -1(N -1)
W -(N-1)1 W
-(N -1)( N 1)
- 2(N -1)
X (0) X ( 1 ) X ( N 1 )
或
X(k)= W nk x(n) 1 -nk x(n)= W X(k) N
《测试信号分析与处理》课程
第四章 离散傅里叶变换及其 快速算法
数字谱分析是数字信号处理的基本内容，通过对信号的频谱 分析，掌握信号特征，以便对信号作进一步处理，达到提 取有用信息的目的。包括序列的傅立叶变换、离散傅立叶 级数、离散傅立叶变换和快速傅立叶变换
第一节 第二节 第三节 第四节
序列的傅里叶变换 离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT） 离散傅里叶变换的性质
1 N 1 nk 反变换 x(n) IDFT [ X (k )] X (k )WN N k 0
第三节 离散傅里叶变换（DFT）
矩阵形式
X (0) W X (1) W X ( N 1) W
0 0
复数乘法 复数加法
一个X(k) N个X(k) (N点DFT) N N2 N–1 N (N – 1)
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad) 一次复乘 一次复加 一个X (k) 4N 实数乘法 4 实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
3）DFT复乘运算时间：N2=(60000)2=36*108次
(60000 ) 36*10 s 3600s
2 8
由于计算量大，且要求相当大的内存，难以实现实
时处理，限制了DFT的应用。长期以来，人们一直在寻
求一种能提高DFT运算速度的方法。
FFT便是 Cooley & Tukey 在1965 年提出的的快速
e j t
e jn
x(t)
序列傅立叶变换存 在条件
n
x(n)
X (e j )
X ( )
正变换 分析
反变换 综合
| x ( n) |
连续非周期
连续周期
序列必须绝对可和
三、特点与应用
非周期序列的傅里叶变换（频谱）的特点在于它 是 周期为 2 的连续周期函数，其周期为 2 。
02 N
x(1)W
12 N
x( N 1)W
( N 1)2 N
N个点
1N 1 k N 1 X ( N 1) x(0)WN0N 1 x(1)WN
x( N 1)WN( N 1)N 1
N次复乘，N-1次复加
运算量
nk x ( n ) W N n 0 N 1
2
WN e
j
2 N
N 1 n 0
nk X p (k ) DFS[ x p (n)] x p (n)WN
1 N 1 nk x p (n) IDFS[ X p (k )] X p (k )WN N k 0
第三节 离散傅里叶变换（DFT） 离散傅立叶级数的正反变换，为数字信号 分析和处理做好了理论准备，因为时域和 频域都是离散化； 但是他们都是周期序列，需要在理论上对 序列的有限化进一步研究，以解决离散信 号分析处理或系统设计以及实现等实用化 方面的问题。
第二节 离散傅里叶级数（DFS）
二、离散傅里叶级数（定量表达周期序列的傅立叶级数展开式） 离散周期信号的频谱，即离散傅里叶级数(DFS)。 非周期序列的频谱
1 x ( n) 2
X (e
j
)e
jn
d
一个非周期序列x(n)可以分解为一系列连续的 jn e 不同频率的复指数序列 的叠加积分，其频 谱 X (e j ) 表示了这些不同频率分量的复幅度， 频率是周期性的，独立分量在 到 之间。
mk IDFT[WN X (k )] xp (n m)RN (n)
序列在时域中圆周移位，频域上将产生附加相移
频移特性
nl DFT[ x(n)WN ] X p (k l )RN (k )
nl IDFT[ X p (k l )RN (k )] x(n)WN
序列在时域上乘于复指数序列，则在频域上将发生圆周移位
第二节 离散傅里叶级数（DFS）
一、傅里叶变换在时域和频域中的对称规律
第二节 离散傅里叶级数（DFS）
第二节 离散傅里叶级数（DFS）
一个域中（时域或频域）是连续的，对应另一个域 中（频域或时域）是非周期的。
一个域中（时域或频域）是离散的，对应另一个域 中（频域或时域）是周期的。
周期序列的频谱是非周期序列频谱的离散化，根据 频谱的含义，意味着一个周期序列可以分解成一系 列 为离散（ k1 ）的指数序列分量 e jk1n 的叠加， 其频率间隔：
1 1T , 1 2 / T1 , T1 NT 2 2 2 1 T T T1 NT N
第三节 离散傅里叶变换（DFT）
二、DFT的物理意义 1 非周期序列的频谱，即它的傅立叶变换，是一个连 续的周期性频谱； 2 有限长序列的DFT却是离散的序列，两者虽然不同， 但存在着重要的联系。 可以证明：有限长序列的傅立叶变换DFT是该序 列频谱的抽样值。
有限长序列的DFT就是序列在单位圆上的Z变换 （即有限长序列的傅里叶变换或频谱）以 1 2 / N 为间隔的抽样值
计算其循环卷积（圆周卷积）
解：将x(n)按逆时针方向依次均匀分布在内圆上，将序列h(n) 按顺时针方向依次均匀分布在外圆上，依次逆时针旋转外圆， 增加时间序号，将内外圆数值对应相乘并求和。得到 y(n)={24,22,24,30}.
第五节 快速傅里叶变换 DFT是利用计算机进行信号谱分析的理论依据，但计算量太大；
W W W
0 11
0 1(N -1)
x(0) 21 (N -1)1 x ( 1 ) W W 2(N -1) (N -1)( N 1) x ( N 1 ) W W W
0
W
0
W x(0) x(1) 1 W N x( N 1) W
快速傅立叶变换是以较少计算量实现DFT的快速算法，FFT是数 字信号处理中最基本的算法。本节分析直接计算的工作量及DFT 的特点，最后研究基2时析型FFT（基2时间抽选法） 一、DFT直接运算的工作量
nk X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN n 0 N 1
0 k N 1
n 0
N 1
1 x(n) X (k ) N k 0
2
N 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
顺时针,左移,逆时针转动, 再顺时针读数.
H((-n))NRN(n)
y(0)
H((1-n))NRN(n)
H((2-n))NRN(n)
H((3-n))NRN(n)
例：长度为4的两个有限长序列x(n)={1,2,3,4}和h(n)={4,3,2,1)
《测试信号分析与处理》课程
第五节 第六节 第七节 第八节
快速傅里叶变换 IDFT的快速算法（IFFT） 实序列的FFT高效算法 频率域采样理论
第一节 序列的傅里叶变换
一、定义
已知序列x(n)的Z变换为：
X ( z)
n
n x ( n ) z
如X(Z)在单位圆上是收敛的，则将在单位圆上的Z 变换定义为序列的傅里叶变换，即
算法，它可以使运算速度提高几百倍，从而使数字信号 处理学科成为一个新兴的应用学科。
第五节 快速傅里叶变换
二、DFT运算的特点（从公式入手，利用自身运算特点，提出解 决问题的方法） nk WN 1． 的周期性，即对变量n和k，均为周期函数
nk ( nlN ) k n( k mN ) ( nlN )( k mN ) WN WN WN WN
例：计算一个 N点DFT ，共需N2次复乘。以做一次 复乘1μs计，若N =4096，所需时间为
(4096 ) 16777216 s 17s
2
例：石油勘探，有24个通道的记录，每通道波形记 录长度为5秒，若每秒抽样500点/秒，
1）每通道总抽样点数：500*5=2500点
2）24通道总抽样点数：24*2500=6万点