2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第45讲
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A．1 B．2 C．3
)
D．4
第18页
高考总复习（文、理）
[解析]
命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底
面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体．命题②不是真命题，若底面是菱
形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体．命题③也不是真命题
，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是 不能推出侧棱与底面垂直．命题④是真命题，由对角线相等，可得出平
)
第14页
高考总复习（文、理）
解析：∵EF∥AC，EF⊥DE，∴AC⊥DE. 又∵AC⊥DB，∴AC⊥面 ABD. 2 3 ∴VA－ BCD＝VC－ ABD＝ a . 24
答案：B
第15页
高考总复习（文、理）
5．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积 、体积时，相应截面面积为S1、S2、S3，则( )
∴EF⊥BD.又EF⊥D1D，EF⊥平面BDD1B1，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
第24页
高考总复习（文、理）
(2)证明：连结AH，则AH∥B1E， 又AC∥EF，而AH∩AC＝A，
∴平面AHC∥平面EB1F.
又∵CH⊂平面AHC，∴CH∥平面B1EF. (3)如图所示，在对角面BDD1B1中，作D1M⊥B1G，垂足为M， ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1＝B1G， ∴D1M⊥平面B1EF，且垂足为M.
第29页
高考总复习（文、理）
(3)∵BD⊥AC，BD⊥PA， ∴BD⊥平面PAC，
又MN∥BD，
∴MN⊥平面PAC. ∴平面PAC⊥平面PMN. 设MN∩AC＝Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN＝PQ.
作OH⊥PQ，垂足为H，则OH⊥平面PMN，
OH的长即为O到平面PMN的距离． 作AG⊥PQ于G，
第四十五讲
(第四十六讲(文))棱柱与棱锥
第1页
高考总复习（文、理）
第2页
高考总复习（文、理）
回归课本 1.棱柱
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每
相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱．
2．棱柱的分类：
正棱柱 直棱柱 其他棱柱 棱柱 斜棱柱
第30页
高考总复习（文、理）
3 3 2 在 Rt△PAQ 中，PA＝a，AQ＝ AC＝ a， 4 4 34 ∴PQ＝ a. 4 PA· AQ 3 17 ∴AG＝ ＝ a. 17 PQ 1 17 ∴OH＝ AG＝ a. 3 17 点评：(1)解决空间角度问题，应特别注意垂直关系．如果空间角
为90°，就不必转化为平面角来求．
第7页
高考总复习（文、理）
8．棱锥的面积和体积 (1)棱锥的全面积(S 全)等于底面积(S 底)和侧面积(S 侧)之和， S 即
全
＝S 底＋S 侧． 1 若 C 为正棱锥的底面周长，h′为斜高，则 S 侧＝ Ch′. 2 (2)棱锥的体积等于它的底面积(S
底
)与高(h)的乘积的三分之
h 一，即 V 棱锥＝ · 底． S 3
正三棱锥中，每一条侧棱都相等，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与 底面所成的角都相等，相邻两个侧面所成的角也相等，但侧棱相等的三
棱锥，侧棱与底面所成角相等的三棱锥，侧面与底面所成角都相等的三
棱锥，相邻两个侧面所成的角都相等的三棱锥却不一定是正三棱锥．
第22页
高考总复习（文、理）
类型二
棱柱、棱锥中的线面关系
第17页
高考总复习（文、理）
类型一
棱柱 、棱锥的概念与性质
解题准备：熟练掌握棱柱、棱锥的概念与性质．
【典例1】 设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体； ③有四条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
以上四个命题中，真命题的个数是(
(3)性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底
面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方 比．
第6页
高考总复习（文、理）
7．正棱锥的概念和性质 (1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内
的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
(2)正棱锥的性质 ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各侧面底边上的 高叫棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等． ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形．
第3页
高考总复习（文、理）
3．棱柱的主要性质： (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形． 4．平行六面体与长方体 定义：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．侧棱与底面垂 直的平行六面体叫直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫长方体
第23页
高考总复习（文、理）
[解析]
(1)证明：证法一：连结AC，
∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，
∴AC⊥BD.又BB1⊥AC，所以AC⊥平面BDD1B1.
∵E、F分别为AB、BC的中点，故EF∥AC. ∴EF⊥平面BDD1B1. ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. 证法二：∵BE＝BF，∠EBD＝∠FBD＝45°，
2 2 2(a· a)＋4· a2＝( 2＋2)a2. 2 2
答案：B
第13页
高考总复习（文、理）
4．如图，在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点， EF⊥DE，若BC＝a，则正三棱锥A－BCD的体积为(
2 3 A. a 12 C. 3 3 a 12 2 3 B. a 24 D. 3 3 a 24
∴点D1到平面B1EF的距离d＝D1M.
第25页
高考总复习（文、理）
解法一：在 Rt△D1MB1 中，D1M＝D1B 1· sin∠D 1B1M， ∵D1B1＝ 2A1B1＝ 2· 2＝4， 2 B1B 4 4 17 sin∠D1B 1M＝sin∠B1GB＝ ＝ 2 2 ＝ 17 ， GB1 4 ＋1 4 17 16 17 d＝D1M＝4· ＝ . 17 17 解法二：∵△D1MB1∽△B1BG， D1M D1B1 ∴ ＝ . B1B B1G B1B2 42 16 17 ∴d＝D1M＝ ＝ 2 2＝ 17 . B1G 4 ＋1
(2)注意借助辅助平面(如本题中的平面PAC)，将空间距离转化为平
面距离来求． (3)棱锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点，
④由已知顶点在底面射影为内心也是底面外心，故底面三角形为
正三角形．又各侧棱、斜高可推出彼此相等，故各侧面为具有公共顶点 的等腰三角形，故④正确．
答案：①④
第21页
高考总复习（文、理）
误区指津：棱柱、棱锥有很多类似的概念或性质，极易混淆，要 注意从内涵和外延两个方面去比较它们．
点评：要注意正三棱锥的定义、性质与判定方法的联系与区别，
面积为(
)
A．(2 2＋1)a2 C．(3－2 2)a2 B．( 2＋2)a 2 D．(4＋ 2)a2
第12页
高考总复习（文、理）
解析：几何体(2)，上下底面为原正方体的对角面，是边长为 2 2 a、 a 的矩形，其余四个面是边长为 a， a，锐角是 45° 的平行 2 2 四边形，面积仍等于原正方体的一个面面积． ∴几何体(2)的表面积为
行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体
是直平行六面体．故选A. [答案] A
第19页
高考总复习（文、理）
探究1：下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥
是正三棱锥；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 ；
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
第10页
高考总复习（文、理）
解析：由题设知∠BC1A1＝60° . ∵A1C12＝A1B12＋B1C12＝BB12＋B1C12＝BC12， ∴△A1BC1 为正三角形． 又∵A1B＝5 2∴A1C1＝AC＝5 2.
答案：D
第11页
高考总复习（文、理）
3．(2010·宜昌市调研)如图(1)所示，已知正方体的面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块拼成如图(2)所示几何体，那么此几何体的全
长为C，侧棱长为l，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧＝Cl.
如果斜棱柱的直截面的面积为S，侧棱长为l，那么它的体积是V斜棱
柱＝Sl.
第5页
高考总复习（文、理）
6．棱锥的概念和性质 (1)棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角
形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
(2)棱锥的分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形„„ ，因此我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥．
解题准备：以棱柱、棱锥为载体来考查四大关系：平行、垂直、
夹角、距离．
【典例2】 如图所示，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 ，底面边长为2，
侧棱长为4.E、F、H分别为棱AB、BC、A1B1的中点，EF∩BD＝G.
(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
(2)求证：CH∥平面B1EF； (3)求点D1到平面B1EF的距离d.
．棱长都相等的长方体叫正方体．
第4页
高考总复习（文、理）
5．棱柱的侧面积和体积公式 (1)直棱柱的侧面积和体积公式
如果直棱柱的底面周长是C，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧＝
Ch. 如果直棱柱的底面面积是S，高是h，那么它的体积是V直棱柱＝Sh. (2)斜棱柱的侧面积和体积公式 如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周
第26页
高考总复习（文、理）
解法三：连结 D1G，则三角形 D1GB1 的面积等于正方形 1 1 DBB1D1 面积的一半，即 · 1G· 1M＝ B1B2. B D 2 2 B1B2 16 17 ∴d＝D1M＝ ＝ . 17 B1G
第27页
高考总复习（文、理）
探究2：如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形， 侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、PD都和底面成45°第来自页高考总复习（文、理）
考点陪练 1.下列有关棱柱的命题中正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱 D．棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等 解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱
角．
(1)求PC与BD所成的角； (2)求PC与底面ABCD所成角的正切值；
(3)若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心O到平面PMN的距
离．
第28页
高考总复习（文、理）
解析：(1)∵侧面 PAB 和侧面 PAD 都垂直于底面 AC，且两侧 面交于 PA，∴PA⊥底面 AC. 又 BD⊥AC，∴BD⊥PC， 即 PC 与 BD 所成的角为 90° . (2)∵PA⊥底面 AC， ∴∠PCA 是 PC 与底面 AC 所成的角，∠PBA 为 PB 与底面 AC 所成的角， ∴在 Rt△PAB 中，PA＝AB＝a. ∵AC＝ 2a，∴tan∠PCA＝ 2 . 2
的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六
个顶点、九条棱． 答案：C
第9页
高考总复习（文、理）
2. 如图，直三棱柱 ABC－A 1B1C1 侧面 AA 1B 1B 是边长为 5 的正
方形，AB⊥BC，AC 与 BC1 成 60° 角，则 AC 长( A．13 C．5 3 B．10 D．5 2 )
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相 等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是____________(写出所有真命题的编号)．
第20页
高考总复习（文、理）
解析：①显然正确． ②如图，反例．
图中AC＝BC＝CD＝BD＝AD≠AB，
每个侧面为等腰三角形， 但此棱锥不是正三棱锥． ③图中取∠ACB＝∠ADB＝120°，有各侧面面积相等，但此棱锥不 是正三棱锥．
A．S1＜S2＜S3
C．S2＜S1＜S3
B．S3＜S2＜S1
D．S1＜S3＜S2
解析：根据相似比知识易知(设底面为 S4)， ①平分侧棱 S1S4＝1︰4， ②平分侧面积 S2S4＝1︰2， ③平分体积 S3S4＝1︰2 ， ∴S1＜S2＜S3.故选 A.
答案：A
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高考总复习（文、理）
)
D．4
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高考总复习（文、理）
[解析]
命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底
面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体．命题②不是真命题，若底面是菱
形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体．命题③也不是真命题
，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是 不能推出侧棱与底面垂直．命题④是真命题，由对角线相等，可得出平
)
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高考总复习（文、理）
解析：∵EF∥AC，EF⊥DE，∴AC⊥DE. 又∵AC⊥DB，∴AC⊥面 ABD. 2 3 ∴VA－ BCD＝VC－ ABD＝ a . 24
答案：B
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5．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积 、体积时，相应截面面积为S1、S2、S3，则( )
∴EF⊥BD.又EF⊥D1D，EF⊥平面BDD1B1，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
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高考总复习（文、理）
(2)证明：连结AH，则AH∥B1E， 又AC∥EF，而AH∩AC＝A，
∴平面AHC∥平面EB1F.
又∵CH⊂平面AHC，∴CH∥平面B1EF. (3)如图所示，在对角面BDD1B1中，作D1M⊥B1G，垂足为M， ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1＝B1G， ∴D1M⊥平面B1EF，且垂足为M.
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高考总复习（文、理）
(3)∵BD⊥AC，BD⊥PA， ∴BD⊥平面PAC，
又MN∥BD，
∴MN⊥平面PAC. ∴平面PAC⊥平面PMN. 设MN∩AC＝Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN＝PQ.
作OH⊥PQ，垂足为H，则OH⊥平面PMN，
OH的长即为O到平面PMN的距离． 作AG⊥PQ于G，
第四十五讲
(第四十六讲(文))棱柱与棱锥
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高考总复习（文、理）
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高考总复习（文、理）
回归课本 1.棱柱
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每
相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱．
2．棱柱的分类：
正棱柱 直棱柱 其他棱柱 棱柱 斜棱柱
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高考总复习（文、理）
3 3 2 在 Rt△PAQ 中，PA＝a，AQ＝ AC＝ a， 4 4 34 ∴PQ＝ a. 4 PA· AQ 3 17 ∴AG＝ ＝ a. 17 PQ 1 17 ∴OH＝ AG＝ a. 3 17 点评：(1)解决空间角度问题，应特别注意垂直关系．如果空间角
为90°，就不必转化为平面角来求．
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高考总复习（文、理）
8．棱锥的面积和体积 (1)棱锥的全面积(S 全)等于底面积(S 底)和侧面积(S 侧)之和， S 即
全
＝S 底＋S 侧． 1 若 C 为正棱锥的底面周长，h′为斜高，则 S 侧＝ Ch′. 2 (2)棱锥的体积等于它的底面积(S
底
)与高(h)的乘积的三分之
h 一，即 V 棱锥＝ · 底． S 3
正三棱锥中，每一条侧棱都相等，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与 底面所成的角都相等，相邻两个侧面所成的角也相等，但侧棱相等的三
棱锥，侧棱与底面所成角相等的三棱锥，侧面与底面所成角都相等的三
棱锥，相邻两个侧面所成的角都相等的三棱锥却不一定是正三棱锥．
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高考总复习（文、理）
类型二
棱柱、棱锥中的线面关系
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高考总复习（文、理）
类型一
棱柱 、棱锥的概念与性质
解题准备：熟练掌握棱柱、棱锥的概念与性质．
【典例1】 设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体； ③有四条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
以上四个命题中，真命题的个数是(
(3)性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底
面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方 比．
第6页
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7．正棱锥的概念和性质 (1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内
的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
(2)正棱锥的性质 ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各侧面底边上的 高叫棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等． ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形．
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3．棱柱的主要性质： (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形． 4．平行六面体与长方体 定义：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．侧棱与底面垂 直的平行六面体叫直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫长方体
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[解析]
(1)证明：证法一：连结AC，
∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，
∴AC⊥BD.又BB1⊥AC，所以AC⊥平面BDD1B1.
∵E、F分别为AB、BC的中点，故EF∥AC. ∴EF⊥平面BDD1B1. ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. 证法二：∵BE＝BF，∠EBD＝∠FBD＝45°，
2 2 2(a· a)＋4· a2＝( 2＋2)a2. 2 2
答案：B
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4．如图，在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点， EF⊥DE，若BC＝a，则正三棱锥A－BCD的体积为(
2 3 A. a 12 C. 3 3 a 12 2 3 B. a 24 D. 3 3 a 24
∴点D1到平面B1EF的距离d＝D1M.
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解法一：在 Rt△D1MB1 中，D1M＝D1B 1· sin∠D 1B1M， ∵D1B1＝ 2A1B1＝ 2· 2＝4， 2 B1B 4 4 17 sin∠D1B 1M＝sin∠B1GB＝ ＝ 2 2 ＝ 17 ， GB1 4 ＋1 4 17 16 17 d＝D1M＝4· ＝ . 17 17 解法二：∵△D1MB1∽△B1BG， D1M D1B1 ∴ ＝ . B1B B1G B1B2 42 16 17 ∴d＝D1M＝ ＝ 2 2＝ 17 . B1G 4 ＋1
(2)注意借助辅助平面(如本题中的平面PAC)，将空间距离转化为平
面距离来求． (3)棱锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点，
④由已知顶点在底面射影为内心也是底面外心，故底面三角形为
正三角形．又各侧棱、斜高可推出彼此相等，故各侧面为具有公共顶点 的等腰三角形，故④正确．
答案：①④
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误区指津：棱柱、棱锥有很多类似的概念或性质，极易混淆，要 注意从内涵和外延两个方面去比较它们．
点评：要注意正三棱锥的定义、性质与判定方法的联系与区别，
面积为(
)
A．(2 2＋1)a2 C．(3－2 2)a2 B．( 2＋2)a 2 D．(4＋ 2)a2
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解析：几何体(2)，上下底面为原正方体的对角面，是边长为 2 2 a、 a 的矩形，其余四个面是边长为 a， a，锐角是 45° 的平行 2 2 四边形，面积仍等于原正方体的一个面面积． ∴几何体(2)的表面积为
行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体
是直平行六面体．故选A. [答案] A
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高考总复习（文、理）
探究1：下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥
是正三棱锥；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 ；
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
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解析：由题设知∠BC1A1＝60° . ∵A1C12＝A1B12＋B1C12＝BB12＋B1C12＝BC12， ∴△A1BC1 为正三角形． 又∵A1B＝5 2∴A1C1＝AC＝5 2.
答案：D
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3．(2010·宜昌市调研)如图(1)所示，已知正方体的面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块拼成如图(2)所示几何体，那么此几何体的全
长为C，侧棱长为l，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧＝Cl.
如果斜棱柱的直截面的面积为S，侧棱长为l，那么它的体积是V斜棱
柱＝Sl.
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6．棱锥的概念和性质 (1)棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角
形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
(2)棱锥的分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形„„ ，因此我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥．
解题准备：以棱柱、棱锥为载体来考查四大关系：平行、垂直、
夹角、距离．
【典例2】 如图所示，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 ，底面边长为2，
侧棱长为4.E、F、H分别为棱AB、BC、A1B1的中点，EF∩BD＝G.
(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
(2)求证：CH∥平面B1EF； (3)求点D1到平面B1EF的距离d.
．棱长都相等的长方体叫正方体．
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5．棱柱的侧面积和体积公式 (1)直棱柱的侧面积和体积公式
如果直棱柱的底面周长是C，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧＝
Ch. 如果直棱柱的底面面积是S，高是h，那么它的体积是V直棱柱＝Sh. (2)斜棱柱的侧面积和体积公式 如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周
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解法三：连结 D1G，则三角形 D1GB1 的面积等于正方形 1 1 DBB1D1 面积的一半，即 · 1G· 1M＝ B1B2. B D 2 2 B1B2 16 17 ∴d＝D1M＝ ＝ . 17 B1G
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探究2：如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形， 侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、PD都和底面成45°第来自页高考总复习（文、理）
考点陪练 1.下列有关棱柱的命题中正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱 D．棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等 解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱
角．
(1)求PC与BD所成的角； (2)求PC与底面ABCD所成角的正切值；
(3)若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心O到平面PMN的距
离．
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解析：(1)∵侧面 PAB 和侧面 PAD 都垂直于底面 AC，且两侧 面交于 PA，∴PA⊥底面 AC. 又 BD⊥AC，∴BD⊥PC， 即 PC 与 BD 所成的角为 90° . (2)∵PA⊥底面 AC， ∴∠PCA 是 PC 与底面 AC 所成的角，∠PBA 为 PB 与底面 AC 所成的角， ∴在 Rt△PAB 中，PA＝AB＝a. ∵AC＝ 2a，∴tan∠PCA＝ 2 . 2
的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六
个顶点、九条棱． 答案：C
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2. 如图，直三棱柱 ABC－A 1B1C1 侧面 AA 1B 1B 是边长为 5 的正
方形，AB⊥BC，AC 与 BC1 成 60° 角，则 AC 长( A．13 C．5 3 B．10 D．5 2 )
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相 等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是____________(写出所有真命题的编号)．
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解析：①显然正确． ②如图，反例．
图中AC＝BC＝CD＝BD＝AD≠AB，
每个侧面为等腰三角形， 但此棱锥不是正三棱锥． ③图中取∠ACB＝∠ADB＝120°，有各侧面面积相等，但此棱锥不 是正三棱锥．
A．S1＜S2＜S3
C．S2＜S1＜S3
B．S3＜S2＜S1
D．S1＜S3＜S2
解析：根据相似比知识易知(设底面为 S4)， ①平分侧棱 S1S4＝1︰4， ②平分侧面积 S2S4＝1︰2， ③平分体积 S3S4＝1︰2 ， ∴S1＜S2＜S3.故选 A.
答案：A
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