人教版八年级下册 一次函数与方程不等式
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则x+b＞kx+6表示函数y=x+b的图 象在y=kx+6的图象上方时所对应的x 的取值范围，即为x＞3.
【答案】（1）一次函数；
（2）解方程组相当于求两条直线的交点坐标；
（3）解方程组相当于求x取何值时两个一次函数的函
111111111数值相等
【解析】
分别从“形”与“数 ”的角度看，可得出解 方程相当于求两直线的 交点坐标。
小结
用函数的观点看方程（组）与不等式，能加深对方程（组）、 不等式的理解，提高认识问题的水平，从函数的角度将三者统一起 来，感受数学的统一美，从数与形两方面加深对一元一次方程，二 元一次方程组的解以及一元一次不等式的解集的理解，认识书部分 与整体的辩证统一关系，学会用联系的观点看待数学问题。
探究三：一次函数与二元一次方程组的关系
例5.（中）怎样利用图象解方程组
y=x+5 0.5x-y=-15
（1）任何一个二元一次方程组都可以看成是两个_______的组合。 （2）在同一个坐标系中画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象， 观察两直线的交点坐标是否是方程组的解？ （3）当自变量x取何值时，一次函数y=x+5和y=0.5x+15的值相等？ 这个函数值是什么？这一问题与解方程组是同一问题吗？
为c时对应的自变量的值。
探究一：一次函数与一次方程的关系
变式2.（中）当一次函数y=2x+1的函数值为4时，可得到的方 程是什么？当一次函数y=2x+1的函数值为-5时，可得到的方 程又是什么？
【答案】 可得方程：4=2x+1；-5=2x+1 【解析】
归纳：用函数的观点看方程，从数的角度看：求ax+b=0 的 解，相当于求函数y=ax+b的值为0时，对应的自变量x。从形 的角度看：求ax+b=0的解，这相当已知直线y=ax+b，确定它 与x轴交点的横坐标。
3.（中）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论 ①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中， 正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 B 【解析】
由图可看出，y1=kx+b的斜率 k＜0，则①正确；
y2=x+a与y轴交点在负半轴，所以 a＜0，则②错误；
【答案】 x=3 【解析】
方程kx+3=-x+b表示函数y=kx+3和y=-x+b的图象交点，交 点为（2,4），则可得方程的解为x=2.
课后作业
1.(中)根据图象，你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗?
【答案】 x=-3 【解析】
根据图象可以看出，函数y=x+3与x轴的交点为（-3,0）， 说明当x=-3时，x+3=0，即为方程的解。
观察图象，上面的三个方程可以看
3.5
3
成函数y=2x+1的一种具体情况。
2.5
当y 3时，x 1；
2
1.5
当y 0时，x - 1 ；
1 0.5
2
0
当y -1时，x -1。
-1.5
-1
-0.5 -0.5 0
0.5
1
1.5
Biblioteka Baidu-1
-1.5
这三个方程的解则刚好是自变量x的一个值。 用函数的观点看：解一元一次方程ax+b=c就是求当函数值
例3.（易）已知一次函数y=3x+2，求函数y＞2，y＜0，y＜-1 时，自变量x的取值范围？
【答案】
自变量x的取值范围依次是x＞0，x＜- 2 ，x＜-1. 3
【解析】
当y＞2时，则3x 2＞2，解得x＞0；
当y＜0时，则3x 2＜0，解得x＜- 2 ； 3
当y＜-1时，则3x 2＜-1，解得x＜-1。
4.（中）如图是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象,则 （1）关于x的方程kx+b=0的解为_____； （2）关于x的不等式 kx+b＞0的解集为____； （3）关于x的不等式kx+b≤-1.5的解集为____.
【答案】 （1）x=2 ；（2）x＞2 ；（3）x≤0 【解析】
（1）方程kx+b=0的解即为函数y=kx+b与x轴交点，交点为 A（2，0），所以方程的解为x=2；
2. （ 中 ） 直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的
解集是（ ）
A.x≤3
B.x≥3
C.x≥-3
D.x≤0
【答案】 B 【解析】
∵直线y=kx+3经过点A（2，1） ∴将A（2,1）代入可得， 直线解析式为y=-x+3，画出图象 ∴kx+3≥0即为图象在x轴上方 时所对应的x范围 ∴解集为x≤3
当x＜3时，y1=kx+b的函数图象在 y2=x+a的函数图象上方，则y1＞y2， ③错误。
4.直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则 关 于 x 的 不 等式x+b＞kx+6的解集是_____.
【答案】x＞3 【解析】
由题，可画出直线y=x+b与直线 y=kx+6的简图，如右图所示
题型讲解
探究一：一次函数与一次方程的关系
例1.已知一次函数y=2x+1，求当函数值y=3,y=0,y=﹣1时，自 变量x的值。
【答案】
自变量x的值依次是：
1，- 1 ，-1 2
【解析】
当y 3时，3 2x 1，解得x 1；
当y 0时，0 2x 1，解得x - 1 ； 2
当y -1时，-1 2x 1，解得x -1
（2）不等式kx+b＞0即为函数y=kx+b的图象在x轴上方时所 对应的x的值，则x的范围为x＞2；
（3）不等式kx+b≤-1.5即为函数y=kx+b的图象在y轴左侧时 所对应的x的值，则x的范围为x≤0。
5.（中）已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于不
等式2x+k＜0的解集是（ ）
小结
注意: ①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 ②选择使用公式的方法:主要从项数上看，若多项式是二项式 可考虑平方差公式;若多项式是三项式可考虑完全平方公式。
因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否 则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内 因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式 的结果，必须是几个整式的积的形式。
探究一：一次函数与一次方程的关系
变式:1(易)已知一次函数y=2x+1，当y=3时，2x+1等于几？当 y=0，y=-1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的 形式吗？怎样从函数的角度对解这三个方程进行解释呢？
【答案】 见解析 【解析】
可以写成2x+1=3，2x+1=0，2x+1=-1的形式，就变成了一 元一次方程，也就是说当一个一次函数y=kx+b，只要确定了y 的值，它就变成了一个一元一次方程，每个一元一次方程都可 以看成一次函数的一种具体情况。
探究一：一次函数与一次方程的关系
例2.已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像经过（ 2,3），则方程kx+b=-3的解为_______
【答案】 x=2 【解析】
方程kx+b=-3可看为一次函数y=kx+b，当y=-3时，对应的 x的值，此时x=2，所以该方程的解为x=2.
探究二：一次函数与一元一次不等式的关系
探究二：一次函数与一元一次不等式的关系
变式.（中）已知一次函数y=3x+2，当y＞2时，3x+2大于几？ 当y＜0、y＜-1时，3x+2又小于几呢？我们类比一次函数和 一元一次方程的关系，能用函数观点看一元一次不等式吗？ 这三个不等式有什么共同特点？
【答案】见解析 【解析】
当y＞2，y＜0，y＜-1时，我们可以把函数写成3x+2＞2， 3x+2＜0，3x+2＜-1的形式，就变成了一元一次不等式。 三个不等式的左边都是代数式，而右边分别是2,0，-1.它们可 以看成y=3x+2的函数值y大于2，小于0，小于-1时自变量x的取 值范围。
【答案】 D 【解析】
方程ax+b=0的解即为函数y=ax+b与x轴交点，交点为B（-3， 0），所以方程的解为x=-3。
3.（中）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b
＞0解集是 （ ）
A.x＞-2
B.x＜-2
C.x＞-1
D.x＜-1
【答案】 B 【解析】
从“形”的角度看，不等式kx+b＞0即为函数y=kx+b的图 象在x轴上方时所对应的x的值，则x的范围为x＜-2.
课堂检测
1.（易）根据图象直接说出一元一次方程x+3=0的解。
【答案】 x=-3 【解析】
由图象可知，方程x+3=0的解即为函数y=x+3与x轴交点， 所以解为x=-3.
2. （中）直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方 程ax+b=0的解是（）
A．x=2 C．x=-1
B．x=0 D．x=-3
注意：k是常数，k≠0，k可以是正数、也可以是负数；b可以 取任意实数。
知识回顾
（1）一元一次方程的一般形式为：ax+b=0（a,b为常数，a≠0） ；
（2）一元一次不等式的一般形式为：ax+b≥0或ax+b≤0（a,b为 常数，a≠0）
（3）二元一次方程的一般形式为：ax+by+c=0（a,b,c为常数， a≠0，b≠0）
探究二：一次函数与一元一次不等式的关系
例4.（中）已知一次函数y=ax+b的图象与x轴交于（1,0），若 ax+b＞0，则x的取值范围是多少？
【答案】x＞1 【解析】
从数的角度看：求ax+b＞0的解，即x为何值时，y=ax+b的 函数y值大于0； 从形的角度看：求ax+b＞0的解，即为函数y=ax+b的图象在x 轴上方时所对应的x的值
A.x＞-2
B.x≥-2
C.x＜-2
D.x＜2
【答案】 C 【解析】
直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），不等式2x+k＜0即为 函数图象在x轴下方时所对应的x值，则x的范围为x＜-2.
6.（中）已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P（2，4 ），则关于x的方程kx+3=-x+b的解是____.
一次函数与方程、不等式
学习目标
1.理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程（组）以及一元 一次不等式之间的联系； 2.掌握一次函数的图像及性质，并能够用一次函数解决一次函数 与方程结合的问题。 3.掌握一次函数图像与几何图形联立问题。
知识回顾 题型讲解 课堂检测 课后作业
知识回顾
知识回顾
1. 一次函数的定义 一般的，形如y=kx+b(k≠0，k、b为常数)的函数，叫做一次函 数。
【答案】（1）一次函数；
（2）解方程组相当于求两条直线的交点坐标；
（3）解方程组相当于求x取何值时两个一次函数的函
111111111数值相等
【解析】
分别从“形”与“数 ”的角度看，可得出解 方程相当于求两直线的 交点坐标。
小结
用函数的观点看方程（组）与不等式，能加深对方程（组）、 不等式的理解，提高认识问题的水平，从函数的角度将三者统一起 来，感受数学的统一美，从数与形两方面加深对一元一次方程，二 元一次方程组的解以及一元一次不等式的解集的理解，认识书部分 与整体的辩证统一关系，学会用联系的观点看待数学问题。
探究三：一次函数与二元一次方程组的关系
例5.（中）怎样利用图象解方程组
y=x+5 0.5x-y=-15
（1）任何一个二元一次方程组都可以看成是两个_______的组合。 （2）在同一个坐标系中画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象， 观察两直线的交点坐标是否是方程组的解？ （3）当自变量x取何值时，一次函数y=x+5和y=0.5x+15的值相等？ 这个函数值是什么？这一问题与解方程组是同一问题吗？
为c时对应的自变量的值。
探究一：一次函数与一次方程的关系
变式2.（中）当一次函数y=2x+1的函数值为4时，可得到的方 程是什么？当一次函数y=2x+1的函数值为-5时，可得到的方 程又是什么？
【答案】 可得方程：4=2x+1；-5=2x+1 【解析】
归纳：用函数的观点看方程，从数的角度看：求ax+b=0 的 解，相当于求函数y=ax+b的值为0时，对应的自变量x。从形 的角度看：求ax+b=0的解，这相当已知直线y=ax+b，确定它 与x轴交点的横坐标。
3.（中）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论 ①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中， 正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 B 【解析】
由图可看出，y1=kx+b的斜率 k＜0，则①正确；
y2=x+a与y轴交点在负半轴，所以 a＜0，则②错误；
【答案】 x=3 【解析】
方程kx+3=-x+b表示函数y=kx+3和y=-x+b的图象交点，交 点为（2,4），则可得方程的解为x=2.
课后作业
1.(中)根据图象，你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗?
【答案】 x=-3 【解析】
根据图象可以看出，函数y=x+3与x轴的交点为（-3,0）， 说明当x=-3时，x+3=0，即为方程的解。
观察图象，上面的三个方程可以看
3.5
3
成函数y=2x+1的一种具体情况。
2.5
当y 3时，x 1；
2
1.5
当y 0时，x - 1 ；
1 0.5
2
0
当y -1时，x -1。
-1.5
-1
-0.5 -0.5 0
0.5
1
1.5
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-1.5
这三个方程的解则刚好是自变量x的一个值。 用函数的观点看：解一元一次方程ax+b=c就是求当函数值
例3.（易）已知一次函数y=3x+2，求函数y＞2，y＜0，y＜-1 时，自变量x的取值范围？
【答案】
自变量x的取值范围依次是x＞0，x＜- 2 ，x＜-1. 3
【解析】
当y＞2时，则3x 2＞2，解得x＞0；
当y＜0时，则3x 2＜0，解得x＜- 2 ； 3
当y＜-1时，则3x 2＜-1，解得x＜-1。
4.（中）如图是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象,则 （1）关于x的方程kx+b=0的解为_____； （2）关于x的不等式 kx+b＞0的解集为____； （3）关于x的不等式kx+b≤-1.5的解集为____.
【答案】 （1）x=2 ；（2）x＞2 ；（3）x≤0 【解析】
（1）方程kx+b=0的解即为函数y=kx+b与x轴交点，交点为 A（2，0），所以方程的解为x=2；
2. （ 中 ） 直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的
解集是（ ）
A.x≤3
B.x≥3
C.x≥-3
D.x≤0
【答案】 B 【解析】
∵直线y=kx+3经过点A（2，1） ∴将A（2,1）代入可得， 直线解析式为y=-x+3，画出图象 ∴kx+3≥0即为图象在x轴上方 时所对应的x范围 ∴解集为x≤3
当x＜3时，y1=kx+b的函数图象在 y2=x+a的函数图象上方，则y1＞y2， ③错误。
4.直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则 关 于 x 的 不 等式x+b＞kx+6的解集是_____.
【答案】x＞3 【解析】
由题，可画出直线y=x+b与直线 y=kx+6的简图，如右图所示
题型讲解
探究一：一次函数与一次方程的关系
例1.已知一次函数y=2x+1，求当函数值y=3,y=0,y=﹣1时，自 变量x的值。
【答案】
自变量x的值依次是：
1，- 1 ，-1 2
【解析】
当y 3时，3 2x 1，解得x 1；
当y 0时，0 2x 1，解得x - 1 ； 2
当y -1时，-1 2x 1，解得x -1
（2）不等式kx+b＞0即为函数y=kx+b的图象在x轴上方时所 对应的x的值，则x的范围为x＞2；
（3）不等式kx+b≤-1.5即为函数y=kx+b的图象在y轴左侧时 所对应的x的值，则x的范围为x≤0。
5.（中）已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于不
等式2x+k＜0的解集是（ ）
小结
注意: ①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 ②选择使用公式的方法:主要从项数上看，若多项式是二项式 可考虑平方差公式;若多项式是三项式可考虑完全平方公式。
因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否 则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内 因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式 的结果，必须是几个整式的积的形式。
探究一：一次函数与一次方程的关系
变式:1(易)已知一次函数y=2x+1，当y=3时，2x+1等于几？当 y=0，y=-1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的 形式吗？怎样从函数的角度对解这三个方程进行解释呢？
【答案】 见解析 【解析】
可以写成2x+1=3，2x+1=0，2x+1=-1的形式，就变成了一 元一次方程，也就是说当一个一次函数y=kx+b，只要确定了y 的值，它就变成了一个一元一次方程，每个一元一次方程都可 以看成一次函数的一种具体情况。
探究一：一次函数与一次方程的关系
例2.已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像经过（ 2,3），则方程kx+b=-3的解为_______
【答案】 x=2 【解析】
方程kx+b=-3可看为一次函数y=kx+b，当y=-3时，对应的 x的值，此时x=2，所以该方程的解为x=2.
探究二：一次函数与一元一次不等式的关系
探究二：一次函数与一元一次不等式的关系
变式.（中）已知一次函数y=3x+2，当y＞2时，3x+2大于几？ 当y＜0、y＜-1时，3x+2又小于几呢？我们类比一次函数和 一元一次方程的关系，能用函数观点看一元一次不等式吗？ 这三个不等式有什么共同特点？
【答案】见解析 【解析】
当y＞2，y＜0，y＜-1时，我们可以把函数写成3x+2＞2， 3x+2＜0，3x+2＜-1的形式，就变成了一元一次不等式。 三个不等式的左边都是代数式，而右边分别是2,0，-1.它们可 以看成y=3x+2的函数值y大于2，小于0，小于-1时自变量x的取 值范围。
【答案】 D 【解析】
方程ax+b=0的解即为函数y=ax+b与x轴交点，交点为B（-3， 0），所以方程的解为x=-3。
3.（中）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b
＞0解集是 （ ）
A.x＞-2
B.x＜-2
C.x＞-1
D.x＜-1
【答案】 B 【解析】
从“形”的角度看，不等式kx+b＞0即为函数y=kx+b的图 象在x轴上方时所对应的x的值，则x的范围为x＜-2.
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1.（易）根据图象直接说出一元一次方程x+3=0的解。
【答案】 x=-3 【解析】
由图象可知，方程x+3=0的解即为函数y=x+3与x轴交点， 所以解为x=-3.
2. （中）直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方 程ax+b=0的解是（）
A．x=2 C．x=-1
B．x=0 D．x=-3
注意：k是常数，k≠0，k可以是正数、也可以是负数；b可以 取任意实数。
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（1）一元一次方程的一般形式为：ax+b=0（a,b为常数，a≠0） ；
（2）一元一次不等式的一般形式为：ax+b≥0或ax+b≤0（a,b为 常数，a≠0）
（3）二元一次方程的一般形式为：ax+by+c=0（a,b,c为常数， a≠0，b≠0）
探究二：一次函数与一元一次不等式的关系
例4.（中）已知一次函数y=ax+b的图象与x轴交于（1,0），若 ax+b＞0，则x的取值范围是多少？
【答案】x＞1 【解析】
从数的角度看：求ax+b＞0的解，即x为何值时，y=ax+b的 函数y值大于0； 从形的角度看：求ax+b＞0的解，即为函数y=ax+b的图象在x 轴上方时所对应的x的值
A.x＞-2
B.x≥-2
C.x＜-2
D.x＜2
【答案】 C 【解析】
直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），不等式2x+k＜0即为 函数图象在x轴下方时所对应的x值，则x的范围为x＜-2.
6.（中）已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P（2，4 ），则关于x的方程kx+3=-x+b的解是____.
一次函数与方程、不等式
学习目标
1.理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程（组）以及一元 一次不等式之间的联系； 2.掌握一次函数的图像及性质，并能够用一次函数解决一次函数 与方程结合的问题。 3.掌握一次函数图像与几何图形联立问题。
知识回顾 题型讲解 课堂检测 课后作业
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1. 一次函数的定义 一般的，形如y=kx+b(k≠0，k、b为常数)的函数，叫做一次函 数。