2020届上海市松江区高三一模(12月)数学试题(解析版)

【详解】

r
rr
因为向量 a (1, 2) ， b (m, 3) ，所以 a 2b (1 2m,8) ，
又
r (a

r 2b)
∥
b
，所以
1

2m

(3)

8m

0
，即
2m

3

0
，
m3
解得：
2.
3 故答案为： 2
【点睛】 本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
1 2
b

4
2

8
min
8
即M 2.
故选：B
【点睛】
本题主要考查求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.
4．已知集合 M {1, 2,3,,10} ，集合 A M ，定义 M ( A) 为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所
有非空子集时，对应的 M ( A) 的和记为 S10 ，则 S10 （ ）
【点睛】
本题主要考查直线与直线位置关系的判定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.
2．设 x, y R ，则“ x y 2 ”是“ x 、 y 中至少有一个数大于 1”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.

a2



an
)

1 3
，则
a1
的取值范围是________
(0,
1 )
U
1 (
,
2
)
【答案】 3 3 3
【解析】先设等比数列{an}的公比为 q ，根据题意，得到
q
1且q
a1 0，1q

1 3 ，分别讨论
1 q 0 ，和 0 q 1，即可得出结果.
【详解】
Sn


故选：A 【点睛】
本题主要考查命题的充分不必要条件，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
3．若存在 b, c R
，使
x2
bx c

M
对任意的
x 0, 4 恒成立，则（
）
A． M 的最小值为1
B． M 的最小值为 2
C． M 的最小值为 4
D． M 的最小值为 8
【答案】B
【详解】
若 x y 2 ，则 x 、 y 中至少有一个数大于 1，即“ x y 2 ”是“ x 、 y 中至少有一个数大于 1”的充
分条件，
反之，若“ x 、 y 中至少有一个数大于 1”，则 x y 不一定大于 2 ，如： x 2, y 1 ；
因此，“ x y 2 ”是“ x 、 y 中至少有一个数大于 1”的充分不必要条件.
集，由题意可得： M ( A) 可能取的值为1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 ，
则共有 29 个1； 28 个 2 ； 27 个 3 ； 26 个 4 ；……， 20 个10 ；
因此 S10 29 2 28 3 27 4 26 10 20 ，
【详解】
由集合 A 得 x 1,所以 A B 1, 2 1, 2
故答案为：
【点睛】
本题考查了交集及其运算，是基础题．
6．若角
的终边过点
P(4,
3)
，则
sin( 3 2
)
的值为_____________.
4 【答案】 5
cos 4
【解析】由题意可得 x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得
【答案】B 【解析】根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果. 【详解】
因为 l 是平面 的一条斜线，直线 m ，画出图形如下：
显然在平面内必存在直线 m 与直线 l 垂直， 且平面内有无数条直线与直线 m 平行，
故存在无限多条直线 m ，使得 l m .
故选：B
5 ，由诱导公
式化简，代入即可求解．
【详解】
cos 4
解：∵角 α 的终边过点 P（4，﹣3），则 x＝4，y＝﹣3，r＝5，
5，
sin(3 ) cos 4
2
5。
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
7．设
z

1 1

【详解】
因为函数 y f (x) 2x 的图像经过点 (1, 6) ，
所以 6 f (1) 2 ，因此 f (1) 4 ，即函数 y f (x) 的图像过点 (1, 4)
又 y f (x) 存在反函数 y f 1(x) ，所以 y f 1(x) 的图像过点 (4,1) ，
PF1

PF2
2a 6
，再由题中条件，即可得出结果.
【详解】
x2 由题意，在椭圆 9

y2 4
1
中，
PF1

PF2
2a 6
，
又
PF1
2
PF2
3 ，所以 2
PF1
6
，因此
PF1
4
.
故答案为： 4
【点睛】
本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.
mx 4 y m 2
因为关于
x
、
y
的二元一次方程组

x

my

m
无解，
所以直线 mx 4 y m 2 与直线 x my m 平行，
m2 4 0
m 所以 4
2

m m
，解得：
m

2 .
故答案为： 2
【点睛】
本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即
力.
8．

x2

2 x
5
的展开式中
x4
项的系数为_______．
【答案】40
【解析】根据二项定理展开式，求得 r 的值，进而求得系数。
【详解】Βιβλιοθήκη C5r根据二项定理展开式的通项式得
x2
5r 2 r x
C5r 2r x103r
所以10 3r 4 ，解得 r = 2


f f
(0) (4)

M M


c M 16 4b
c

M
【解析】先令
f
(x)

x2
bx c ，由题意，得到
f
(
b) 2

M
，推出
b2 2
2c

2M
，
b2 2c 16 4b c c 4M
2
三式相加得
，根据绝对值不等式的性质定理，得到
10．若关于 x 、 y 的二元一次方程组 x my m
无解，则实数 m ________
【答案】 2
【解析】根据方程组无解，得到直线 mx 4 y m 2 与直线 x my m 平行，根据两直线平行的充
要条件，即可求出结果.
【详解】
mx 4 y m 2

1 3
，
因此
q
1且q

a1 0 ，1 q

1 3 ，即 a1

1 1 q
3
，
所以当
1

q

0
时，
a1

1 3
1
q

1 3
,
2 3

；
当
0

q

1时，
a1

1 3
1
q

0,
1 3

.
因此，
a1
的取值范围是
(0,
1) 3
U
(
1 3
,
2 3
)
.
(0, 1) U (1 , 2) 故答案为： 3 3 3
A．45
B．1012
C．2036
【答案】C
D．9217
【解析】根据题意先确定 M ( A) 可能取的值为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10 ，再得到对应的个数，根据错位
相减法，即可求出结果. 【详解】
因为集合 M {1, 2,3,,10} ，集合 A M ， M ( A) 为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所有非空子
12．已知函数 y f (x) 存在反函数 y f 1(x) ，若函数 y f (x) 2x 的图像经过点 (1, 6) ，则函数 y f 1(x) log2 x 的图像必经过点________ 【答案】 (4,3)
【解析】先由题意，得到 6 f (1) 2 ，推出函数 y f (x) 的图像过点 (1, 4) ，其反函数过点 (4,1) ， 求出 f 1(4) 1 ，得到 f 1(4) log2 4 1 2 3 ，进而可求出结果.
2
所以以上三式相加可得：
，
由绝对值不等式的性质定理可得：
b2 2c 16 4b c c b2 2c 16 4b c c b2 4b 16
2
2
2
，
4M
因此只需

b2 2
4b 16
min


b2 2
4b 16
min


b2 2c 16 4b c c b2 16 4b
2
2
，再由题中存在 b, c R ，使结论成立，可得：只需
4M b2 4b 16
2
min ，进而可得出结果.
【详解】
因为
x2
bx c

M
x 0, 4
对任意的
恒成立，令
f
(x)

x2
bx c ，
所以系数 C52 22 40
【点睛】
本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题。
9．已知椭圆
x2 9

y2 4
1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，若椭圆上的点 P 满足 | PF1 |
2 | PF2
| ，则
| PF1 | ________ 【答案】 4
【解析】根据椭圆定义，得到
2020 届上海市松江区一模（12 月）数学试题
一、单选题
1．已知 l 是平面 的一条斜线，直线 m ，则（ ）
A．存在唯一的一条直线 m ，使得 l m B．存在无限多条直线 m ，使得 l m
C．存在唯一的一条直线 m ，使得 l ∥ m
D．存在无限多条直线 m ，使得 l ∥ m


f f
(0) (4)
M M


c M 16 4b

c

M


c M 16 4b

c

M
则只需
f ( b) 2

M
，即

c

b2 4
M
，所以
b2 2
2c

2M
，
b2 2c 16 4b c c 4M
所以 2S10 210 2 29 3 28 4 27 10 21 ，
两式作差得
S10

210

29

28

27

26


21
10


2(1 210 ) 1 2
10
211 12 2036 ，
所以 S10 2036 .
a1
(1 q 1 q
n
)
,
q

1
设等比数列{an}的公比为 q ，则其前 n 项和为：
na1, q 1
，
若
q
1 时，
lnim(a1

a2



an
)

lim
n
na1

1 3
，
若
q

1 时，
lnim(a1

a2


an )

lim
n
a1(1 qn ) 1 q
可，属于常考题型.

r
r r
11．已知向量 a (1, 2) ， b (m, 3) ，若向量 (a 2b) ∥ b ，则实数 m ________
3 【答案】 2
rr 【解析】先由题意，得到 a 2b (1 2m,8) ，根据向量共线的坐标表示，得到
1 2m (3) 8m 0 ，求解，即可得出结果.
即 f 1(4) 1 ，所以 f 1(4) log2 4 1 2 3 ，
即函数
y

f
1(x) log2
x
的图像必经过点
4,
3 .
4, 3
故答案为： 【点睛】 本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.
13．在无穷等比数列 {an } 中，若
lnim(a1
【点睛】
本题主要考查由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法则，以及等比数列的求和公式即可， 属于常考题型.
14．函数
y

ax b cx d
的大致图像如图，若函数图像经过
i i

2i
，则
|
z
|
______.
【答案】1.
【解析】分析：首先求得复数 z，然后求解其模即可.
详解：由复数的运算法则有：
z

1 1
i i

2i

1 1
i 1 i 1
i i

2i

2i 2

2i

i
，
z i 1
则：
.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能
故选：C 【点睛】
本题主要考查含 n 个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，会求集合的
子集个数即可，属于常考题型.
二、填空题
5．已知集合
A

x
|
x
1

0 ，
B

0，1，2 ，则
A

B

_____
1，2
【答案】
【解析】求解不等式化简集合 A，再由交集的运算性质得答案．