人教版高中数学高二-剖析数列概念中的误区

剖析数列概念中的误区

数列是高中数学的一项重要内容，是进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材，也是以后进一步学习的必备基础知识.但由于同学们初涉数列知识，容易混淆其中的一些问题，下面就数列概念中的误区加以剖析.

误区一、忽略a n ＝S n －S n －1中“n ≥2”的条件而致错

例1 已知数列{a n }对任意n ∈N *都满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n -1a n ＝8－5n ，求数列{a n }的通项公式.

错解：由于a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n -1a n ＝8－5n ，那么a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n -2a n -1＝8－

5(n －1)，两式对应相减可得2n -1a n ＝8－5n －[8－5(n －1)]＝－5，所以a n ＝－52

n -1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝－52

n -1. 剖析：当n ＝1时，由题目中的条件可得a 1＝3，而代入错解中所得的通项公式可得a 1＝－5，显然是错误的.其原因存于两式相减时，所适用的条件是n ≥2，并不包含n ＝1的情况.只有所求的通项公式对n ＝1时也成立，才可以这样写，否则要分开写.

正解：当n ≥2时，由于a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n -1a n ＝8－5n ，那么a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n -2a n -1＝8－5(n －1)，两式对应相减得2n -1a n ＝8－5n －[8－5(n －1)]＝－5，所以当n ≥2

时，a n ＝－52n -1，而当n ＝1时，a 1＝3≠－52n -1＝－5，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧

3 n ＝1

－52

n -1 n ≥2. 点评：本题实质上已知数列的前n 项和，求通项，而在a n 与S n 的关系中，a n ＝S n －S n -1，成立的条件是n ≥2，求出a n 中不一定包括a 1，而a 1应由a 1＝S 1求出，再检验a 1是否在a n 中，这是一个典型的易错点.

误区二、忽视数列项各项的构成及变化规律而致错

例2 若数列{a n }的通项a n ＝1＋12＋13＋…＋12n －1

，则a n+1＝ . 错解：a n+1＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n+1－1

， 剖析：上面的解法的错误在于对数列通项的构成规律没有正确的认识，在增加项没有按其项的构成及变化规律进行增加项.由于构成数列通项的和式是分母为连续的自然数，而在

所得的结果中，“12n －1”后一项应该是“12n ＋1”，同时从12n －1连续加到12n+1－1

共须添2n 项.

正解：a n+1＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1＋…＋12+1－1(从12n 到12n+1－1

共有2n 项) 点评：在解答某些数列问题中，清理数列的项数或对数列中的增、减项是必不可少的，如果不注意数列项的构成及变化规律，在解决相关问题时会经常出错，因此，命题人也常在此设置易错点.

误区三、混淆数列项数对应关系而致错

例3 已知在数列{a n }中，a n ＝2n ＋n 2，将数列{a n }中的第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2k 项依次取出，构成一个新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式.

错解：数列{b n }的项数与数列{a n }的项数有如下对应关系：{a n }的项数：1,2,4,8,…

2k -1,2k ,…，{b n }的项数：1,2,3,4,…,k,k ＋1,…，因为a n ＝f(n)＝2n ＋n 2，所以f(2n )＝22

n ＋2n

2

，由题意知数列{b n }的第n 项，即为数列{a n }的第2n 项，所以所求数列{b n }的通项公式为b n ＝a 2n ＝22n ＋2n

2

. 分析：在两个数列相应的对应的问题中，要注意两者的对应要正确.上面错解中错误地认为数列{b n }的第n 项即为数列{a n }的第2n 项，其实应该是数列{b n }的第n 项即为数列{a n }的第2n -1项.要注意数列对应的正确性.

正解：数列{b n }的项数与数列{a n }的项数有如下对应关系：{a n }的项数：1,2,4,8,…

2k -1,2k ,…，{b n }的项数：1,2,3,4,…,k,k ＋1,…，因为a n ＝f(n)＝2n ＋n 2，所以f(2n -1)＝22

n -1＋2n -12＝42n ＋2n

4

，由题意知数列{b n }的第n 项，即为数列{a n }的第2n -1项，所以所求数列{b n }的通项公式为b n ＝a 2n -1＝42n ＋2n

4

. 点评：本题实质上是数列的抽项问题，找准新数列与原数列之间的对应关系是解答此类问题的关键，因此必须注意数列的新数列的下标与原数列下标之间的关系.

误区四、忽视数列是一个特殊的函数

例4 已知{a n }是一个递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn ，求实数λ的取值范围.

错解：因为a n 是一个关于n 的二次函数，其图象为开口向上且对称轴为n ＝－λ2

的抛物线，则当－λ2

≤1时，a n 为n ∈N *上的增函数，∴λ≥－2. 剖析：上数列作为一个特殊函数，它的定义域是一个定义域为正整数集N*（或

它的有限子集{1，2，3，…，n}），因此a n 的图象是抛物线上一串孤立的点列(如

右图)，由此可知，－λ2

≤1只是a n 为n ∈N *上的增函数的一个充分不必要条件. 述解法完全是按照n ∈R ，而没有考虑到数列的项数n ∈N *来解的.

正解：当－λ2＜32

时，f(1)比f(2)离对称轴近，f(2)比f(3)离对称轴近，f(3)比f(4)离对称轴近，即f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＜…，所以当－λ2＜32

即λ＞－3时，a n ＝n 2＋λn 为n ∈N *上的增函数.

点评：虽然数列作为一种特殊的函数，与函数有相当密切的联系，但由于定义域比较特殊，因此不能完全把函数的知识及解题的思想方法照搬到解决数列问题中去.

通过对上面几例的错例分析可以看到，在一些数列习题中都隐藏着这样或那样的“误区”，稍有不慎便有可能落入其中，而得出错误的结论.因此我们必须从各个方面提高警觉，增强解题的准确性.