上海市上海中学2018-2019学年下学期高二期末数学试卷

上海中学高二下期末数学试卷
2019.6
一、填空题
1．在Rt A BC △中，90C ∠=︒，1AC =，2BC =，以BC 边所在直线为轴，把A BC △旋转一周，得到的几何体的侧面积为 ．
2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调 查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超 过45岁的职工 人．
3．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ．
4．袋中有6个黄色、4个白色的兵乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，则第二次才取到黄色球的概率为 ．
5．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则0126,,,,a a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数的和等于 ．
6．12322019
202020201222C C C C ++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅被10除得的余数是 ．
7．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，则 2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+的值为 ．
8．长方体1111A BCD A B C D -的8个顶点在同一球面上，且2AB =， 3A D =，11A A =，则顶点A 、B 的球面距离是 ．
9．如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A 沿圆锥体的表面爬 行一周，又绕回到点A ．已知该圆锥体的底面半径为r ，侧面母线长 为3r ，则小蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
10．已知四面体ABCD （非正四面体），过四面体ABCD 内切球球心的任意截面，若将该 四面体分成体积相等的两个小多面体，假设这两个小多面体的表面积分别是12,S S ，则 1
2
S S = ． 11．对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,,}n ⋅⋅⋅进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m ⋅⋅⋅ 和{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机 抽取2个不同元素，组成样本（样本中共4个元素）．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本 中的概率，则所有(1)ij P i j n <≤≤的和等于 ．
12．今有6个人组成的旅游团，包括4个大人2个孩子，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，孩子乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有 种．
13．晚会上共有8个演唱节目和3个舞蹈节目，要求任何2个舞蹈节目之间至少要有2个演唱节目，则一共有 种不同的节目顺序表．
14．设1210,,,x x x ⋅⋅⋅为1,2,,10⋅⋅⋅的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n <≤≤，都有m n x m x n ++≤成立的不同排列的个数为 ．
二、选择题
15．把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件
A 表示“甲分得红牌”，事件
B 表示“乙分得红牌”，则A 与B 是（ ）
A ．对立事件
B ．互相独立的事件
C ．互斥但不对立事件
D ．以上均不对 16．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下 面的六个出口中的某一个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你 在该游戏中猜测珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（ ） A ．
516 B ．532 C ．1
6
D ．以上都不对 17．若两条异面直线所成的角为60︒，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ） A ．48对 B ．24对 C ．12对 D ．66对 18．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 互相垂直的半径．若该几何体的体积是
28
3
π，则它的表面积是（ ） A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π
三、解答题
19．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12、13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，求该总体方差的最小值．
20．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三名学生的平时成绩分析，甲、乙、丙三名学生笔试合格的概率分别是0.6、0.5、0.4，面试合格的概率分别是0.6、0.6、0.75，求
（1）甲、乙、丙三名学生中恰有一人笔试合格的概率；
（2）经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．
21．在一次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件．组委会决定将裁判由原来的9名增至14名，任取其中7名裁判的评分作为有效分，若全部14名裁判中有2名受贿，7个有效评分中有受贿裁判评分的概率称为“不公正率”，求
（1）“不公正率”为多大？
（2）若从(9)
n n 个裁判中任取其中7名裁判的评分作为有效分，受贿人数仍为2人，要使“不公正率”降至40%以下，请问裁判团人数n至少为多少人？从本题计算所得数值中你有何感想？
22．所有含数字5的三位正整数（例如：105，551等等）构成集合A，求
（1）集合A中的元素个数；
（2）集合A中所有元素的和．
23．有一张形状为矩形11A BB A 的纸，边长1A A 为16cm π，边AB 长为16cm ，其内有两点,P Q ，
点P 到1A A 、11A B 的距离分别为4cm 、4cm π，点Q 到AB 、1BB 的距离分别为43
cm π
和6cm ，现将矩形卷成一圆柱的侧面，使AB 和11A B 重合，求： （1）P 、Q 两点间的距离；
（2）四面体ABPQ 的外接球的表面积．
24．已知祖暅原理的两个推论如下：
推论1：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果所截得的两个截面的面积之比恒等于:a b ，那么这两个几何体的体积之比也等于:a b ． 推论2：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任何直线所截，如果截得的两条线段的长度总相等，那么这两个平面图形的面积相等；如果截得的两条线段的长度之比恒等于:a b ，那么这两个平面图形的面积之比也等于:a b ．
对于椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>，利用以上两个推论求解下列问题：
（1）求圆222:D x y b +=与椭圆C 的面积之比；
（2）将椭圆C 绕y 轴旋转一周得到一个椭球体，求该椭球体的体积．
参考答案
一、填空题
1．5π 2．10 3．48 4．
4
15
5．32 6．1 7．1045⨯ 8．2π
9．33r 10．1 11．6 12．348 13．8467200 14．512 【第1题解析】155S rl πππ==⋅⋅=侧． 【第2题解析】
25
8010200
⨯=（人）． 【第3题解析】13
2448C P ⋅=（2和4两个偶数任选1个排在个位，余下4个数字4选3排在
其余3个数位）．
【第4题解析】11
46
11
109415
C C P C C ⋅==⋅． 【第5题解析】偶数为116
6a C ==，33620a C ==，5
566a C ==，和为32． 【第6题解析】原式122332020
202020202011(22222)[1(12)]22C C C C =+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=
++ 2010081
7718
1010101031(101)150(101010)4922
C C C C +-+===⋅-⋅+
-⋅+-，
被10除得的余数是1． 【说明】计算器输入2011
1((20)2)x x Cx -=+⨯∑，可得1743392201，∴其被10除得的余数是1． 【第7题解析】令1x =-，可得012112a a a a +++⋅⋅⋅+=-， 令3x =-，可得100121125a a a a -+-⋅⋅⋅-=-⨯，
于是，原式100121101211()()45a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+-+-⋅⋅⋅-=⨯．
【第8题解析】长方体的体对角线即为球直径，其值为22，∴球半径2r =， 由于2A O BO ==，2AB =，∴2
A O
B π
∠=
，∴球面距离2
A B A OB r π=∠⋅=
． 【第9题解析】将圆锥的侧面展开图为半径为3r ， 弧长为2r π的扇形，其圆心角为
23
π
，于是小蚂蚁 爬行的最短路径为图中的线段AA '，其长为33r ．
【第10题解析】内切球的球心O 到四面体ABCD 的四个面的距离均为球半径r ， 记两个小多面体的体积分别为1V 、2V ，截面面积为S ，由12V V =可知， 1211
()()33
S S r S S r ⋅-⋅=⋅-⋅，从而12S S =，∴121S S =．
【第11题解析】从{1,2,,}m ⋅⋅⋅中随机抽取2个元素的所有的抽法有2
m C ， 从{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅中随机抽取2个元素的所有的抽法有2n m C -，
∴从每个子总体中各随机抽取2个不同元素组成样本的所有抽法有22
m n m C C -⋅．
①当,{1,2,,}i j m ∈⋅⋅⋅时，元素,i j 必须被抽取，子总体{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅中需再抽2个元素，
∴2
2221n m ij m n m m
C P C C C --==⋅，这样的情况有2
m C 个（确定,i j 分别为哪2个元素），
∴此情况中ij P 的和为
2
211m m
C C ⋅=； ②当,{1,2,,}i j m m n ∈++⋅⋅⋅时，元素,i j 必须被抽取，子总体{1,2,,}m ⋅⋅⋅中需再抽2个元素，
∴2
222
1m ij m n m n m
C P C C C --==⋅，这样的情况有2
n m C -个（确定,i j 分别为哪2个元素）， ∴此情况中ij P 的和为
2
21
1n m n m
C C --⋅=；
③当{1,2,,}i m ∈⋅⋅⋅，{1,2,,}j m m n ∈++⋅⋅⋅时，元素,i j 必须抽取，且还需在两个子总体剩余
的1m -个和1n m --个元素中各抽取1个，∴11
11
22
4()m n m ij m n m
C C P C C m n m ----⋅==⋅-，这样的情况有11
m n m C C -⋅个
（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中ij P 的和为11
44()
m n m C C m n m -⋅⋅=-；
∴所有(1)ij P i j n <≤≤的和等于6． 【第12题解析】 方法一：直接法
①2辆缆车（3+3）[3辆缆车选2辆]：233
36360C C C =（种）；
②3辆缆车（1+2+3）[单独乘缆车的必须是大人]先确定4个大人哪一个单独乘哪一辆缆车，
另外2辆缆车各1个孩子或1个大人陪同2个孩子：1121111
4323223()[()]216C C P C C C C +=（种）
； ③3辆缆车（2+2+2）先确定2个孩子乘坐的缆车，再安排4个大人的2人乘余下的一辆缆
车，剩余的2个大人分别陪同1个孩子：222
34272P C P =（种）；
∴答案为6021672348++=（种）． 方法二：排除法
总情况：3辆缆车（1+2+3或2+2+2）[先分组再排列，注意有平均分组]或2辆缆车（3+3）
[3辆缆车选2辆]，222
1233233
64265333633
3
()510C C C C C C P C C C P +⋅+=（种）；
2个孩子乘同一缆车，且无大人陪同的情况：2+2+2或1+2+3，121113434242C C C C C +=（种）； 1个孩子单独乘1辆缆车的情况：1+2+3，1121
2352120C C C C =（种）
； ∴答案为51042120348--=（种）．
【第13题解析】（隔板法）8个演唱节目先全排列，然后在这8个演唱节目隔开的9个空插入3个舞蹈节目并排序．第1个舞蹈节目之前，第1、2个舞蹈节目之间，第2、3个舞蹈节目之间，第3个舞蹈节目之后的演唱节目的个数依次记作1a 、2a 、3a 、4a ，由题意，12340,2,2,0a a a a ≥≥≥≥，则123411,11,12,11a a a a +--+≥≥≥≥，问题转化为8个舞
蹈节目除头、尾外的7个空插入3个舞蹈节目并排序，∴共有83878467200P P ⋅=（种）． 【第14题解析】
（1）1,2的排列有1,2和2,1共2个满足题意；
（2）1,2,3的排列有1,2,3、1,3,2、2,1,3、3,2,1共4个满足题意，
其中1,2,3和1,3,2可由（1）中排列1,2插入3得到，3在排尾或者（1）中最大元素2之前， 其中2,1,3和3,2,1可由（1）中排列2,1插入3得到，3在排尾或者（1）中最大元素2之前； （3）1,2,3,4的排列有1,2,3,4、1,2,4,3、1,3,2,4、1,4,3,2、2,1,3,4、2,1,4,3、3,2,1,4、4,3,2,1共8个满足题意[可由（2）中排列插入4得到，4在排尾或者（2）中最大元素3之前]； …，排列的个数构成2为公比的等比数列，∴所求的不同排列的个数为92512=．
二、选择题
15．C 16．A 17．B 18．A 【第16题解析
1至6号口的情况依次为0
5
C 、15
C 、…、55
C ，所求的概率为2
555
216
C P ==，选A ．
【第17题解析】如图，11A BC △为等边三角形，将11A BC △相邻 两边的其中一边用和它平行的直线替换即可得到一对“黄金异面直线对”， 如11A C A C ∥，∴AC 与1A B ，AC 与1C B 为“黄金异面直线对”； 于是由11A BC △可得6对；类似1A CD △、11A B D △、1BC D △均可得 6对，共24对，选B ．
【第18题解析】如图，该几何体为
78个球，377428
8833
V V r ππ==⋅=球， 2r ⇒=，∴227171
343178484
S S S r r πππ=+⋅=⋅+⋅⋅=圆球，选A ．
三、解答题
19．10.5a b ==，方差35.808．
20．（1）0.6(10.5)(10.4)(10.6)0.6(10.4)(10.6)(10.5)0.40.38P =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=；（2）先计算甲、乙、丙都不被录取的概率，分别为10.60.60.64-⨯=、10.50.60.7-⨯=、 10.40.750.7-⨯=，再由排除法（去掉三人都不被录取的概率）， 可得所求概率为10.640.70.70.6864P =-⨯⨯=．
21．（1）排除法（去掉没有受贿裁判的概率），7
1271410
113
C P C =-=；
（2）72
721325
n n C P n C -=-<⇒≥，即裁判团人数n 至少为32人；感想略． 22．（1）所有的三位正整数，去掉不含5的，答案为111
899900252C C C -⨯⨯=（个）；
（2）①百位为5的有100个；
②百位不为5的有152个，其中百位为1，2，3，4，6，7，8，9的各有19个， 百位为1的元素的和为1010(105115195)(150151159)1552890++
++++
+-=个
个
，
百位为2的元素的和比百位为1的元素的和多了19个100，以此类推， 所有元素的和为100(500501599)[289081900(1235678)]138870++
++⨯+⨯++++++=个
．
23．记圆柱下底面的圆心为O ，P 、Q 在下底面的投影分别记作1P 、1Q ， 设底面圆半径为r ，2168r r ππ=⇒=， 由已知，1142
A P A OP r A OP π
π=∠⋅=⇒∠=
，
11436
A Q A OQ r A OP ππ
=∠⋅=
⇒∠=， （1）如图建立空间直角坐标系，
由题意，14PP =，116610QQ =-=，则(8,0,4)P 、(4,43,10)Q -，∴||257PQ =； （2）设外接球的方程为2222()()(8)(0)x a y b z r r -+-+-=>， 该球过(0,8,0)A 、(8,0,4)P 、(4,43,10)Q -，
∴222
222
222
2973(8)642173(8)16(4)(43)438073
a a
b r a b r b a b r r ⎧+=
⎪⎪⎧+-+=⎪⎪+⎪-++=⇒=⎨⎨⎪⎪--+-+=⎩⎪-=
⎪⎪⎩
，
从而，外接球的表面积为224(38073)S r cm ππ==-．
24．（1）如图，直线y h =与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D 两点， 易得22
2222222||
22||
221CD b h b h b a A B a h b h a b b --=
==⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴由推论2，
S b S a
=圆椭圆
； （2）用平面z h =截椭球体与球，
则
2
22222
222222222
1()()()h a a b h b S a b S b h b b h ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===--椭球截球截
， ∴2232
224433
a a V V
b a b b b ππ==⋅=球椭球
．。