苏教版六年级小升初奥数专项训练第十六周 解决实际问题

第十六周解决实际问题
1、最优化问题
【题型概述】
做一件事情，如果能够合理安排，就可以节约时间和金钱，这正是华罗庚爷爷倡导的“最优化思想”。

今天我们将研究这种问题。

【典型例题】
甲地有89吨货物需运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨。

大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升。

那么，运完这些货物最少耗油多少升？
思路点拨由于大卡车载重7吨，运一趟货用汽油14升，即平均运1吨货
用2升汽油；小卡车载重4吨，运一趟货用9升汽油，则平均运1吨货耗油9
4
升。

因此，大卡车比小卡车耗油量少，应尽量用大卡车运。

89=7×12+5，如果全用大卡车运，需跑13趟，耗油为13×14=182（升）；如果用大卡车运12趟，还剩5吨，还要小卡车运2趟，但这样运汽油就多耗了；如果大卡车运11趟，则剩下12吨，正好让小卡车运3趟，这样安排运货所用的汽油最少。

14×11+9×3=181（升）
答：最少耗油181升。

【举一反三】
1、在一条公路上，每个100千米有一个仓库，共有五个仓库，一号仓库存
有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有25吨货物，其
余两个仓库是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果
每吨货物运输1千米需要5元运费，那么，最少要花多少运费才能按要
求运完？
2、在一条高速公路上每隔50千米有一所管理站，一号管理站有1人，二
号管理站有2人，四号管理站有4人，三号管理站实行无人管理。

现在
要把所有的管理员集中到一起开会，请问在几号管理站集中，他们所走
的路程最少？最少是多少千米？
3、小李，小许，小肖，小伟四人分别拿着三个，一个，二个，四个热水瓶
去打水，现在只有一个水龙头可以使用，应该如何安排这4个人的打水顺序，使他们总的打水时间最少（注满一瓶水要1分钟）？
【拓展提高】
北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去，其中甲工厂需要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨，两个仓库与各工厂之间的距离如图所示（单位：千米）已知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？
思路点拨 观察图可以发现，甲仓库中的货物应尽量从南库调入。

南仓库运25吨货物到甲工厂，费用是1×8×25=200（元） 北仓库运3吨货物到甲工厂，费用是1×10×3=30（元）；运12吨货物到乙工厂，费用是
1×6×12=72（元）运20吨货物到丙工厂，费用是1×12×20=240（元） 200+30+72+240=542（元） 所以，最少的费用是542元。

10 6 12
8 5 16
【奥赛训练】
4、少先队员参加植树活动，每人植树2棵，如果一个人挖一棵树坑需要25
分钟，运树苗一趟（最多可运4棵，）需要20分钟，提一桶水（可浇4棵树）需要10分钟，载好一棵树需要10分钟，现在以两个人为一个小组进行合作，完成植树任务所需要的最短时间是多少分钟？
甲 北仓库 南仓库 乙 丙
5、如图所示，图中数字为各线段所表示的路程长度，公司调动20辆卡车把60车建筑垃圾从A 地运到垃圾储存地B ，还要把40车红砖从C 地运到建筑工地D 处，问如何调动最省汽油？ 360 D C 240 90 A B 300
2、离散最值
【题型概述】
数学中的很多问题都要求“最多”或“最少”，我们一般称之为“离散最值”问题。

这类问题分布在很多领域，因此，解决的办法也就层出不穷，下面，我们举出几个例题供同学们学习。

【典型例题】
设a 和b 是1~100中的两个不同自然数，那么，
a+b
a -
b 的最大可能值是多少？
思路点拨 要使a+b
a -
b 尽量大，那么，a —b 应尽量小，即取a —b=1；a+b 应
尽量大，因此，a=100,b=99. a+b a -b =100+99
100-99 =199.
所以a+b
a -
b 的最大可能值是199. 【举一反三】
1、一排有50个座位，其中有的座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少人就座？
2、甲、乙两个自然数，如果甲数的56 恰好是乙数的1
4 ，那么，甲乙两数和的最小值是多少？
3、编号为1到10的十个果盘里，每盘都盛有水果，共盛放100个，其中第
一盘里有16个，并且编号相邻的三个果盘中水果数的和都相等，那么。

第8盘中水果最多可能是多少个？
【拓展提高】
实验小学的大礼堂里共有座位24排，没排有30个座位，全校有650个同学到礼堂里观看文艺晚会，那么至少有多少排的座位上坐的学生人数同样多？
思路点拨：我们从“极端”情况开始考虑，假设24排座位上坐的学生人数是不同的，那么只能坐
（7+30）×24÷2=444（人）
假设只有2排座位上坐的学生人数相同，那么最多可以坐
（19+30）×12÷2×2=588（人）
假设只有3排座位上坐的学生人数相同，那么最多可以坐
（23+30）×8÷2×3=636（人）
而全校共有学生650人，因此，肯定还有650—636=14（人）要坐在这24排中的某些排的座位上，所以，至少有4排座位上的学生人数同样多。

【奥赛训练】
4、有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等，这类数中最大的自然数是多少？
5、某一次数学测验之后，班上25位学生都看了一眼老师的成绩表，每一位学生都留意到有5个甲等成绩，没有一个学生看到全部成绩，也没有一个学生看到他或她自己的成绩，问：最少有几位学生获得甲等成绩？
3、画图与染色
【题型概述】
有些数学问题看似情况复杂混乱或根本无法列式计算，使人无从下手，碰到类似的题目，不妨画一画图，说不定会使你茅塞顿开，豁然开朗，好，开始我们今天的学习吧！ 【典型例题】 小明，大宝两名运动员在长是30米的游泳池里来回游泳，小明的速度是每秒1米，大宝的速度是每秒60厘米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，在这段时间内他们一共相遇了多少次? 思路点拨 如图所示，我们分别画一条水平直线表示时间，画一条竖直直线表示距离，游30米的距离小明需要30÷1=30（秒），大宝需要30×100÷60=50（秒）。

小明从一端出发，到第30秒时游到另一端，到第60秒时又游回出发点···把小明在0秒，30秒，60秒，90秒，120秒，150秒的位置用实线连起来，就得到小明的游泳路线，用同样的方法可以画出运动员大宝的游泳路线，即图中的虚线。

30米 30 50 60 90 150 秒
从图中可以看到，在前150秒里，两个运动员的游泳路线共有5个交点，说明他们一共相遇了5次，在第150秒时两名运动员的位置与一开始相类似（位置相反），5分钟共有300秒，后150秒也应该相遇了5次，所以在5分钟内他们共相遇了10次。

【举一反三】
1、容器中有某种浓度的酒精，加入一杯水后，容器中纯酒精含量为25%，再加入一杯纯酒精，容器中纯酒精含量40%，原来容器中有几杯酒精？浓度为多少？
2、甲、乙两个工程队合作修筑一段公路，甲先单独施工4天，完成这段公路的1
3 。

后来乙队加入，两队共同施工3天，完成了这段公路修筑任务，如果乙队每天修筑75米，这段公路全长为多少米？
3、甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加数学兴趣小组，甲班参加数
学兴趣小组的人数恰好是乙班没有参加人数的1
3，乙班参加数学兴趣小组的人数
是甲板没有参加人数的1
4，甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之
几？
【拓展提高】
黄金珠宝行作业发生盗窃，警察对六名嫌疑犯进行了审讯。

猴子一脸无辜地说：“是狐狸和狗熊一起干的，不关我的是。

”
小猪说：“我敢肯定小偷是黄鼠狼和兔子。

”
“是兔子和狐狸偷了珠宝”黄鼠狼连忙申辩。

狗熊说：“是猴子和狐狸”
而狐狸却说：“是黄鼠狼和小猪偷的。

”自始至终只有兔子一句话也没讲。

通过分析鉴定，黑猫警长已经掌握了确凿的信息，这六个人中恰好有两个人是小偷，其中只有一人的回答全是谎话，而其余四人的回答都有一名是小偷。

小偷到底是哪两个人呢？
思路点拨：如图所示，首先，我们用一个店表示一个嫌疑犯，一条线段表示一句话（例如：代表狐狸与狗熊的两个点连成的线段表示猴子说的话）。

因为有一个嫌疑犯讲的全是谎话，所以，只有一条线段的两个端点代表的两个人均不是小偷，其余四条线段的只有一个端点表示了小偷，又因为只有两个小偷，因此，有两个点共四次被作为端点来表示小偷，而且这两个点不可能是同一条线段的端点（否则就意味着有一个人说的全是真话）由此可以知道：小偷只能是狐狸和小猪。

【奥赛训练】
4、如图所示，某个展览会有25个展室，相邻两个展室都有门相通，有个小朋友从A室开始，打算依次而又不重复地走过每一个展室，最后回到A室，那么，这个小朋友的打算能够实现吗？
5、用若干个形如图所示的纸片，盖住一个尺寸为6×12的矩形（允许纸片伸出矩形之外），至少需要多少张这样的纸片？
4、体育活动中的推理
【题型概述】
同学们在平时的学习过程中经常会碰到一些体育活动中的推理问题，解决这种问题的关键是熟悉比赛的规则，根据已知条件展开合理的推理，通过调整和试验得出最后的比赛情况。

【典型例题】
A、B、C、D、E五位运动员参加乒乓球循环赛，每盘比赛规定胜者得2分，负者得0分，已知比赛结果如下：
（1）A与B并列第一名
(2 )C是第三名
（3）D与E并列第四名
求C的得分。

思路点拨我们知道既然是循环赛，每人都要赛4场，共有10场比赛，比赛总分为
2×10=20分，如果A与B并列第一，他们不可能都是全胜，这样不符合题意，因此，他们最多只能得2×3=6分。

而20—6—6=8分，假设第3名C得4分，D和E各得2分，也就是在D和E进行的四场比赛中他们各胜1场负3场，符合要求。

所以C得4分。

【举一反三】
1、A、B、C、D、E五人参加围棋赛，四位观战者预测了结果，甲说：“E第三，A第四”乙说：“A第三，B第一。

”丙说：“B第四，E第二”丁说：“D第一，C第三。

”实际结果是每人只猜对了一个，参赛5人也没有并列名次。

那么谁得第一？谁得第二？谁的第三？。