基于数学核心素养发展的“关键教学点”教学设计研究——以《一次函数的应用》为例

基于数学核心素养发展的“关键教学点”教学设计研究
——以《一次函数的应用》为例
黄燕福建省厦门市集美中学（361000）
教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》明确指出：“研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力．”[1]义务教育阶段是学生核心素养培养的关键期，数学课程作为初中阶段的核心课程之一，对学生核心素养的形成有着非常重要的作用．《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出了若干核心素养，包括运算能力、推理能力、空间观念、数据分析观念、模型思想、应用意识和创新意识等．这对教师教学提出了新的要求与挑战，把握关键教学内容，突破教学关键问题，能有效地发展学生的数学核心素养．
1 概念界定
1.1 何为数学核心素养
数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，也可以理解为它是满足一个公民日常生活需要所应具备的数学思考与判断，以及参与数学活动的能力[2]．数学核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能，也不是一般意义上的数学能力．核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的素养，具有综合性、阶段性和持久性的特点[3]．具备一定数学素养的公民在具体生活情境中，更有利于发现问题、提出问题和解决问题．
1.2 何为“关键教学点”
所谓“关键教学点”是指在初中数学某知识内容范围内，一个根本的或核心的教学点，它在教学过程中能起到“奠基、示范、归纳、引领、启迪”的作用．加强“关键教学点”的教学，能使学生更好、更快地理解知识、掌握技能、形成能力．例如，“一次函数的应用”可以作为模型思想、应用意识发展的“关键教学点”，“平均数”可以作为发展数据分析观念的“关键教学点”，“利用消元法解二元一次方程组”可以作为发展学生运算能力的“关键教学点”，“全等三角形的判定”可以作为发展学生推理能力的“关键教学点”等．
2 以“关键教学点”带动数学核心素养的发展
数学学科教学中，教师要掌握学生的认知规律和思维特点，选准“关键教学点”，以“关键教学点”带动数学教学，帮助学生掌握知识、提高能力、发展素养．形成学科核心素养是长期经验积累的过程，要求教师要有意识地将常态教学与核心素养的培养结合在一起，而关键点教学恰是一个很好的契合点．教师在备课时应整体把握课程，着重考虑通过“关键教学点”的教学可以培养学生何种数学核心素养，通过将相关的成逻辑体系的知识点整合起来，以此来带动数学核心素养的发展．
2.1整体把握课程，寻找切入点
初中数学课程是一个有机整体，要整体理解数学课程理念，掌握数学课程目标，特别需要整体感悟数学核心素养．寻找“关键教学点”作为教学的切入点，要求教师能从一节一节的教学中跳出来，以主题或者单元作为教学的基本对象，以发展学生数学核心素养为目的．以“章”作为单元，如将“全等三角形”作为教学设计单元，将“全等三角形的判定”作为发展推理能力的切入点；以数学中的重要主题为教学设计单元，如“方程”“不等式”“函数”，以“不等式的应用”作为发展学生应用意识的切入点；以数学中数的运算为主题，如把“去括号”作为发展学生运算能力的切入点等．在“关键教学点”的学习过程中，学生会不断提升关键能力，改善思维品质，提升数学核心素养．
2.2 感悟思想方法，挖掘联结点
初中教学要以发展学生数学核心素养为导向，创设有利于学生核心素养发展的教学情境，把握数学本质，感悟数学思想方法．初中阶段常见的数学方法有：配方法、换元法、消元法、待定系数法等；常见的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、建模思想、分类讨论思想、化归与转化思想等．教师通过引导学生观察与实验、抽象与概括、归纳和演绎等获得数学思想方法．“关键教学点”是教学的着力点，教师应兼顾教材与学生，以点带面，通过“关键教学点”的学习引发学生思考，将“关键
教学点”作为不同知识间的重要联结点，引导学生感悟数学思想方法，“授之以鱼的同时授之以渔”，做到知识间、思想方法间的迁移，以带动其他知识点的学习，促进学生数学核心素养的发展．
3 基于数学核心素养发展的“关键教学点”的教学设计例析
“一次函数的应用”是培养学生应用意识的“关键教学点”，以“关键教学点”的教学带动学生数学核心素养的发展，可以为后续学习二次函数、反比例函数等奠定基础．
3.1 直观感知，问题引领教学
《一次函数的应用》最关键的环节是通过实际问题抽象出函数模型．数学建模借助模型联系相关学科、数学与生活，对于形成个体的核心素养具有重要作用．[4]八年级学生正处于形式运算阶段，皮亚杰认知发展阶段理论认为，处于形式运算阶段的学生可以发展抽象思维和符号意识．针对学生的年龄特点及认知发展水平，本节课可以采取直观性策略引导学生作图，从图形关系产生对数量关系的直接感知，进而建立“形”与“式”的联系，抽象出一次函数模型．
3.1.1 体会建模意义，形成初步应用意识
问题1：写出如下表格中，你认为可能的m值，并说明理由．
x2− 1 0 1 2
y5−3−1−m 3
问题2：你能否在平面直角坐标系中表示y与x的变化规律？
问题3：y与x是否存在函数关系？如果存在，是什么？如果不存在，请说明理由．
笔者采用问题组织策略，以问题链的方式引导学生从数和形的角度观察，初步感受到在实际问题中要抽象出模型，一定要经历对数据客观全面的分析，在此基础上才能确定模型，体会建模的意义，形成初步的应用意识．
3.1.2 感悟实际意义，培养应用意识
问题4：以下表格中给出了1900年至1908年的奥运会男子撑杆跳高记录，从这三届数据，你能看出其中的规律吗？
年份t… 1900 1904 1908 …
高度V/米… 3.33 3.53 3.73 …
追问:你能由此表格推测1896年和1912年奥运会的男子撑杆跳高记录吗？
问题5：1912年之后的每届奥运会男子撑杆跳高的成绩，你觉得会一直按照这种规律提高吗？也就是说高度y与年份x一定满足一次函数模型吗？请说明你的理由．
根据三组数据，学生直观认为y与x满足一次函数模型．笔者举该例的目的是力求引导学生感悟实际意义，分析不能以这三届的撑杆跳高记录预测整体的情况．这三届的记录呈现出的规律只是一种偶然现象，每届奥运会撑杆跳高成绩受人类身体机能提升、比赛场地的不断完善、材料科学的发展等因素的影响．或许在早期某个阶段随着运动水平的提高，撑杆跳高记录会随着年份的增长而增长，但由于人体机能的极限，跳高记录不可能无限增长下去，也不一定呈现“规律性”的增长，借此引导学生感悟实际意义，培养数学应用意识．
3.2 活动探究，需求激发思考
教育之父赫尔马特曾说过“任何个体在获取知识时，其兴趣都要发生四个阶段的变化，即注意、期待、探究和行动．”可见要真正具有学习数学的兴趣，只有通过学生自身的行动．
1950年至2010年世界人口数近似地由下表给出，请预测2020年世界人口数．
年份人口数
1950 25
1960 30
1974 40
1987 50
1993 52
1999 60
2010 69
世界人口增长表格给出的数据没有明显的规律，学生很难通过分析数据直接预测2020年的世界人口数，于是引发借助图象预测年份与人口数发展趋势的思考．
借助图象确定一次函数模型后，学生任选两点求直线的解析式．通过对比不难发现，任意选择两点所建立的解析式不唯一，不同选点所建立的模型误差较大，引发学生思考“为什么建立的模型不够合理”，此时教师追问“应该如何选点？”
思路1学生借助直尺在建立的平面直角坐标系中“摆一摆”“画一画”，使得过两点画出的直线尽
可能经过更多的点（排除两个特殊点（1950，25），（1993，52）后，使得其它5个点尽可能靠近所画直线），从而确定最贴近实际情境的数学模型．例如图1和图2：
x
y
1950
2010
2000
1990
1980
1970
1960
10
20
30
40
50
60
70
O
A (1960,30)
B (1974,40)
C (1987,50)
D (1999,60)
E (2010,69)
N (1993,52)
M (1950,25)
图1（直线AD ）
x
y
1950
2010
2000
1990
1980
1970
1960
10
20
30
40
50
60
70
O
A (1960,30)
B (1974,40)
C (1987,50)
D (1999,60)
E (2010,69)
N (1993,52)
M (1950,25)
图2（直线BC ）
有的所绘直线不合理，即其它点不在直线上，或者距离直线远、误差大．例如图3和图4：
思路2：教师利用几何画板进行演示，直观再现学生建模选点的思考过程，让学生感受建模的乐
趣．通过演示，师生共同确定选择(196030)A ，和(201069)E ，所建立的直线模型最合理，再利用待定
系数法共同求解出函数模型．
x
y
1950
2010
2000
1990
1980
1970
1960
10
20
30
40
50
60
70
O
A (1960,30)
B (1974,40)
C (1987,50)
D (1999,60)
E (2010,69)
N (1993,52)
M (1950,25)
图3 （直线MN ）
x
y
1950
2010
2000
1990
1980
1970
1960
10
20
30
40
50
60
70
O
A (1960,30)
B (1974,40)
C (1987,50)
D (1999,60)
E (2010,69)
N (1993,52)
M (1950,25)
图4（直线AB ）
在这个过程中生生、师生共同协作，畅所欲言，
多种思路交流碰撞，由选点引发学生火热的思考；
在合作交流中让学生深刻体会建立贴近生活实际的函数模型的重要性，培养学生的数学应用意识．从“模型的建立”发展到追求建立“更合理模型”，学生经历从经验型的定性描述发展到科学的定量与定性相结合的阶段，这是应用意识培养的第二个层次．
3.3 总结应用，巩固促进升华
精选例习题，及时做好总结，促进新知巩固提升．例习题既要注重与教材内容相联系，又要有适度的拓展．根据维果斯基的“最近发展区”理论，教师要创造让学生思维“跳一跳”的机会，鼓励拓展探究，对问题深入分析讨论，及时巩固知识，提高运用所学知识分析和解决问题的能力．《一次函数的应用》利用“阅读与思考”拓展学生眼界，达到巩固一次函数应用的目的，发展学生的数学应用意识．
阅读与思考：依据以下模型的描述，按现在人均水资源消耗量，请你判断2030年全球是否面临严重的水资源危机？
（1）《2004年地球生态报告》数据显示，全球年人均水资源消耗量为8870立方米，中国年人均水资源消耗量为2240立方米．
（2）人类目前比较容易利用的淡水资源，主要是河流水、淡水湖泊水以及浅层地下水．这些淡水储量只占全部淡水的0.3％，占全球总水量的十万分之七，即全球真正有效利用的淡水资源每年约有9000立方千米．
（3）我国是一个干旱缺水严重的国家，淡水资源总量为2.8万亿立方米，占全球水资源的6%，实际可用淡水资源总量约为1.1万亿立方米．同时我国也是人口大国，人口占世界总人口的22%．
在运用函数模型解决实际问题时，结合水资源问题拓展学生的视野，激发学生学习数学的兴趣．学生在掌握课堂知识的基础上，能利用建模知识自我发展提高，深刻体会到建模的意义，感受数学模型的应用价值，极大地发展学生的应用意识．
总之，教学是一门实践的艺术，笔者力求探索教材知识内容与现实问题的结合点，立足生活实际，于情境中收集、分析数据，帮助学生用数学的思维分析世界，培养学生的数学应用意识．希望能通过“关键教学点”的教学加深学生对函数知识的认识，以“关键教学点”的教学带动学生数学核心素养的发展．
参考文献 [1]教育部．关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见[S]．教基二(2014)4号
[2]马云鹏．关于数学核心素养的几个问题[J]．课程·教材·教法．2015，35（9）：36-39
[3]朱立明，马云鹏．聚焦数学核心内容，提升学生核心素养[J]．基础教育课程，2016（13）：38-43
[4]吕世虎，吴振英．数学核心素养的内涵及其体系构建．课程·教材·教法．2017，37（9）：12-17
一花一世界，一题一课堂
——《二倍角公式》课堂实录与反思
杨冬冬 浙江省宁波市镇海中学（315200）
1 题例呈现 笔者在高一第一学期上《二倍角》新课时，遇
到了这样的问题：已知tan()324απ+=−，
求1sin α+的值． 本题笔者备课时预设：由于以前上课时讲过“1”的活用，例如1sin |sin cos |22
x x x +=+，1sin x − |sin cos |22x x −，1cos 2|cos |2x
x +=，1cos x −= 2|sin |2x
等等，所以这种方法学生用起来很熟练． 2 课堂实录
学生1：因为1sin |sin cos |22
x x x +=+，而条件tan()324
απ
+=−，我们通过两角和的正切公式展开
求出tan 22α=，不难看出2α的终边在第一或第三象
限，则25sin 25α=，5cos 25α=或25sin 25α=−，
5cos 25α=−
，不论哪种情况，35|sin cos |225αα+=． 教师：学生1 是运用我们已经学过的知识来解
决这一问题，可以看出他较好地掌握这一知识点，
值得鼓励．并且我们也知道三角函数形式多样的特
点，那还有没有其他的方法？
学生2：我在上一位同学的基础上改进一步，问题变得更简单．因|sin cos |2|sin()|2224αααπ+=+，
而已知tan()324
απ+=−，于是310sin()2410απ+=±，所以35
|sin cos |225
αα+=．
教师：很好，这可以看出学生2能很好地运用
有关的三角恒等变换公式，真正体现了知识的活学活用，从问题出发去寻找与条件的关系，这也正是
我们解题时需要的重要思想．
还没等笔者讲完，学生3就提出来一个问题，
就是这一问题打断了最初教学设计，但这一“打断”
却有不一般教学意义． 学生3：老师，您刚刚不是说平常解题从问题
出发，那么自然也从条件出发．我从tan()3
24απ
+=−入手，利用二倍角公式得3
tan()24
απ+=，所以tan α
43=−，那么4sin 5α=±，则351sin 5α+=或5
5
，
这个结果居然和刚才两位同学的答案不一致呀！ 当笔者听到这位学生的回答时，感到非常惊讶，因为笔者在备课过程中，并未预设到这种情况，
那又该如何回答那位学生的问题呢？ 教师：同学们，学生3发现了一个问题，和之前两位同学的结论不一致，但好像又有一定道理．所以大家都来想想看，究竟是之前两位同学的答案不完善呢，还是学生3的结果没有舍去增根？ 全班一下子就安静了，只听到笔尖划过纸张发
出的摩擦声，过了几分钟，笔者提问了一位平常数
学成绩不错的学生4．
学生4：其实我没发现究竟怎么回事，同学3
的计算过程好像也没问题，因条件只有tan()24απ
+ 3=−，
也没有α的范围，所以没法确定下来α的终边是在哪一个象限． 教师：说到α的范围，那你有去试过求一求它
的范围么？。