第三章 3.2 3.2.1 几种不同增长的函数模型

1 3 2 4 1 ∵2ax＋2a－3ax＋3a＝ (1－x)a. 6
∴当 x＝1 时，两旅行社收费相等 当 x>1 时，甲旅行社更优惠．
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探究三 [典例 3]
增长率与利率问题
某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答
解得 a＝1，b＝7，c＝0，
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(2)构造指数函数模型 g(x)＝a· bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)， ab＋c＝8， 2 将点坐标代入，可得ab ＋c＝18， ab3＋c＝30， 125 6 解得 a＝ ，b＝ ，c＝－42，则 g(x)＝ 3 5
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由提供的信息解决实际问题时，要注意如何选择函数模型，一般来说，由所给的 数据直接发现函数模型比较困难．此时，我们可根据各类函数的不同性质，特别 是各类函数在一定范围内的增长差异性，直接选择可能的模型，再将数据代入进 行筛选，从而确定正确的函数模型．还有一些题目(如本题)是给出图象的，此时 选择函数模型就方便多了．
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(2)因为 fB(x＋1)－fB(x) 3 3 3 ＝ (x＋1)＋18－ x－18＝ ＝0.3(元)(x>500)， 10 10 10 所以，方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费 0.3 元． (3)由图知，当 0≤x≤60 时， 有 fA(x)<fB(x)．当 x>500 时，fA(x)>fB(x)， 880 当 60＜x≤500 时，由 fA(x)>fB(x)，得 x> ， 3 880 即当通话时间在( ，＋∞)时，方案 B 较方案 A 优惠． 3
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[解析] (1)1 年后该城市人口总数为：
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y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2 年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 3 年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3； „„ x 年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x (2)10 年后，人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)
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探究一 [典例 1]
根据函数的变化规律分析函数模型的增长趋势
如图是四个不同形状，但高度均为 H 的玻璃瓶．已知向其中一个水瓶 )
注水时， 注水量与水深的函数关系如下图所示， 试确定水瓶的形状是图中的 (
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[解析]
看图显然图象从左向右，图象上升先快后慢，也就是说，向瓶中注入相
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[解析]
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由图可知 M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为 fA(x)，fB(x)，则 980≤x≤60， fA(x)＝ 3 x＋80x>60 10 1680≤x≤500， fB(x)＝ 3 x＋18x>500. 10 (1)通话 2 小时，两种方案的话费分别为 116 元、168 元．
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解析：已知本金为 a 元． 1 期后的本利和为 y1＝a＋a×r＝a(1＋r)； 2 期后的本利和为 y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2； 3 期后的本利和为 y3＝a(1＋r)3； „„ x 期后的本利和为 y＝a(1＋r)x. 将 a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5 代入上式得 y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55. 由计算器算得 y＝1 117.68(元)．
速度进行比较，下列结论正确的是( )
A．f(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢 B．g(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢 C．g(x)增长速度最快，f(x)增长速度最慢 D．f(x)增长速度最快，g(x)增长速度最慢
答案：B
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3.某工厂 10 年来生产某种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函 数关系如图所示，下列四种说法：①前五年中产量增长的速 度越来越快；②前五年中产量增长的速度为定值；③第五年 后，这种产品停止生产；④第五年后这种产品的产量保持不变，其中说法正确的 是________．
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解析：设家庭中孩子数为 x(x≥1，x∈N＋)， 甲旅游收费为 y1，乙旅游收费为 y2，旅游原价为 a， 1 1 3 甲旅行社收费：y1＝a＋ (x＋1)a＝ ax＋ a. 2 2 2 2 2 4 乙旅行社收费：y2＝ (x＋2)a＝ ax＋ a. 3 3 3
以下的问题： (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式； (2)计算 10 年后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年)； (4)如果 20 年后该城市的人口总数不超过 120 万人，年自然增长率应该控制在多 少？
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电信局为了满足客户的不同需要，设有 A、B 两种优惠方案，这两种方
案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中 MN∥CD)试问：
(1)若通话时间为 2 小时，按方案 A、B 各付话费多少元？ (2)方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案 B 才会比方案 A 优惠．
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3．2 函数模型及其应用 3.2.1 几种不同增长的函数模型
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考
纲
定
位
重
难
突
破
1.了解现实生活中几种常用的不 同增长规律的函数模型． 2.了解直线上升，对数增长，指数 爆炸等不同函数类型增长的含义.
重点：三种函数增长的特征． 难点：利用三种函数模型解应 用题.
有两个函数模型： 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 指数函数模型 g(x)＝a· bx ＋c(a≠0， b>0， b≠1)， 哪个模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系？
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解析：建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入， a＋b＋c＝8， 可得4a＋2b＋c＝18， 9a＋3b＋c＝30， 则 f(x)＝x2＋7x， 故 f(4)＝44，与计划误差为 1.
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这是一类增长率问题，它和在实际生活中的银行利率、复利、细胞分裂等问题类 型一样．这类增长率问题通常用指数函数模型表示，可以表示为 y＝N(1＋p)x，其 中 N 为基础数，p 为增长率(或利率)，x 为时间．
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3．按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期利率为 r，设本利和为 y，存 期为 x，写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式．如果存入本金 1 000 元，每 期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和是多少？
速度 ，而 y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越 慢 ．因此，总会存在一个 x0，
当 x>x0 时，就有 logax < xn< ax.
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[双基自测] 1．下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是( )
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A．y＝2x B．y＝10 000x C．y＝log3x D．y＝x3 答案：A 2．设 f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长
同的水量(如单位体积)时，水的高度改变得越来越大．所以，如果向瓶中匀速注 水，则水的高度上升速度先慢后快，注入相同的水，高度上升得快，说明瓶的这 部分较细，同样如果水的高度上升得慢，说明瓶的这部分较粗，从图象上看，水 的高度上升得越来越快，所以瓶子是下面较粗，越向上越细，所以水瓶的形状应 是图 B.
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理] 一、三种函数模型的性质
函数 性质 在(0，＋∞) 上的增减性 增长的速度
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
增函数
先慢后快
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(3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人 即 100×(1＋1.2%)x＝120 120 x＝log1.012 ＝log1.0121.2≈15(年)． 100 (4)设年增长率为 x，依题意，得 100×(1＋x)20≤120， 由此有(1＋x)20≤1.2 利用计算器，可得 1＋x≤1.009，∴x≤0.009＝0.9% 即年自然增长率应控制在 0.9%以内．
125 6 x 125 64 －42＝44.4，与计划误差为 1.4. · ( ) －42，故 g(4)＝ · 3 5 3 5 由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系．
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探究二 [典例 2] 函数模型的应用
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[答案]
B
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(1)三类函数模型的增长差异： 一般地，对于指数函数 y＝ax(a>1)和幂函数 y＝xα(α>0)，通过探索可以发现，在区 间(0，＋∞)上，无论 α 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内，ax 会小于 xα，但由 于 ax 的增长快于 xα 的增长，因此总存在一个 x0，当 x>x0 时，就会有 ax>xα.同样 地， 对于对数函数 y＝logax 增长得越来越慢， 图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样， 尽管在 x 的一定范围内， logax 可能会大于 xα， 但由于 logax 的增长慢于 xα 的增长， 因此总存在一个 x0，当 x>x0 时，就会有 logax<xα.
增函数
先快后慢
增函数
相对平稳
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二、三种函数模型的增长速度比较 在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增函 数，但它们的增长 速度不同 ，而且不在同一个 “档次” 上．随着 x 的ห้องสมุดไป่ตู้大，y ＝ax(a>1)的增长速度越来越 快 ，会 超过 并远远 大于 y＝xn(n>0)的增长
答案：②③
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4．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品的价格 (自变量)，而用横 轴来表示产品的数量(因变量)，如图所示的曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线， 哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？
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解析：厂商希望的供应曲线为①，因为①曲线显示单价随着产品数量的增加而升 高，也就是需求量越大，价格越高，利润自然也越高；客户希望的需求为②曲线， 因为②曲线显示需求量越大，价格越低，客户当然希望产品的价格便宜.
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2．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一 2 张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价 优 3 惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达 式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
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1．某汽车制造商在 2015 年初公告：按市场的供求关系，公司计划 2015 年生产 目标定为 43 万辆；已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示 年份 2012 2013 2014
产量 8 万 18 万 30 万 如果我们分别将 2012 2013 2014 2015 定义为第一，二，三，四年．现在你
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(2)三类函数模型增长规律的定性描述： ①直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长 速度不变(恒为常数)； ②指数爆炸反映了指数函数(底数大于 1)的增长趋势，其增长速度迅 速(越来越快)； ③对数增长反映了对数函数(底数大于 1)的增长趋势，其增长速度平 缓(越来越慢)．