山西省临汾市曲沃中学2015-2016学年高一下学期期中数学试卷 含解析

2015-2016学年山西省临汾市曲沃中学高一（下）期中数学试卷
一．选择题
1．sin（﹣1560°）=()
A．B．C．D．
2．如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是(）
A．B．C．D．
3．将﹣300°化为弧度为（）
A．B．C．D．
4．如果点P（sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在象限是（)
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．线性回归方程表示的直线=a+bx，必定过（）
A．（0，0）点B．（,0）点C．（0，)点D．（，）点6．设有一个回归方程为=2﹣2。

5x,则变量x增加一个单位时()
A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位
C．y平均减少2。

5个单位D．y平均减少2个单位
7．两个样本，甲：5，4，3,2，1；乙：4，0,2，1，﹣2．那么样本甲和样本乙的波动大小情况是（)
A．甲、乙波动大小一样B．甲的波动比乙的波动大
C．乙的波动比甲的波动大D．甲、乙的波动大小无法比较
8．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间［10，12）内的频数为（)
A．18 B．36 C．54 D．72
9．已知α为第三象限角，则所在的象限是(）
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
10．函数的单调递减区间（）
A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．(k∈Z）D．（k∈Z)
11．已知a=tan1，b=tan2，c=tan3,则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c
12．等于（）
A．sin2﹣cos2 B．cos2﹣sin2 C．±（sin2﹣cos2) D．sin2+cos2
二．填空题
13．扇形的周长是12，圆心角是2弧度，则扇形面积是．
14．掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于5"的概率为．
15．在一个边长为5cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形,向大正方形内随机投点,
则所投的点落入小正方形内的概率是．
16．如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18）内频数为8．则样本容量n=．
三．解答题（17至20题，每题8分，21至22每题10分）
17．已知cosα=，求sinα，tanα的值．
18．某小组共有5名学生，其中女生3名，现选举2名代表，求至少有1名男生当选的概率为多少？
19．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图(如图）．若要从身高在[120，130),［130,140），[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动．
（1)求a的值
（2）求从身高在［140，150]内的学生中选取的人数．
20．已知函数y=tan（x+）．
（1)求f（x）的定义域；
（2）求f（x)单调区间．
21．已知角α终边上一点P（﹣4,3),求的值．
22．已知函数f（x）=a﹣bcos（2x+）（b＞0）的最大值为，最小值为﹣．
（1)求a，b的值；
(2）求函数的最小值并求出对应x的集合．
2015-2016学年山西省临汾市曲沃中学高一(下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．sin（﹣1560°）=（）
A．B．C．D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】把所求式子中的角﹣1560°变为﹣1800°+240°后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值．
【解答】解:因为sin(﹣1560°）
=sin（﹣1800°+240°）
=sin（180°+60°）
=﹣sin60°
=﹣．
故选C．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换所求式子的角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2．如果cos（π+A)=﹣，那么sin（+A）的值是()
A．B．C．D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】根据题意结合诱导公式先对条件进行化简，然后对所求化简，进而可以得到答案．【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cosA=，
所以=cosA=，
故选B．
【点评】解决此类问题的关键是熟练记忆诱导公式，以及进行正确的化简求值．
3．将﹣300°化为弧度为(）
A．B．C．D．
【考点】弧度与角度的互化．
【分析】根据角度与弧度的互化公式：1°=，代入计算即可．
【解答】解：﹣300°=﹣300×=﹣
故选B．
【点评】本题主要考查了角度与弧度的互化公式：①2π=360°，②π=180°，③1=，④1°=，属于对基础知识的考查．
4．如果点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在象限是（)
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】三角函数值的符号．
【分析】根据所给的点在第三象限，写出这个点的横标和纵标都小于0,根据这两个都小于0,得到角的正弦值大于0,余弦值小于0,得到角是第二象限的角．
【解答】解：∵点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，
∴sinθcosθ＜0
2cosθ＜0，
∴sinθ＞0，
cosθ＜0
∴θ是第二象限的角．
故选B
【点评】本题考查三角函数的符号,这是一个常用到的知识点，给出角的范围要求说出三角函数的符号，反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围．
5．线性回归方程表示的直线=a+bx，必定过（)
A．（0，0）点B．（,0)点C．（0，）点D．（，）点【考点】线性回归方程．
【分析】根据线性回归方程一定过这组数据的样本中心点，即可得出结论．
【解答】解：∵线性回归方程一定过这组数据的样本中心点，
∴线性回归方程=a+bx，表示的直线必经过(,）．
故选：D．
【点评】理解线性回归方程过这组数据的样本中心点是解题的关键．
6．设有一个回归方程为=2﹣2.5x，则变量x增加一个单位时（)
A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位
C．y平均减少2。

5个单位D．y平均减少2个单位
【考点】线性回归方程．
【分析】回归方程y=2﹣2.5x，变量x增加一个单位时，变量y平均变化[2﹣2。

5（x+1）]﹣（2﹣2.5x），及变量y平均减少2。

5个单位，得到结果．
【解答】解：回归方程y=2﹣2。

5x，变量x增加一个单位时，
变量y平均变化[2﹣2。

5（x+1）］﹣（2﹣2。

5x）=﹣2.5,
∴变量y平均减少2.5个单位，
故选C．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．属于基础题．
7．两个样本，甲：5，4,3，2，1；乙：4，0，2，1，﹣2．那么样本甲和样本乙的波动大小情况是（）
A．甲、乙波动大小一样B．甲的波动比乙的波动大
C．乙的波动比甲的波动大D．甲、乙的波动大小无法比较
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】首先求出甲组数据的平均数，再利用方差的公式做出这组数据的方差，同样对于乙组数据先求出它的平均数再求出它的方差，把两组数据进行比较，得到结果．
【解答】解：∵对于甲组数据平均数为：（5+4+3+2+1）÷5=3，
s2=（4+1+0+1+4）=2,
对于乙组数据平均数为：(4+0+2+1﹣2)÷5=1，
s2=（9+1+1+0+9）=4，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴乙的波动比甲大，
故选C．
【点评】本题考查一组数据的方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平,而方差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
8．有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12）内的频数为（）
A．18 B．36 C．54 D．72
【考点】频率分布直方图．
【分析】从直方图得出数据落在［10，12）外的频率后，再根据所求频率和为1求出落在［10，12）外的频率,再由频率=，计算频数即得．
【解答】解：观察直方图易得
数据落在［10，12)的频率=(0。

02+0.05+0。

15+0。

19)×2=0.82；
数据落在[10，12）外的频率=1﹣0.82=0。

18；
∴样本数落在[10，12）内的频数为200×0.18=36，
故选:B．
【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，同时考查频率、频数的关系：频率=．
9．已知α为第三象限角，则所在的象限是（)
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
【考点】象限角、轴线角；角的变换、收缩变换．
【分析】α为第三象限角，即k∈Z,表示出，然后再判断即可．
【解答】解：因为α为第三象限角,即k∈Z，
所以,k∈Z当k为奇数时它是第四象限,当k为偶数时它是第二象限的角．
故选D．
【点评】本题考查象限角，角的变换，是基础题．可以推广到其它象限．
10．函数的单调递减区间（）
A．（k∈Z）B．（k∈Z）
C．(k∈Z）D．(k∈Z)
【考点】正弦函数的单调性．
【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数
的单调递减区间．
【解答】解:利用y=sinx的单调递减区间，可得
∴
∴函数的单调递减区间（k∈Z）
故选D．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，关键是利用正弦函数的单调性，整体思考，考查计算能力,是中档题．
11．已知a=tan1，b=tan2,c=tan3，则（)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【考点】正切函数的单调性．
【分析】根据a=tan1＞1，b=tan2=﹣tan(π﹣2）＜0，c=tan3=﹣tan（π﹣3）＜0．再根据＞π﹣2＞π﹣3＞0,可得tan（π﹣2)＞tan(π﹣3）＞0，从而得到a、b、c的大小关系．
【解答】解：∵已知a=tan1＞1，b=tan2=﹣tan（π﹣2）＜0,c=tan3=﹣tan（π﹣3)＜0．
再根据＞π﹣2＞π﹣3＞0，∴tan（π﹣2）＞tan（π﹣3）＞0,∴﹣tan(π﹣2)＜﹣tan（π﹣3）＜0．
综上可得,a＞0＞c＞b，
故选C．
【点评】本题主要考查诱导公式、正切函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
12．等于（）
A．sin2﹣cos2 B．cos2﹣sin2 C．±（sin2﹣cos2）D．sin2+cos2
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】直接利用诱导公式以及平方关系式化简求解即可．
【解答】解：
=
=
=｜sin2﹣cos2｜
=sin2﹣cos2．
故选：A．
【点评】本题考查考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
二．填空题
13．扇形的周长是12，圆心角是2弧度，则扇形面积是9．
【考点】扇形面积公式．
【分析】先求出扇形的弧长,利用周长求半径，代入面积公式s=α r2进行计算即可得解．
【解答】解：设扇形半径为r，面积为s，圆心角是α，则α=2，弧长为αr,
则周长12=2r+α r=2r+2r=4r,
∴r=3，
扇形的面积为：s=α r2=×2×9=9 （cm2），
故答案为：9 cm2．
【点评】本题主要考查扇形的弧长公式、和面积公式的应用,属于基础题．
14．掷两颗骰子得两数,则事件“两数之和大于5”的概率为．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】根据掷两颗骰子得两数a和b，所有的（a,b）共有36个，不满足“两数之和大于5”的（a,b）有共有10个，故满足“两数之和大于5”的共有26个,由此求得事件“两数之和大于5”的概率．
【解答】解：掷两颗骰子得两数a和b,所有的(a，b）共有6×6=36个，
其中不满足“两数之和大于5"的有:
(1,1）、（1，2)、（1,3)、（1，4）,
（2，1)、（2，2）、(2，3），（3,1),
(3，2）,(4,1)共有10个，
故满足“两数之和大于5”的共有26个，
故事件“两数之和大于5”的概率为=，
故答案为:．
【点评】本题主要考查等可能事件的概率,得到不满足“两数之和大于5”的（a，b）有共有10个，是解题的关键．
15．在一个边长为5cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形,向大正方形内随机投点,
则所投的点落入小正方形内的概率是．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】由已知中在一个边长为5cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，我们易计算出大小两个正方形的面积，代入几何概型公式，即可求出答案．
【解答】解:∵边长为5cm的正方形面积为25cm2，
边长为2cm的正方形面积为4cm2,
∴向大正方形内随机投点,
则所投的点落入小正方形内的概率P=，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中分别计算出大小两个正方形的面积，是解答本题的关键．
16．如图是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15，18）内频数为8．则样本容量n=50．
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据在[15，18)内频数为8．做出在这一个范围中频率是小正方形的面积是，知道频率和频数做出样本容量．
【解答】解:∵在[15,18）内频数为8．
而在这一个范围中频率是=
∴
∴n=50．
故答案为：50．
【点评】本题考查频率，频数和样本容量之间的关系，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．
三．解答题（17至20题，每题8分,21至22每题10分）
17．已知cosα=,求sinα，tanα的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由已知可得α为第一象限，或第四象限，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【解答】解:∵cosα=，
∴α为第一象限,或第四象限，
∴当α为一象限时，sinα=，tanα=，
当α为四象限时，sinα=﹣，tanα=﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．
18．某小组共有5名学生，其中女生3名，现选举2名代表，求至少有1名男生当选的概率为多少？
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件是从5个人安排两人,其中至少有1名男生的对立事件是没有男生，那么全是女生,算出全是女生的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．
【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,
试验包含的所有事件是从5个人安排两人，总共有C52=10种．
其中至少有1名男生的对立事件是没有男生，那么全是女生．
变成从3个女生中取出两个来，总共有C32=3种，
∴其中至少有1名女生的概率=1﹣0.3=0。

7．
【点评】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．
19．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图(如图）．若要从身高在[120,130），[130，140）,［140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动．
（1）求a的值
(2）求从身高在[140，150］内的学生中选取的人数．
【考点】频率分布直方图．
【分析】（1）直接由图表结合频率和为1求得a值；
（2）求出身高在[140，150］内的学生比例数，乘以18得答案．
【解答】解：（1)由（0.005+0.010+0。

020+0.035+a）×10=1，
得a=0。

030；
（2）由图可知，身高在[120，130），［130，140），［140，150］内的学生频率分别为：
0。

030×10=0。

30，0。

020×100=0.20，0.010×10=0。

10，
则身高在[140，150］内的学生所占比例数为，
选取人数为18×．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查学生读取图标的能力，是基础题．
20．已知函数y=tan（x+）．
（1）求f(x）的定义域；
（2)求f(x）单调区间．
【考点】正切函数的图象．
【分析】（1）根据函数正切函数的定义域,列出不等式即可求出f（x）的定义域;
(2）根据正切函数的单调性,列出不等式即可求出f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）∵函数y=f（x)=tan（x+），
令x+≠+kπ，k∈Z,
解得x≠+kπ，k∈Z;
∴f（x）的定义域是｛x｜x≠+kπ，k∈Z｝；
（2）令﹣+kπ＜x＜+kπ，k∈Z,
解得﹣+kπ＜x＜+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间是（﹣+kπ， +kπ），k∈Z．
【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
21．已知角α终边上一点P（﹣4，3)，求的值．
【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系．
【分析】先根据角α终边上一点P确定tanα的值，进而利用诱导公式对原式进行化简整理后，把tanα的值代入即可．
【解答】解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），
∴
∴==tanα=
【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别留意在三角函数转换过程中三角函数的正负号的判定．
22．已知函数f(x)=a﹣bcos（2x+）（b＞0)的最大值为，最小值为﹣．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的最小值并求出对应x的集合．
【考点】余弦函数的定义域和值域．
【分析】（1）根据余弦函数的性质可分别表示出函数的最大和最小值，进而联立方程气的a和b的值．
（2）根据（1)中求得a和b的值，得到函数的解析式，根据x的范围确定x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得最小值和对应的x的集合．
【解答】解：（1），
∵b＞0，
∴﹣b＜0，；
∴；
（2）由(1)知：
∴，
∴g(x)∈［﹣2，2］，
∴g(x)的最小值为﹣2，
对应x的集合为．
【点评】本题主要考查了三角函数的最值问题，三角函数的单调性和值域问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．。