高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：透视全国高考揭秘命题规律(四) Word版含答案

透视全国高考揭秘命题规律(四)
——立体几何(全国卷第19题)
翻折问题
(2016·高考全国卷甲)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC
＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝5
4，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF
的位置，OD ′＝10.
(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．
【解】(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF
CD ，故AC ∥EF .
因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H . 由AB ＝5，AC ＝6得 DO ＝BO ＝
AB 2－AO 2＝4.
由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1
4.
所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.
于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .
(2)如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，HD →
的方向为y 轴正方向，HD ′→
的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz .则H (0，0，0)，A (－3，－1，0)，B (0，－5，0)，C (3，
－1，0)，D ′(0，0，3)，AB →＝(3，－4，0)，AC →＝(6，0，0)，AD ′→
＝(3，1，3)．
设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则
⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·
AD ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，
所以可取m ＝(4，3，－5)．
设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即⎩⎨⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，
所以可取n ＝(0，－3，1)．
于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10＝－75
25，
sin 〈m ，n 〉＝295
25
.
因此二面角B -D ′A -C 的正弦值是295
25
.
解决与翻折有关的问题的两个关键
(1)要明确翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化．
(2)在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．
(3)在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，常通过三角形的中位线找平行线．
探索问题
如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥底面
ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝4，∠ABC ＝60°.
(1)求证：BC ⊥平面P AC ；
(2)E 是侧棱PB 上一点，记PE
PB ＝λ(0<λ<1)，是否存在实数λ，使平面ADE
与平面P AD 所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解】(1)证明：由已知，得AC ＝
AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ＝23， 因为BC ＝AD ＝2，AB ＝4， 又BC 2＋AC 2＝AB 2，所以BC ⊥AC .
又P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则P A ⊥BC .
因为P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，且P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .
(2)以A 为坐标原点，过点A 作垂直于AB 的直线为x 轴，AB ，AP 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (0，0，0)，B (0，4，0)，P (0，0，3)．
因为在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4， ∠ABC ＝60°，则∠DAx ＝30°， 所以D (3，－1，0)． 又
PE
PB
＝λ(0<λ<1)， 知E (0，4λ，3(1－λ))．
设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·
AE →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－y 1＝0，4λy 1＋3（1－λ）z 1＝0，
取x 1＝1，则m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，3，43λ3（λ－1）.
设平面P AD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·
AD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3z 2＝0，
3x 2－y 2＝0，取y 2＝1，则
n ＝⎝⎛
⎭
⎫33，1，0. 若平面ADE 与平面P AD 所成的二面角为60°，则cos 〈m ，n 〉＝cos60°＝12
，
即
1×
3
3＋3×1＋01＋3＋16λ23（λ－1）2·1＋13＝1
2
，
化简得
1＋4λ2
3（λ－1）2
＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－12＝9
4，
解得λ＝3(舍去)或λ＝3
5
.
于是，存在λ＝3
5
，使平面ADE 与平面P AD 所成的二面角为60°.
(1)求二面角的两种方法
①定义法(在易于作出二面角的平面角和计算情况下适用)
第一步：在平面α内取一个易于作出平面β的垂线的点P .且设垂足为H ，过H 作交线l 的垂线，垂足为Q ，连接PQ (或过P 作PQ ⊥l ，垂足为Q ，连接HQ )，则∠PQH 即为二面角αl β的平面角．(或证明某个平面角即为二面角的平面角)．
第二步：根据条件求出Rt △PQH 的两边，用直角三角函数即可求出二面角的三角函数值．
②向量法
第一步：根据立体图形的几何特点，建立恰当的直角坐标系，并写出确定二面角的两个半平面内相关的坐标．
第二步：分别求出两个平面的法向量n 1，n 2，根据公式cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2
|n 1|·|n 2|，求出
n 1与n 2夹角的余弦．
第三步：结合图形(或条件)，写出二面角的余弦值(一般情况下，锐二面角取|cos 〈n 1，n 2〉|，钝角取－|cos 〈n 1，n 2〉|，当cos 〈n 1，n 2〉＝0时，为直二面角)．
(2)探索性问题
在坐标系下探索性问题的求解策略．
第一步：假设存在，并根据相关的条件，将假设存在的问题用坐标和相关元素表示出来． 第二步：根据满足的要求，列出相关的关系式．
第三步：求解关系式，若求出的问题合情合理，说明问题存在，即是问题解决的过程．若得出矛盾，说明假设存在是错的，即是说明理由的过程．
空间角满分展示
(满分12分)(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为
菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .
(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值． [联想破译]
联想因素：线面垂直、面面垂直、直线与直线所成角． 联想路线：(1)先证明线面垂直，再证明面面垂直．
(2)建系，先求出cos 〈AE →，CF →
〉的值，再确定所成角的余弦值． [标准答案]
第(1)问得分点说明：
正确推理过程得3分，没有EG 2＋FG 2＝EF 2扣1分； 正确推理过程得3分，没有条件EG ⊂平面AEC 扣1分
(1)证明：连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1. 由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝
22
.
在Rt △FDG 中，可得FG ＝
62
. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22
， 可得EF ＝32
2
.从而EG 2＋FG 2＝EF 2，
所以EG ⊥FG ．(3分)
又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .
又因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC ． (6分)
(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →
|为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz .
由(1)可得A (0，－3，0)，E (1，0，2)， F ⎝
⎛⎭
⎫
－1，0，
22，C (0，3，0)， 所以AE →＝(1，3，2)，CF →
＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22．(10分)
故cos 〈AE →，CF →
〉＝AE →·CF →
|AE →||CF →
|
＝－33.
第(2)问得分点说明：
正确推理过程得4分，没有指出空间直角坐标系扣2分； 正确得出直线所成角的余弦值得2分，余弦值为－3
3
，扣1分 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33
．(12分)
[解题程序]
第一步：利用勾股定理的逆定理证明EG ⊥FG . 第二步：证明面面垂直．注意面面垂直满足的条件． 第三步：建立空间直角坐标系，写出点的坐标、向量的坐标． 第四步：求向量夹角的余弦值．
第五步：求两直线夹角的余弦值，得出结论．
[满分心得] (1)写全得分步骤
对于解题过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中EG ⊥FG ，第(2)问中两向量的坐标．
(2)写明得分关键
对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在解答时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断平面AEC ⊥平面AFC 过程中的三个条件，写不全则不能得全分，否则就不得分，再者EG ⊂平面AEC 这一条件也一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出cos 〈AE →，CF →
〉＝AE →·CF →
|AE →||CF →|而得出余弦值则要扣1分．。