代数结构与数理逻辑-子环与环同态
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•E={0,e,2e,…,(n-1)e} •称|E|为环R的特征数。 •当第2个运算的单位元在第1个运算中的阶有 限时,这个阶就是环的特征数
•定 义 1 4 . 8 ： [ R;+,*] 为 有 单 位 元 e 环 , 则
E={ne|nZ}称为R的单位子环。当|E|<+,
必 有 m,nZ,mn, 使 me=ne,(m-n)e=0。 使
(3)(R)R'必为R'的子环。
请考虑(2)中若把一些条件去掉后,结论不成 立的例子.
❖ 推论14.1:若两个环R与R'同构,R≌R',则R为 整环时, R'也为整环；R为除环时R’也是除 环；R为域时R'也为域。
❖ 推论14.1的结论不能拓广到两个环同态的 情况。
❖ 例如对于整数环Z和同余类环Zm，可以构造 满同态映射，使得(x)=[x]Zm。我们知 道，Z是整环但不是域，而当m是素数时， Zm是域，当m不是素数时，Zm不是域，也 不是整环。即两个同态的环Z和Zm性质并不 相同。
❖ 测验：
❖ 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任 意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。 证明：与G中单位元等价的元素全体构成G 的一个子群。
❖ H={x|xG,并且xe} ❖ 对任意的xH， xe, xee=xx-1 ❖ 对任意的x,yH， xe, ye, eye,
❖ x-1xyx-1x
=(e+e+…+e)*a=(pe)*a=0*a=0. R为整环,若存在lZ,0< l <p,使得la=0(a0), 则0=la=l(e*a)=e*a+e*a+…+e*a
=(e+e+…+e)*a=(le)*百度文库 因为R是整环,所以le=0,与p为特征数矛盾
❖ (2)若R的特征数为0,则已成立.
❖ 若R的特征数p0,假定p=p1p2,p11,p21, 类 似 ( 1 ) 的 证 明 , 可 以 得 到 对 任 aR, 由 pa=0可得(p1a)(p2e)=0
例:[Q 2;,]是[R;,]的子环 这里R表示实数集
❖ 定义14.7：设[R;+,·]为环, C={x|xR,对
任意aR, a·x=x·a}。称C为环R的中心。
❖ 定理14.4：环R的中心C是R的子环。 分析:对任意x,yC,要证明x+y,-xC,
x·yC. 即证对任意aR,有a·(x+y)=?(x+y)·a,
(定理15.5：设p为有单位元环R的特征数, 则: (1)任aR,有 pa=0，而且，当R是整环时，对任何a0,p是使pa=0的最小非
零正整数.(2)当R为整环时,其特征数或为素数或为0) ❖ 因此除了p=2这种情况外,p是奇数. ❖ 若p=2,由定理15.5知,0=2x=x+x,因此有 ❖ (-b)2=b2=-b2, ❖ 即(a-b)2=a2-b2 ❖ 若p为奇数,则(a-b)p=ap+(-b)p=ap-bp ❖ 所以0=(a)-(b)=ap-bp=(a-b)p, ❖ 又因为是整环,无零因子,故a-b=0,即a=b.
❖ [Z;+,]是[Q;+,]和[C;+,]的真子环，[Q;+,] 是[C;+,]的真子环。
[G;·]为群,HG,H是G的子群,当且仅当 (1)·关于H封闭 (2)任一hH必有h-1H •定理14.3：[R;+,·]为环, SR,S,[S;+,·]是 [R;+,·]的子环, 当且仅当, 对任a, bS有： (1)a+bS (2)-aS (3)a·bS
❖ 定理：若[F;+.*]是有限整环,则一定是域 ❖ 推论：[Zm;+,*]是域当且仅当m是素数。 ❖ 证明：由前面定理知环[Zm;+,*]是整环当
且仅当m是素数， ❖ 有限整环,由上面结论即得。
§2 子环与环同态
❖ 一、子环 ❖ 定义14.6：[R;+,·]为环,SR,S,当[S;+,·]
是环时, 称它为R的子环。特别在S=R或S={0} 时称它为R的平凡子环,否则称为R的真子环。
a·(-x)=?(-x)·a,
a·(x·y)=?(x·y)·a
•例：设[R;+,*]是有单位元e的环，E={ne|nZ}, 则E是R的子环。 这里要说明的是这里的ne表示的是n个e按第一 种运算+运算n次，即ne=e+e+…+e (-k)e表示ke=e+e+…+e关于第一个运算的逆元 •[E;+]是[R;+]的子群，E是由e生成的，E=(e) •当|E|<+时，元素e关于第一种运算+的阶=|E| •|E|e=0。设|E|=n
因此在(a+b)p的展开式中,其系数为C(p,i),
故除C(p,0)=C(p,p)=1外,C(p,i)含有因子p. 而对任意aR,有pa=0 因此(a+b)=(a+b)p=ap+bp=(a)+(b)
❖ 下面证明ab 时(a)(b)。 ❖ 即证若(a)=(b),即ap=bp时,必有a=b. ❖ 同样我们有(a-b)p=(a+(-b))p=ap+(-b)p, ❖ 因为R是整环,p为特征数,因此由定理15.5,p为素数.
定 理 1 4 . 7 ： 设 有 整 环 R,char(R)=p, 作 映 射 :RR,对任aR,(a)=ap是R的一个自同态映 射且ab 时(a)(b)。 证明:同态映射要求对任a,bR有:(a+b)=(a) +(b),(a*b)=(a)*(b). (a*b)=(a*b)p=ap*bp=(a)*(b). 因为在交换环中,二项式定理成立.
ke=0之最小正整数称为环R的特征数,一般
表示为p;如果不存在这样的整数, 则称该 环的特征数为0。用charR表示环R的特征 数。
❖ 定理14.5：设p为有单位元环R的特征数, 则:
(1)任aR,有pa=0，而且，当R是整环时， 对任何a0,p是使pa=0的最小正整数
(2)当R为整环时,其特征数或为素数或为0 ❖ 证明:(1)pa=p(e*a)=e*a+e*a+…+e*a
❖ 二、环同态
❖ 定义14.9：对于环[R;+,*]与环[R';+',*'], 若存在映射:RR'，使得对任r1,r2R有: (r1+r2)= (r1)+'(r2), (r1*r2)=(r1)*'(r2), 则称为R到R'的
同态映射;当(R)=R'称两个环同态;当 为一一对应时两个环同构;当R'R时称R 到R'的同态为自同态,同构为自同构。
❖作业:P191 12,13,15,16, 20
❖补充:
❖1.请举例说明定理14.6(2)中,若不 是满射,即使不是零同态，结论不一 定成立。
❖2.请举例说明定理15.6(2)中,若不 是满射,即使R无零因子，结论不一 定成立.
❖ 定理14.6：设环[R;+,*]与环[R';+',*']有同 态映射, 则:
(1)(0)=0',0为R之加法单位元, 0'为R'之加 法单位元。
(2)如果R和R'均为有单位元环, 且e,e'分别为 其单位元,则当是满同态,或者R'无零因子 且不是零同态,则(e)=e'。其中零同态是 指所有元素在下的象都是0'。
•定 义 1 4 . 8 ： [ R;+,*] 为 有 单 位 元 e 环 , 则
E={ne|nZ}称为R的单位子环。当|E|<+,
必 有 m,nZ,mn, 使 me=ne,(m-n)e=0。 使
(3)(R)R'必为R'的子环。
请考虑(2)中若把一些条件去掉后,结论不成 立的例子.
❖ 推论14.1:若两个环R与R'同构,R≌R',则R为 整环时, R'也为整环；R为除环时R’也是除 环；R为域时R'也为域。
❖ 推论14.1的结论不能拓广到两个环同态的 情况。
❖ 例如对于整数环Z和同余类环Zm，可以构造 满同态映射，使得(x)=[x]Zm。我们知 道，Z是整环但不是域，而当m是素数时， Zm是域，当m不是素数时，Zm不是域，也 不是整环。即两个同态的环Z和Zm性质并不 相同。
❖ 测验：
❖ 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任 意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。 证明：与G中单位元等价的元素全体构成G 的一个子群。
❖ H={x|xG,并且xe} ❖ 对任意的xH， xe, xee=xx-1 ❖ 对任意的x,yH， xe, ye, eye,
❖ x-1xyx-1x
=(e+e+…+e)*a=(pe)*a=0*a=0. R为整环,若存在lZ,0< l <p,使得la=0(a0), 则0=la=l(e*a)=e*a+e*a+…+e*a
=(e+e+…+e)*a=(le)*百度文库 因为R是整环,所以le=0,与p为特征数矛盾
❖ (2)若R的特征数为0,则已成立.
❖ 若R的特征数p0,假定p=p1p2,p11,p21, 类 似 ( 1 ) 的 证 明 , 可 以 得 到 对 任 aR, 由 pa=0可得(p1a)(p2e)=0
例:[Q 2;,]是[R;,]的子环 这里R表示实数集
❖ 定义14.7：设[R;+,·]为环, C={x|xR,对
任意aR, a·x=x·a}。称C为环R的中心。
❖ 定理14.4：环R的中心C是R的子环。 分析:对任意x,yC,要证明x+y,-xC,
x·yC. 即证对任意aR,有a·(x+y)=?(x+y)·a,
(定理15.5：设p为有单位元环R的特征数, 则: (1)任aR,有 pa=0，而且，当R是整环时，对任何a0,p是使pa=0的最小非
零正整数.(2)当R为整环时,其特征数或为素数或为0) ❖ 因此除了p=2这种情况外,p是奇数. ❖ 若p=2,由定理15.5知,0=2x=x+x,因此有 ❖ (-b)2=b2=-b2, ❖ 即(a-b)2=a2-b2 ❖ 若p为奇数,则(a-b)p=ap+(-b)p=ap-bp ❖ 所以0=(a)-(b)=ap-bp=(a-b)p, ❖ 又因为是整环,无零因子,故a-b=0,即a=b.
❖ [Z;+,]是[Q;+,]和[C;+,]的真子环，[Q;+,] 是[C;+,]的真子环。
[G;·]为群,HG,H是G的子群,当且仅当 (1)·关于H封闭 (2)任一hH必有h-1H •定理14.3：[R;+,·]为环, SR,S,[S;+,·]是 [R;+,·]的子环, 当且仅当, 对任a, bS有： (1)a+bS (2)-aS (3)a·bS
❖ 定理：若[F;+.*]是有限整环,则一定是域 ❖ 推论：[Zm;+,*]是域当且仅当m是素数。 ❖ 证明：由前面定理知环[Zm;+,*]是整环当
且仅当m是素数， ❖ 有限整环,由上面结论即得。
§2 子环与环同态
❖ 一、子环 ❖ 定义14.6：[R;+,·]为环,SR,S,当[S;+,·]
是环时, 称它为R的子环。特别在S=R或S={0} 时称它为R的平凡子环,否则称为R的真子环。
a·(-x)=?(-x)·a,
a·(x·y)=?(x·y)·a
•例：设[R;+,*]是有单位元e的环，E={ne|nZ}, 则E是R的子环。 这里要说明的是这里的ne表示的是n个e按第一 种运算+运算n次，即ne=e+e+…+e (-k)e表示ke=e+e+…+e关于第一个运算的逆元 •[E;+]是[R;+]的子群，E是由e生成的，E=(e) •当|E|<+时，元素e关于第一种运算+的阶=|E| •|E|e=0。设|E|=n
因此在(a+b)p的展开式中,其系数为C(p,i),
故除C(p,0)=C(p,p)=1外,C(p,i)含有因子p. 而对任意aR,有pa=0 因此(a+b)=(a+b)p=ap+bp=(a)+(b)
❖ 下面证明ab 时(a)(b)。 ❖ 即证若(a)=(b),即ap=bp时,必有a=b. ❖ 同样我们有(a-b)p=(a+(-b))p=ap+(-b)p, ❖ 因为R是整环,p为特征数,因此由定理15.5,p为素数.
定 理 1 4 . 7 ： 设 有 整 环 R,char(R)=p, 作 映 射 :RR,对任aR,(a)=ap是R的一个自同态映 射且ab 时(a)(b)。 证明:同态映射要求对任a,bR有:(a+b)=(a) +(b),(a*b)=(a)*(b). (a*b)=(a*b)p=ap*bp=(a)*(b). 因为在交换环中,二项式定理成立.
ke=0之最小正整数称为环R的特征数,一般
表示为p;如果不存在这样的整数, 则称该 环的特征数为0。用charR表示环R的特征 数。
❖ 定理14.5：设p为有单位元环R的特征数, 则:
(1)任aR,有pa=0，而且，当R是整环时， 对任何a0,p是使pa=0的最小正整数
(2)当R为整环时,其特征数或为素数或为0 ❖ 证明:(1)pa=p(e*a)=e*a+e*a+…+e*a
❖ 二、环同态
❖ 定义14.9：对于环[R;+,*]与环[R';+',*'], 若存在映射:RR'，使得对任r1,r2R有: (r1+r2)= (r1)+'(r2), (r1*r2)=(r1)*'(r2), 则称为R到R'的
同态映射;当(R)=R'称两个环同态;当 为一一对应时两个环同构;当R'R时称R 到R'的同态为自同态,同构为自同构。
❖作业:P191 12,13,15,16, 20
❖补充:
❖1.请举例说明定理14.6(2)中,若不 是满射,即使不是零同态，结论不一 定成立。
❖2.请举例说明定理15.6(2)中,若不 是满射,即使R无零因子，结论不一 定成立.
❖ 定理14.6：设环[R;+,*]与环[R';+',*']有同 态映射, 则:
(1)(0)=0',0为R之加法单位元, 0'为R'之加 法单位元。
(2)如果R和R'均为有单位元环, 且e,e'分别为 其单位元,则当是满同态,或者R'无零因子 且不是零同态,则(e)=e'。其中零同态是 指所有元素在下的象都是0'。