数学：3.1.1《 数系的扩充与复数的概念》PPT课件

一般用字母C表示 .
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复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨论？ 复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi
虚数b
纯虚数a 0非纯虚数a
0，b 0 0，b
思考：
(1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点在
复平面上构成怎样的图形？
图示
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满 足 |z|=5(z∈C)
5
的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样
的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复 平面内所对应的点位于第二象限，求实 数m允许的取值范围。
变式：证明对一切m，此复数所对应的点
不可能位于第四象限。
解题思考：
表示复数的点所在 转化 复数的实部与虚部所满足
象限的问题
的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-2
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3.1.1《数系的扩充 与复数的概念》
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教学目标
• 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明 白复数及其相关概念。
• 教学重点：复数及其相关概念，能区分虚 数与纯虚数，明白各数系的关系。
求 x与y.解题思考：
复数相等 转化 求方程组的解
的问题
的问题
一种重要的数学思想：转化思想
1、若x，y为实数，且
x2 y2 x yi 2 4i
求x，y
i 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值. 第十三页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复习回顾
数 系 的 扩 充
自然数 整数
有理数 实数 ？
用图形表示包含关系：
RQ Z N
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知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 1 0没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
i 引入一个新数：
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
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例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
• 教学难点：复数及其相关概念的理解
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引言：在人和社会的发展过程 中，常常需要立足今天，回顾昨 天，展望明天。符合客观发展规 律的要发扬和完善，不符合的要 否定和抛弃。那么，在实数集向 复数集发展的过程中，我们应该 如何发扬和完善，否定和抛弃呢？
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（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Z m2 m 2 (m2 1)i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
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我们知道若 a bi 0 则
满足 i2 1
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现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率 和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
O
z x2 y2 5
–5
x -5 -4 -3 0 3 4 5
y 0 3 4 5 4 3 0
y
5 x
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辨析：
1．下列命题中的假命题是（ ）D
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
平面上对应的点Z(a,b)到 原点的距离。
y
OA
X
z=a+bi
x
Z (a,b)
a (a 0)
| a | = | OA | a (a 0)
O
| z | = |OZ| a2 b2
第十八页，)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
系来表示复数的平面
Z(a,b)
b
------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
概念辨析
例题
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能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
实数绝对值的几何意义:
实数a在数轴上所对 应的点A到原点O的距 离。
a
复数的绝对值
(复数的模)
复数 z=a+bi在复
实数
一一对应
数轴上的点
(数)
直线
规定了
正方向，
o
(形)
原点， 单位长度
数轴
x (几何模型)
1
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
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有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
（数）
y
直角坐标系中的点Z(a,b)
平面向量 OZ （形）
建立了平面直角坐标
z=a+bi
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第二十四页，编辑于星期日：十二点 二十二分。
a __0___ b __0___
如何定义两个复数的相等？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不
能比较大小。
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例2 已知 (2 x 1) i y (3 y)i，其中 x, y R
0
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思 考？
复数集
复数集，虚数集，实数集， 虚数集 纯虚数集之间的关系？
纯虚数集
实数集
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1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪 些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 0.618 2 i 0
7
i2 i 1 3 5 i+8， 3 9 2i
数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
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2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对
应的点在虚轴上”的（C ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
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复数的代数形式: z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
a bi c di
a c b d
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B
nZ*
i4n 1
i 4n2 -1
i 4n1 i i4n3 i
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实数可以用数轴上的点来表示。