人教版高中数学必修四 平面的基本事实与推论

在同一平面内.
B
α
证明：设直线AB, BC, AC
A
C
两两相交,交点分别为A, B, C.显然A, B, C三点不共线,
因此它们能确定一个平面α. 因为A∈α, B∈α,所以直线
AB⊂α .同理直线 AC⊂α ,直线 BC⊂α .即直线AB, BC,
AC都在同一平面内.
例题 过直线外一点与这条直线上的3点，分别画3
平面的基本事实与推论
高一年级 数学
主讲人 黎宁
北京师范大学附属实验中学
一、平面的基本事实
基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且
只有一个平面.
A
α
C
B
A∈α, B∈α, C∈α.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面
内，那么这条直线在这个平面内. A
α
B
如果 A∈α, B∈α, 那么 直线 AB⊂α .
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个 平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
平面的基本事实与推论（一）
高一年级 数学
主讲人 黎宁
北京师范大学附属实验中学
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎
A
α
C
B
又因为这个平面含有不共线的三点A ，B ， C，
由基本事实1可知，这个平面是确定的.
例题 如图 ， 正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 分别指出
空间中是否存在平面通过以
D1
C1
下各组对象，如果存在，指出有 A1
多少个；如果不存在，说明理由。
B1
（1）A，B ，C1 ；存在，1个 （2）AB ，BC1 ；存在，1个
P
α
A B Cl
基本事实2可知直线PA，直线PB，直线PC在同一
平面内.
例题 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么
这三条直线共面吗？试说说你的理由.
解：这三条直线共面.事实上，
A
mα
B
l
平行直线l，m确定平面
α，直线AB与直线l，m的交点A，B都在平面α内，
根据基本事实2可知直线AB也在平面α内.
A B C
nα m
l
所以平面α与平面 β重合.
即这四条直线在同一平面内.
证明点线共面问题的主要方法 （1）纳入平面法，先由部分元素确定一个平面， 再证其他元素也在该平面内； （2）平面重合法，先由有关的点、线确定平面α， 再由其余元素确定平面β，再证明平面α，β重合.
课堂小结
基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个 平面. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么 这条直线在这个平面内. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线.
条直线.证明：这3条直线在同一平面内.
证明：记直线外一点为P， 直 B Cl
由推论1可知直线l和点P确定一个平面，记为平面
α.
例题 过直线外一点与这条直线上的3点，分别画3
条直线.证明：这3条直线在同一平面内.
因为点A ，B ， C在直线l上， 所以3点都在平面α内，根据
是靠追的，不是等来的！
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜
变式： 如果一条直线与三条平行直线都相交，那
么这四条直线共面吗？ 解：这四条直线共面.
A B C
nα m
l
由上例可知，直线l，m及直线AB确定平面
α，同理直线m，n及直线AB确定平面 β.
变式： 如果一条直线与三条平行直线都相交，那
么这四条直线共面吗？ 解：因为经过相交直线m与 直线AB的平面有且仅有一个，
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
有 A∈a , α∩β=a .
平面基本事实的推论：
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一
个平面.
事实上，在直线上取两点A ，B ，
AC
α
l
B
因为点C不在直线上，所以A ，B ， C三点不共线，
A ，B ， C确定一个平面α.
样去爱自己。
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山 。宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵
。 ►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树 ，转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱
春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的
荒原上，闪着寒冷的银光。
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶 的。它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩 子！
D C
A
B
例题 如图 ， 正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 分别指出
空间中是否存在平面通过以
D1
C1
下各组对象，如果存在，指出有 A1
多少个；如果不存在，说明理由。
B1
（3）AC1，CC1 ；
存在，1个
（4）AB ，C，C1 .
A
不存在，因为C1 ∉平面ABC.
D C
B
例题 证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必
由A∈a， B∈a，可知l⊂α.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
如图，由基本事实1可知A ， B ， C确定一个平面α，
A
B C
α
由基本事实2及 由A∈a， B∈a，可知直线AB⊂α，
同理直线AC⊂α.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
根据直线平行的定义，这两 条平行线在同一个平面内，