有关圆锥曲线的经典结论

有关解析几何的经典结论
一、椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径
的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是
002
2
1x x y y a
b
+
=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆
222
2
1x
y
a b
+
=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点
弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
7. 椭圆222
2
1x y a
b
+
= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122
tan
2
F P F S b γ
∆=.
8. 椭圆
222
2
1x
y
a b
+
=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和
AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q
交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆
222
2
1x y a
b
+
=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
22
OM AB b k k a
⋅=-
， 即0
2
02y a x b K AB -
=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆
222
2
1x y a
b
+
=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
2
2
00002
2
2
2
x x y y x y a
b
a
b
+
=
+
. 13. 若000(,)P x y 在椭圆
222
2
1x y a
b
+
=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002
2
2
2
x x y y x y a
b
a
b
+
=
+
.
二、双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为
直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：
P 在左支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程
是
002
2
1x x y y a
b
-
=.
6. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切
线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002
2
1x x y y a
b
-
=.
7. 双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意
一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为1
2
2
t
2
F P F S b co γ
∆=.
8. 双曲线
2
2
2
2
1x
y
a
b
-
=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，
连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，
A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. A
B 是双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB
的中点，则0
202
y a x b K K AB OM =⋅，即0
2
02
y a x b K AB =。

12. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的
方程是
22
00002
2
2
2x x y y x y a
b
a
b
-
=
-
.
13. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方
程是
22
002
222
x x y y
x y
a
b a b
-
=
-
. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 椭 圆
1. 椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直
线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是222
2
1x y a
b
-
=.
2. 过椭圆
222
2
1x y a
b
+
= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直
线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2
020
B C b x k a y =
（常数）.
3. 若P 为椭圆222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,
12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan
t
2
2
a c co a c
α
β
-=+.
4. 设椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上
任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
s i n s i n s i n c e a
αβγ
=
=+.
5. 若椭圆222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0
＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，
则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立. 7. 椭圆
2
2
0022
()()
1x x y y a
b
--+
=与直线0A x B y C ++=有公共点的充要条件是
2
2
2
2
2
00()A a B b A x B y C +≥++.
8. 已知椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22
221
1
1
1
||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2
+|OQ|2
的最大值为22
224a b
a b +;（3）O P Q S ∆的最小值是222
2
a b
a b +.
9. 过椭圆
222
2
1x y a
b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦
MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||
2
PF e M N =.
10. 已知椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分
线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2
2
22
0a b a b x a
a
---
<<
.
11. 设P 点是椭圆222
2
1x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点
记12F PF θ∠=，则(1)2
122||||1cos b
PF PF θ
=
+.(2) 1
2
2
tan
2
P F F S b γ
∆=.
12. 设A 、B 是椭圆
2
2
2
21x
y
a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，P A B α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有
(1)2
222
2|cos |||s ab PA a c co αγ
=
-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b
S b a
γ∆=
-.
13. 已知椭圆222
2
1x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0）
的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且B C x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1. 双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴
平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是222
2
1x y a
b
+
=.
2. 过双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互
补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2
020
BC b x k a y =-
（常数）.
3. 若P 为双曲线222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）
右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
t a n
t 22
c a co c a
α
β
-=+（或
t a n
t 22
c a co c a
β
α
-=+）.
4. 设双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）
为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α
∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )
c e a
αγβ=
=±-.
5. 若双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，
则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线
内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和
2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线
222
2
1x y a
b -
=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条
件是22222A a B b C -≤.
8. 已知双曲线
2
2
2
21x
y
a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）22
221
1
1
1
||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2
+|OQ|2
的最小值为22
224a b
b a -;（3）O P Q S ∆的最小值是
2
222
a b
b a -. 9. 过双曲线222
2
1x y a
b
-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于
M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||
2
PF e M N =.
10. 已知双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的
垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2
2
0a b x a
+≥或22
0a b x a
+≤-
.
11. 设P 点是双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2
为其焦点记12F PF θ
∠=，则(1)2
122||||1cos b
PF PF θ
=
-.(2)
122
cot
2
P F F S b γ
∆=. 12. 设A 、B 是双曲线
222
2
1x
y
a b
-
=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的
一点，P A B α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距
离心率，则有(1)2
222
2|cos ||||s |
ab PA a c co αγ=
-.
(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 2
22
2
2cot PAB a b
S b a
γ∆=
+.
13. 已知双曲线222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲
线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交
点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连
线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常
数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
其他常用公式：
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算
弦长，常用的弦长公式：1212AB x y y =
-=
-
2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。

3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)
与直线
垂直的直线可表示为。

4、两平行线间的距离为。

5、若直线与直线
平行
则
（斜率）且
（在
轴上截距） （充要条件）
6、圆的一般方程：
，特别提醒：只有当
时，方程才表示圆心为，半径为
的圆。

二元二次方程表示圆的充要
条件是且且。

7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。

圆
的参数方程的主要应用是三角换元：；
8、为直径端点的圆方程
切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）
9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公
共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。