第8章线性变换的可对角化问题习题课(09-10第二学期)

i i
(iii) V 是σ 的特征子空间的直和.
高等代数与解析几何
定义 8.3.2
设V 是数域 K 上的一个 n 维线性空间
σ 是V 的一个线性变换, σ 关于 V 的任意基的矩阵 A 的 特征 多项 式 f A (λ ) , 称为 σ 的特 征多 项 式, 记作 fσ (λ ) .
定理8.3.5（哈密尔顿‐凯莱(Hamilton-Caylay)定理） 设 A 是数域 K 上一个 n 阶矩阵, f A ( λ ) =| λ I − A | 是 A 的 特征多项式,则矩阵
f A ( A) = An − ( a11 + a22 +
+ ann ) An −1 +
+ ( −1)n | A | I = 0
推论8.3.6 设 σ 是有限维空间 V 的线性变换，
fσ ( λ ) 是 σ 的特征多项式，那么 fσ ( σ ) =θ.
高等代数与解析几何
定义 8.4.1 设 σ 是数域 K 上线性空间 V 的一个线 性变换, W 是 V 的子空间,如果对 W 中的任意向量 α , 都有 σ (α ) 属于 W ,就称 W 是线性变换 σ 的不变子空 间,简称 σ -子空间. 定理 8.4.1 若 W 是 σ -子 空间 ,在 W 中 规定 ϕ : ξ σ ( ξ ) , ∀ξ ∈ W .则 ϕ 是 W 的线性变换. 这 时 ϕ 称为 σ 在W 上的限制,记为 σ |W .
a1n ⎞ ⎟ ⎟ arn ⎟ ⎟ ar +1,n ⎟ ⎟ ⎟ ann ⎟ ⎠
⎛ A11 A12 ⎞ 把 A 写成 分块 矩阵 , 有 A=⎜ ⎟ , 其中 ⎝ 0 A22 ⎠ a1r ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ A11 = ⎜ ⎟ 是一个 r × r 矩阵,它正是 σ |W ⎜a arr ⎟ ⎝ r1 ⎠ 在 W 的基 α1 , α2 , , αr 下的矩阵.
值，而而 ξ i 1 ,
, ξiri 是属于特征值 λi 的线性无关的特征向 , k 那么向量组 ξ 11 ,
, ξ1r1 , , ξ k1 , , ξ krk 也
i 量， = 1, 2,
线性无关.
推论 8.2.6：设 A 是数域 K 上的 n × n 方阵，如 果 A 的特征多项式在 K 中有 n 个不同的根，则 A 可 对角化。
为
⎛ A11 ⎞ A=⎜ ⎟, A22 ⎠ ⎝ 其 中 A11 为 σ |W 在 W1 的 基 α1 , α2 , 1
阵, A22 为 σ |W2 在 W 2 的基 αr + 1 , αr + 2 , 从而 σ 在 V 的基 α1 , 对角矩阵.
高等代数与解析几何
, αr 下 的 矩 , αn 下的矩阵.
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定理 8.2.7
n 阶矩阵 A = ( aij ) ∈ M n ( K ) 属于特征
k
值 λ0 的线性无关特征向量有 k 个,那么 A 的特征多项式 必有因子 (λ − λ0 ) .
定理 8.2.7 的一个等价说法是：矩阵 A 的特征子空 间Vλ0 的维数 ≤ λ 0 的重数.
n 阶矩阵 A = ( aij ) ∈ M n ( K ) 可对角化 的充要条件是：每个 k 重特征值 λ ∈ K 且 rank(λ I − A) = n − k .
第8章 线性变换的可对角化 问题习题课
一. 主要内容 二. 典型例题
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定理 8.1.1 设 n 维线性空间 V 的线性变换 σ 在基 α1 , α 2 , , α n 和基 β1 , β 2 , , βn 下的矩阵分别为 A, B 如果由基 α1 , α 2 , 为 T ,就是 那么
α1 , α 2 ,
由W 的基α1 , α2 ,
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, α r , α r +1 ,
,α n
由于 σ (αi ), i = 1, 2,
, r 仍属于W ,所以 σ (α i ) 可
, αr 线性表示,设
σ (α1 ) = a11α1 + a21α 2 + σ (α 2 ) = a12α1 + a22α 2 +
矩阵的相似关系满足反身性、对称性和传递性。
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有了矩阵相似的概念之后，定理8.1.1可以补充 成： 定理8.1.2 线性变换在不同基下所对应的矩阵是 相似的； 反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可 以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
定义 8.2.1 设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵. 如果对于 数 λ ∈ K ,存在非零列向量 x ,使得 Ax = λ x ,那么 λ 称为矩阵 A 的特征值(根), x 称为矩阵 A 的属于特征 值 λ 的特征向量.
+ an ,r +1α n
由此知 σ 在 V 的一个基 α1 , α 2 , 的矩阵为
, α r , α r +1 ,
,α n 下
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⎛ a11 ⎜ ⎜ ⎜ ar 1 A=⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝
a1r arr 0 0
a1,r +1 ar , r + 1 ar +1,r +1 an , r + 1
矩阵 A 的特征方程和特征多项式：
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求矩阵 A 的特征值与特征向量的具体步骤为： 1. 求出矩阵 A 的全部特征值 λ 1 , λ 2 , , λ k ； 2. 对于每个特征值 λ ,求出齐次线性方程组
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = 0 (λ I − A) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠
推论 8.3.3 线性变换属于不同特征值的特征向量 是线性无关的.
推论8.3.3 如果 λ1 , λ2 , … , λk 是线性变换 σ
的不同的特征值，而 组α 11 , 无关.
α i1 ,
, α iri
是属于特征值
λi 的线性无关的特征向量，i = 1 , … , k , 那么向量
, α 1 r1 ,
Λ = diag(λ1 , λ2 ,
, λn )
对角线上为 A 的全部特征值（有些可相同） ； 4）构造 P : P 的第 i 列就是 A 的属于 λi 的特征向量。
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定理 8.2.4： 矩阵 A 的属于不同特征值的特 征向量是线性无关的. 定理 8.2.5：如果 λ1 λ2， ， k 是矩阵 A 的不同的特征 ， λ
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定理 8.4.2 设 σ 是数域 K 上线性空间 V 的一个线 性变换, W 是 V 的一个非零子空间, α1 , α 2 ,
, αr 是
W 的一个基,则 W 是 σ 的不变子空间的充分必要条件 是 W 的 基向 量的 象 σ (α1 ), σ (α2 ), , σ (αr ) 全 属于 W .
一.
主要内容
, α n 到基 β1 , β2 , , β n 的过渡矩阵 ( β 1, β 2 , , β n ) = (α 1 , α 2 , , α n )T
B = T − 1 AT . 定义 8.1.1 设 A, B 是数域 K 上两个 n 阶矩阵,如 −1 果存在 K 上一个 n 阶可逆矩阵 T ,使得 B = T AT ,就 称 B 与 A 相似,记作 A ~ B .
,α k1 ,
, α krk 也线性
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定理 8.3.4
设 V 是数域 K 上 n 维线性空间,
V 的一个线性变换, σ 在 V 的一个基 α 1 , α 2 ,
的矩阵为 A ,那么,
σ是 ,α n 下
σ 可对角化 ⇔ A 可对角化.
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根据矩阵可对角化的条件可得出线性变换在某个 基下的矩阵是对角形矩阵的条件如下：
的一个基础解系η 1 , η 2 , ,η n− r ,令 + kn− rη n −r , x = k1η1 + k2η 2 +
则 x ≠ 0 时, x 就是矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量.
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定理 8.2.1 设 n 阶矩阵 A = ( aij ) ∈ M n ( ) 的特征 值为 λ1 , λ2 , （1） λ1λ 2
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现在讨论线性变换 σ 的不变子空间与化简 σ 的矩 阵的关系. （1）设 σ 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的一个线性
变换, W 是
σ 的不变子 空间, W 的维数为 r (0 < r < n) ,在 W 中任取一个基 α1 , α2 , , αr ,把它
扩充为V 的一个基：
定理 8.2.8
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σ 定理 8.3.1 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， 是
V 的线性变换，则 σ 可对角化的充分必要条件是存在 V 的一个基 α 1 , α 2 ,
, α n ，使得 σ (α i ) = λiα i ，这里
λi ∈ K , i = 1, 2,
, n.
定义 8.3.1 设 V 是数域 K 上的线性空间， λ 是 K 中
, λn ( k 重特征值算作 k 个特征值) ,则
λn = A ；
（2） λ1 + λ2 +
+ λn = a11 + a22 +
+ ann .
推论 8.2.2 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 的 特征值均为非零数.
把与对角矩阵相似的矩阵称为可对角化矩阵. 如 果矩阵 A 是可对角化矩阵,我们也说 A 可对角化.
（1） λ 是 σ 的特征值 ⇔ λ 是矩阵 A 的特征值； ⎛ x1 ⎞
（2） ξ = ( α 1 , α 2 ,
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的特 λ 的特征向量 ⇔ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ 征向量.
高等代Leabharlann Baidu与解析几何
⎜ ⎟ x2 , α n ) ⎜ ⎟ 是 σ 的属于特征值 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠
(1) 如果 σ 的特征值均属于 K 且互不相等,则 σ 可 对角化； (2) n 维线性空间V 的线性变换 σ 可以对角化的充 分必要条件是下述之一成立： (i) σ 有 n 个线性无关的特征向量； (ii) 对于 σ 的 ki 重特征值 λ i ∈ K 且 V 的特征子空 间Vλ i =
{ξ σ ( ξ ) = λ ξ , ξ ∈ V} 的维数恰为 k .
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（2） V = W1 ⊕ W2 ,且 W1 , W2 都是V 的 σ 不变非 当 平凡子空间时,若取 W1 , W2 的基分别是 α1 , α 2 ,
,α r ； αr + 1 , α r + 2 , , αn ,则由 σ (W1 ) ⊆ W1 , σ (W 2 ) ⊆ W 2 知 σ 在 V 的基 α1 , α 2 , , α r , αr + 1 , αr + 2 , , α n 下的矩阵
σ 的一个数， 是V 的一个线性变换. 如果存在 V 的非零
向量 ξ ，使得
σ (ξ ) = λξ ，
而非零向量 ξ 称为 σ 的 那么， λ 为 σ 的一个特征值， 称 属于特征值 λ 的一个特征向量.
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定理 8.3.2 设V 是数域 K 上一个线性空间, σ 是 V 的一个线性变换. σ 在V 的一个基 α 1 , α 2 , ,α n 下的 矩阵为 A ,如果 λ ∈ K , ξ ≠ 0 ,那么：
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定理 8.2.3 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是矩 阵 A 有 n 个线性无关的特征向量.
若 n 阶矩阵 A 可对角化，求矩阵可逆矩阵 P 使
P − 1 AP = Λ 的方法（其中 Λ 是对角矩阵） ：
1）求出 n × n 矩阵 A 的全部特征值； 2）对每个特征值求线性无关的特征向量； 3）如果线性无关的特征向量为 n 个，则可断定 A可对角化 于
+ ar 1α r + ar 2α r
σ (α r ) = a1rα1 + a2 rα 2 + + arrα r σ (α r +1 ) = a1,r +1α1 + a2,r +1α 2 + + ar ,r +1α r + σ (α n ) = a1nα1 + a2 nα 2 +
+ arnα r + + annα n
, α r , αr + 1
, α n 下的矩阵为准
W1 , W2 , , Ws 都 是 σ − 子 空 间 , 那 么 分 别 在 W1 , W2 , , Ws 中 选 取 基 作 成 V 的 一 个 基 ： α11 , , α1i1 , α 21 , , α 2 i2 , , α s1 , , α sis , 其 中 i1 + i2 + + is = n ,则 σ 在这个基下的矩阵是准对角 矩阵 A = diag ( A1 , A2 , , As ) . 这里, ik 阶矩阵 Ak 是 σ |Wk 在所取的 Wk 的基下的矩阵, k = 1, 2, , s .