七、线性变换习题课

七、线性变换习题课
七、线性变换习题课
1．复习线性变换的概念
例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。

证明：R上：有==
⼜
故A是R上线性空间C的线性变换。

C上：取及，有，⽽，故A不是C上线性空间C的线性变换。

由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。

2．利⽤运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利⽤线性变换与n阶⽅阵代数同构解决有关问题。

例2设A,B是线性变换，如果证明：
，（k>0）
证明: 由已知,对k=1结论成⽴,故考虑⽤数学归纳法.
对k⽤归纳法.当k=1时结论成⽴. K=2时,由已知
=AB=(BA+E)A+A-BA2
=BA2+A+A-BA2=2A 结论成⽴.
设当k时结论成⽴,即,也即.
当k+1时,
=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1
=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k
所以结论对k+1也成⽴,从⽽对⼀切k1成⽴.
例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.
证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.
设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.
因为,所以由得AB=BA.由的任意
性,也是任意的,从⽽存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换.
有了变换乘积,进⼀步可考虑可逆变换.
3. 系统⼩结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明⼀些基本论证⽅法.
A可逆10存在使=E.
A是双射.
A在基下的矩阵A可逆—有限维
例4 设是线性空间V的⼀组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性⽆关.
证明:证法⼀:
“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性⽆关.
“”线性⽆关,
因dimV=n,故使得
=A()
令使=()
易见,且,即
⼜任给设=
有()==
故,从A可逆.
证法⼆:利⽤双射
“” A是双射,则0==A()
得0=(0对应0)
故,线性⽆关.
“”由dimV=n,V的任⼀向量可由唯⼀表⽰,即V中任⼀向量有唯⼀(要证明)原像(显然).故A是双射.证法三:利⽤矩阵
A可逆A在下的矩阵A可逆
()A也是⼀组基=n
线性⽆关
例5设,W1,W2是V的⼦空间,且,则可逆.
证明:由,有V,可设W1的⼀组基为, W2的⼀组
基为,则为V的⼀组基.
“” A可逆,故线性⽆关,1,2的秩为r,n-r,
和分别为1和2的基,故.
“”,有dimV=dim,=(),故为AV的⼀组基,即线性⽆关,A可逆.
4.⼩结:线性变换矩阵的求法,进⼀步掌握矩阵的概念.
为V的⼀组基,
() =()A, ()=()X为另⼀组基,有
()=()
例6在空间P[x]n中,是线性变换,求在基
,下的矩阵.
证明: ⾸先由,是线性变换,是线性变换,故
是线性变换.
其次,只要求出,⽤表⽰,就可得A.
=(1)=1-1=0,
=-
=
=
所以, (,)=(,), 所求矩阵为.
例7设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为
,
1).求在基()下的矩阵;
2).求在基()下的矩阵,其中k;
3).求在基()下的矩阵.
证明:1). =
=
= =
()=()
所求矩阵为。

⼜可()=()=（）
故所求矩阵为A
2)= ()
⼜()=()
故所求矩阵为A=A
3).=
=
=
=
所求矩阵为
⼜()=()
故所求矩阵为
A = A
例8,在任⼀组基下矩阵都相同,则是数乘变换.
证明: 要证在任⼀组基下矩阵是数量阵.
设在基下下的矩阵为A,对任⼀n阶⾮退化⽅阵X,()=()X为V的另⼀组基,在此基下的矩阵为即,由的任意性, A为数量阵.事实上,此时A与任意可换:设可逆矩阵使,则可逆,与A交换,得
于是,由P.204 ex.7 3), A为数量阵,从⽽为数量变换.
例9证明:下⾯两个矩阵相似,其中是1,…,n的⼀个排列:
, .
证明: 曾在⼆次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成⼀个线性变换在不同基下的矩阵.
设,在基()下的矩阵为A,则显然()是V的另⼀组基,此基下的矩阵为B.
将线性变换与⽅阵的特征诸概念列表对⽐,指出异同,明确求法.
矩阵A
线性变换
特征多项式
特征值
特征向量
有限维
例11设是线性变换的两个不同特征值, 是分别属于的特征向量,证明: 不是的特征向量.
证明:只要证
若有这样的存在,则
===
⽽属于不同的特征值,线性⽆关,故,⽭盾.
将此结果与属于同⼀个特征值的特征向量的和(0)作⽐较, 是的属于的两个特征向量,则当0时, 是的⼀个特征向量(属于).例12证明:如果以V中每个⾮零向量为特征向量,那麽是数乘变换.
分析:
每个⾮零向量都是特征值k 的特征向量
每个⾮零向量都是特征向量且特征值只有⼀个
证明:若,有都是的特征向量.
若是分别属于两个不同的特征值,那麽由上题,
即不可能是的特征向量,⽭盾.
故,,有是属于的同⼀特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是,⼜=k0=0,
故.
例13. 可逆,则1). 有特征值,则不为0;
2). 是的特征值,则-1是的特征值.
证法⼀:1).设是的特征值,是属于的特征向量,则.
因可逆, -1存在,且-1L(V),有
,
即,⽽,有.
2).由1),, -1是的特征值.
3).的特征向量是的特征向量.
证法⼆:当V是有限维时,设在基下的矩阵为A,则由可逆,A可逆.
1).若是的特征值,则0==
与A可逆⽭盾.
2).若是的特征值,则,且
即-1是的特征值,⽽,故-1是的特征值.
(注:⼀般情况与有限维时证明⽅法不⼀样;此结论要求掌握.)
特殊变换的特征值
例14设,若,称为对合变换,求的特征值.
证明: 设是的特征值, 是相应的特征向量,有,
,⽽,
故P，即若有特征值只能是1或-1.
则
则确有特征值1或-1.
证法⼆：⼜,若是的特征值,则-1是的特征值.且若是的属于的特征向量，则是的特征向量，必有=-1，
=.
,则的特征值只能是1,0;
若则,即有特征值1;
时,有特征值1;当的秩
例15 设dimV=n, ，证明：是对合变换时必可对⾓化。

分析：的特征值⾄多有两个1和-1，从⽽不好利⽤第⼀个充分条件。

设法⽤充要条件，证明属于1的线性⽆关特征向量数与属于-1的线性⽆关特征向量数之和为n；
即(E-A)X=0的基础解系个数+（-E-A）X=0的基础解系个数=n；
即 r(E-A)+r(-E-A)=n.
证明：设为V的⼀组基，且在此基下的矩阵为A，由，有A2=E,故0=E-A2=(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n，最后⼀个等式由Chap.4.补
设r(E-A)=r0,则r(-E-A)= r(E+A)=n-r,故(E-A)X=0的基础解系有n-r个线性⽆关解; (-E-A)X=0的基础解系有r个线性⽆关解.即的属于1的线性⽆关特征向量有n-r个,属于-1的线性⽆关特征向量有r个;⽽有定理9,属于不同特征值的特征向量线性⽆关,故有n个线性⽆关特征向量,从⽽可对⾓化.
1.由(E-A)(-E+A)=0,有,若,则=0,即1不是特征值
则-1必是,两者必有⼀,但可不全是.
2.幂等变换,可对⾓化,也可仿此证.
例16设是4维空间V的⼀组基，在此基下的矩阵为
.
1).求在基,
下的矩阵;
2).求的特征值与特征向量;
3).求可逆矩阵T使得T-1AT为对⾓阵.
证明:1).=
=S 易知
从⽽在下的矩阵为B=S-1AS=.
2). 的特征多项式为
=
故的特征值为0,1,0.5P.
解⽅程组(E-B)X=0
=0:BX=0, =0
因为,得基础解系.的属于0的特征向量为
=其中不全为0.
=1: (E-B)X=0, =0解得,,,得基
础解系,的属于1的特征=向量为
=其中不为0.
=0.5: (0.5E-B)X=0, =0解得,,
,得基础解系.的属于0.5的特征向量为
=其中不为0.
3).由2).所得4个特征向量,,
,线性⽆关,可作为V的⼀组基,在此基下的矩阵为
,⽽由到这组基的过渡阵为
,且.
例17设是4维线性空间V的⼀组基,已知线性变换在此基下的矩阵为
1).求在以下基下的矩阵:
,,,
2).求的核与值域.
3).在的核中选⼀组基,把它扩充为V的⼀组基,并求在此基下的矩阵.
4).在中选⼀组基扩充为V的基,并求在此基下的矩阵.
证明:1).由基到的过渡矩阵为
,
在下的矩阵为
2).,设()
0==()=()A
A==0, =0
解此齐次线性⽅程组得
所以基础解系为(-4,-3,2,0),(-1,-2,0,1)从⽽
是的⼀组基,即=.
因dim=4-dim=4-2=2,⽽=,的坐标列为A 的列,且A的前2列线性⽆关,从⽽线性⽆关,即=.
3).由(),及
故向量组()=()=()Q
线性⽆关,即是V的⼀组基,此基由的⼀组基扩充⽽成,其中Q为由到的过渡阵.在下的矩阵为
(其中后两列是0因为中元被作⽤后在任何基下的坐标均为(0,0,0,0)’)
4).()=() ,⽽
故向量组()=()=()P
线性⽆关,是V的⼀组基,由的基扩充⽽成,由到的过渡阵为P,在此基下的矩阵为
(后两⾏为0因为任⼀向量被作⽤后都在中,由线性表出).
例18设,,证明:
1).与有相同的值域当且仅当;
2). 与有相同的核当且仅当.
证明:1).“”：故存在，于是
“”：，即，同理
，故。

2). “”：即
故同理
“”：
有
同理,故
例19设是有限维线性空间V的线性变换,W是V的⼦空间,表⽰由W中向量的像组成的⼦空间,证明:dim()+dim()=dimW 分析:定理11 dim()+dim()=dimV的证明中,取的基,扩充为V的基.
证明:取的⼀组基,将它扩充为W的⼀组基
,即W=L(,)
由于故
W=L(,)=L()
若有
即
存在使得=
故有
即线性⽆关，dim W=m-r=dimW-dim()
附注：dim()+dim()=dimV是对V⽽⾔的，对⼦空间的值域和核也⼀样。

例20设为n维线性空间V的线性变换,证明:的秩的秩+的秩-n.
分析:chap4补10.(p209) r(AB)r(A)+r(B)-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.
证法⼀: 设在基下的矩阵分别为A,B,则的秩= r(AB), 的秩= r(A), 的秩= r(B).由chap4.补10. r(AB)r(A)+r(B)-n,得证.
证法⼆:注意到的秩=dim,可⽤定理11.
由定理11和补9, 秩(AB)=dim=dim-dim()
⽽,dim()dim
故秩()dim-dim=秩-(n-秩)= r(A)+r(B)-n.
例21设,W是⼦空间,若可逆,证明:W也是-⼦空间.
注7.8.1 在证时,有⼈认为可逆,从⽽是⼀⼀对应,故既单(
={0},={0})⼜满(),从⽽,不必考虑有限维,这是错误的: 在间⼀⼀对应,不是在间⼀⼀对应.反例:V=P[x]=L(1,x,x2,x3,…),W={f(x2)x2|f(x)}=L(x2,x4,x3,…)
显然可逆(因是⼀⼀对应),
但如.
另在间单,dimW有限,因⽽在间满.
例22.设V是复数域上n维线性空间,,,证明:1).如果是的⼀个特征值,那麽是的不变⼦空间;
2).⾄少有⼀个公共特征向量.
证明:1). 是⼦空间, ,故使得
所以,
2).因为V是C上的线性空间, ⾄少有⼀个特征值,设为的特征值,由1),
为⼦空间.令,则有特征值,设为,则存在0使得,故为的公共特征向量.
注7.8.2 此题可推⼴到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量.
例23设
证明:1).W是⼦空间,,则W=V;
2).{0}是⼦空间,则;
3).是⼦空间,,则或.
证明:1).由题意,()=()
若,W为⼦空间,有
2).令,则
故
⼜由得=
如此继续,
设中第⼀个⾮零的为,则得.
3).若,,但,⽭盾.
例24 可逆的,为上三⾓阵.
分析:A与Jordan矩阵相似,⽽若当形是下三⾓阵,考虑转置.
证明:存在可逆,为若当形矩阵,故()’=是上三⾓阵,即A相似于⼀个上三⾓阵。