2020-2021学年湖南师大附中高三(上)第一次月考数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年湖南师大附中高三（上）第一次月考
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）
2．（5分）已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）
A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立
C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立
3．（5分）有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）
A．B．C． D．
4．（5分）设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）
A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣1
5．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则
的值为（）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
6．（5分）执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）
A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥9
7．（5分）函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）
A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）
8．（5分）已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）
A．ln（a﹣b）＞0 B．C．D．3a﹣b＜1
9．（5分）如图可能是下列哪个函数的图象（）
A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=
C．y=（x2﹣2x）e x D．y=
10．（5分）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）
A．B． C．D．
11．（5分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）
A．36π B．48π C．56π D．64π
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．
14．（5分）已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为．15．（5分）如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，
记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．
16．（5分）如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i+1，则S= ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．
（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边
上的中线长．
18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．
（1）求证：AF∥平面BDN；
（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
19．（12分）某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间的统计结果，如表：
结算所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
假设每个顾客结算所需的时间互相独立，且都是整数分钟，从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；
（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
（注：将频率为概率）
20．（12分）如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；
（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．
（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；
（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．
（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．
2016-2017学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理
科）（炎德·英才大考）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2016•禹州市三模）集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）
【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．
【解答】解：由x2＜4，解得﹣2＜x＜2．
∴B=（﹣2，2），
又集合A={x|0＜x≤3}=（0，3]，
∴A∪B=（﹣2，3]，
故选：B．
【点评】本题考查并及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
2．（5分）（2016•抚顺一模）已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）
A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立
C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（5分）（2016•海南校级模拟）有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）
A．B．C． D．
【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．
【解答】解：所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．故答案选：B．
【点评】本题考查几何概型，根据题意绘制出图形，利用数形结合，求得结果，属于中档题．
4．（5分）（2016•陕西一模）设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣1
【分析】求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．
【解答】解：把y=0代入2x+3y﹣8=0得：2x﹣8=0，解得x=4，
∴抛物线的焦点坐标为（4，0），
∴抛物线的准线方程为x=﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
5．（5分）（2016•高安市校级模拟）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．
【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，
所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．
因为a1、a3、a4成等比数列，
所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．
所以==2，
故选：A．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．
6．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）
A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥9
【分析】由图知，每次进入循环体后，新的s值是s加上2n+1得到的，故由此运算规律进行计算，经过8次运算后输出的结果即可．
【解答】解：由图知s的运算规则是：s=s+（2n+1），故有：
第一次进入循环体后s=3，n=2，
第二次进入循环体后s=3+5，n=3，
第三次进入循环体后s=3+5+7，n=4，
第四次进入循环体后s=3+5+7+9，n=5，
…
第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+17=80，n=9．
退出循环．
故选：A．
【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果的一个题，是算法中一种常见的题型，属于基础题．
7．（5分）（2016•湖南模拟）函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析
式可以是（）
A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）
【分析】由图象可得g（x）的图象经过点（，），逐个选项验证可得．
【解答】解：代值计算可得f（）=sin=，
由图象可得g（x）的图象经过点（，），
代入验证可得选项A，g（）=sin≠，故错误；
选项B，g（）=sin≠，故错误；
选项D，g（）=cos=﹣cos=≠，故错误；
选项C，g（）=cos=cos=，故正确．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数图象和解析式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题．
8．（5分）（2016•汉中二模）已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）
A．ln（a﹣b）＞0 B．C．D．3a﹣b＜1
【分析】由题意可得a＞b＞0，再利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出答案．
【解答】解：∵是定义域上的减函数，且，
∴a＞b＞0．
当0＜a﹣b＜1时，ln（a﹣b）＜0，
当a﹣b≥1时，ln（a﹣b）≥0，∴A错误；
∵，
∴，B错误；
∵是定义域R上的减函数，
∴，
又∵y=x b在（0，+∞）上是增函数，
∴，
∴，C正确；
∵a﹣b＞0，∴3a﹣b＞1，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题．
9．（5分）（2016•黄山一模）如图可能是下列哪个函数的图象（）
A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=
C．y=（x2﹣2x）e x D．y=
【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函数y=2x与y=x2+1的差，分析图象是不满足条件的；
B中由y=sinx是周期函数，知函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，是不满足条件的；
C中函数y=x2﹣2x与y=e x的积，通过分析图象是满足条件的；
D中y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），分析图象是不满足条件的．
【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
10．（5分）（2009•丹东二模）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）
A．B． C．D．
【分析】根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出
，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．
【解答】解：当x∈[0，1]时，值域是[0，1]，
值域是，
∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，
∴，
若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，
∴a的取值范围是．
故选A
【点评】本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．
11．（5分）（2016•日照二模）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原
点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，
所以△QAP为等边三角形，
设AQ=2R，则OP=R，
渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=
由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，
所以（ab）2=3R2（a2+b2）①
在△OQA中，=，所以7R2=a2②
①②结合c2=a2+b2，可得=．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）（2016•丹东二模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）
A．36π B．48π C．56π D．64π
【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出球心O到平面ABC的距离d、边AB和AC的值，在△ABC中，由余弦定理求出cos∠ACB后，求出∠ACB和sin ∠ACB，由正弦定理求出△ABC的外接圆的半径r，由勾股定理求出球O的半径，由球的表面积公式求解．【解答】解：根据三视图知几何体是：
三棱锥D﹣ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：
∵该多面体的所有顶点都在球O，
∴由正方体的性质得，球心O到平面ABC的距离d=2，
由正方体的性质可得，
AB=BD==，AC=，
设△ABC的外接圆的半径为r，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ACB===，
∴∠ACB=45°，则sin∠ACB=，
由正弦定理可得，2r===2，则r=，
即球O的半径R==，
∴球O的表面积S=4πR2=56π，
故选：C．
【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，正弦定理、余弦定理，以及正方体的性质，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）（2014•大庆一模）求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．
【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．
【解答】解：由，解得x=0，1．
∴曲线所围成图形的面积===．
故答案是．
【点评】利用定积分求图形的面积是通法，一定要熟练掌握其方法步骤．
14．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为（2，3）．
【分析】若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，且在区间[m﹣2，2m]上x＞0恒成立，且1∈（m﹣2，2m），解得m的取值范围．
【解答】解：若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，
且在区间[m﹣2，2m]上x＞0恒成立，
且1∈（m﹣2，2m），
则0＜m﹣2＜1＜2m，
解得：m∈（2，3），
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，难度中档．
15．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．
【分析】根据=（p，q），的模长为1，进而求出（p+q）2﹣pq=1，再利用ab≤，即可得答案．【解答】解：∵=（p，q），的模长为1，
∴||=|p+q|=1，
∴1=p2+2pqcos60°+q2=p2+pq+q2．
∴（p+q）2﹣pq=1，
即（p+q）2=1+pq≤1+，则，
故﹣≤p+q≤．
∴p+q的最大值是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，属中档题．
16．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i+1，则S= ．
【分析】由题意可知：则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x ﹣1，求得P1（，），则Q2（，0），则直线AQ2：y=3x﹣2，P2（，），则Q3（，0），则P i（，），Q i（，0），根据三角形面积公式，=丨DQ i丨丨P i Q i+1丨=（1﹣）×=（﹣），采用“裂项法”即可求得S的值．
【解答】解：如图，以C点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由正方形ABCD边长为1，则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），
则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x﹣1，
联立可得P1（，），则Q2（，0），
则直线AQ2：y=3x﹣2，
联立直线BD和直线AQ2，可得P2（，），则Q3（，0），
…
可得P i（，），Q i（，0），
则=丨DQ i丨丨P i Q i+1丨=（1﹣）×=（﹣），
S=（﹣），
=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
=（﹣），
=，
则S=，
【点评】本题考查三角形的面积公式，考查数列的应用，考查利用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．
（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边
上的中线长．
【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简表达式为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出相位的范围，即可求出函数的值域．
（2）求出A的值，设BC的中点为D，利用，通过平方求出BC边上的中线长．
【解答】解：（1）
=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+
∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]．∴≤sin（2x+）≤1．
∴f（x）∈[0，1+]．
（2）由，得，又A为锐角，∴．
设BC的中点为D，则，
∴，
∴，
∴BC边的中线长为．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．18．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．
（1）求证：AF∥平面BDN；
（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
【分析】（1）连结AC交BD于M，连结MN，推导出MN∥AF，由此能证明AF∥平面BDN．
（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，过F作FO⊥PQ交PQ于点O，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y 轴⊥BC建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线BN与平面ABF所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）连结AC交BD于M，连结MN，
∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，
∵N是CF的中点，∴MN∥AF，
又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，
∴AF∥平面BDN．
解：（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，
过F作FO⊥PQ交PQ于点O，
∵BC⊥FP，BC⊥PQ，PQ∩FP=P，
∴BC⊥面EFPQ，FO⊂面EFPQ，
∴BC⊥FO，又FO⊥PQ，PQ∩BC=P，
∴FO⊥平面ABCD．
如图，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y轴⊥BC建立空间直角坐标系，
∵△ADE，△FBC为等边三角形，∴梯形EFPQ为等腰梯形，
∴，∴，
∴．
∴．
设平面ABF的法向量为，则，
∴，令得，
∴，∴，
∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间的统计结果，如表：
结算所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
假设每个顾客结算所需的时间互相独立，且都是整数分钟，从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；
（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
（注：将频率为概率）
【分析】（1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，求出Y的分布，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．由此能求出结果．
（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟；X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟；X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：
①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；
②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．
所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．
（2）X所有可能的取值为：0，1，2．
①X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；
②X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，
或第一个顾客结算所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；
③X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．
20．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．
【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），求出斜率，列出方程化简求解即可．
（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．
②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由，设M
（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，得到k与b的关系，然后求解距离的最大值．
【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），则．
由已知有，化简得P的轨迹方程为．
（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．
②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，∵△=16k2b2﹣8（1+2k2）（b2﹣1）＞0，∴b2＜2k2+1，…（*）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则．∵
，∴，
整理得，∵1+k2≥1，∴，即0＜2（1﹣b2）≤1，即，满足（*）式，∴，∴当时，h2取得最大值为，
即h的最大值为．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；
（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）
【分析】（1），由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围．
（2）由已知得在[1，+∞）上恒成立，由此能求出结果．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣klnx（x≥1），
∴．
①当﹣2≤k≤2时，k2﹣4≤0，x2﹣kx+1≥0恒成立，
所以x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，
f（x）≥f（1）=0恒成立．
②当k＜﹣2或k＞2时，f'（x）=0，
解得，且x1+x2=k，x1•x2=1．
（ⅰ）若k＜﹣2，则x1＜0，x2＜0，
∴x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．
（ⅱ）若k＞2，则x1＜1，x2＞1，
当x∈（1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）＜f（1）=0，
这与f（x）≥0恒成立矛盾，
综上所述，k的取值范围为（﹣∞，2]．
（2）由（1）得在[1，+∞）上恒成立，
取得，
即，
由（1）得k＞2时，在时恒成立，
令，解得，
取，则有在上恒成立，
取得，
∴，（精确到0.001）．
取．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数值的估计值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2016•银川模拟）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．
（1）求证：AC•CP=2AP•BD；
（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．
【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；
（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC 的长．
【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，
又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，
∴，即AP•BC=AC•CP．
又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（5分）
（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，
由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，
由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…（10分）
【点评】本题考查三角形相似，等差数列的性质的应用，切割线定理的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．（2016•河南一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．
（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；
（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．
【分析】（Ⅰ）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，将直线l极坐标方程化成直角坐标方程，先把参数方程化为直角坐标方程，再转化为曲线C的极坐标方程，
（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系把圆的关系即可求出m的值．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程化为3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
则由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得直线的直角坐标方程为3x+4y+6=0．
由，消去参数α，得（x﹣3）2+（y﹣5）2=25，
即x2+y2﹣6x﹣10y+9=0（*），
由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
代入（*）可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣10ρsinθ+9=0．
（Ⅱ）设直线l'：3x+4y+t=0与曲线C相切．
由（Ⅰ）知曲线C的圆心为（3，5），半径为5，则，
解得t=﹣4或t=﹣54，
所以l'的方程为3x+4y﹣4=0或3x+4y﹣54=0，即或．
又将直线l的方程化为，
所以或．
【点评】本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2014•海口二模）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．
（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．
【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为
ln3＞lne=1，不等式得证．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，
∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，
∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，函数的恒成立问题，属于基础题．。