【第十届小机灵杯辅导资料五年级综合练习4

第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习(4)
城隍喵
【第 10 题】 图中 11 个方队（正方形实心方阵）中的每一个都是由数量相同的士兵组成，如果算上将军，就可以组成一 个大的攻击方队。原来的方队里最少要有士兵 _______ 人。
【分析与解】 （方法一） 若原来的方队里的人数为 12 1 人，那么士兵总数为 1 11 1 12 人， 12 不是完全平方数； 若原来的方队里的人数为 22 4 人，那么士兵总数为 4 11 1 45 人， 45 不是完全平方数； 若原来的方队里的人数为 32 9 人，那么士兵总数为 9 11 1 100 人， 100 102 是完全平方数； 综上所述，原来的方队里最少要有士兵 9 人。 （方法二） 设原来的方队里的人数为 n 2 人，士兵总数为 m 2 ；
【分析与解】 用火柴棍摆放 m m 的 m 2 宫格，用 m m 1 2 2m m 1 根火柴； 令 2m m 1 1300 ， m m 1 650 ； 把 650 分解质因数： 650 2 52 13 ； 把 650 写成两个相邻的正整数的乘积为 650 25 26 ； 故 m 25 。 【第 9 题】 有一个袋子里装着许多玻璃球。这些玻璃球或者是黑色的，或者是白色的。假设：有人从袋中取球，每次 取两只球。如果取出的两只球是同色的，那么，他就往袋里放回一只白球；如果取出的两只球是异色的， 那么，他就往袋里放回一只黑球。他这样取了若干次以后，最后袋子里只剩下一只黑球。那么，原来在这 个袋子里有黑球 _______ 个。 （填“奇数”或“偶数” ） 【分析与解】 无论这个人取同色和异色的两个球黑色球总是减少 0 个或 2 个，即减少偶数个； 而最后袋子里只剩下一个黑球，则原来袋子里有黑球奇数个。
因为 3413 D 2 EFG1 ； 所以 D 7 ； 所以 2 EFG1 3413 7 23891 ； 所以 33IJK1 3413 97 331061 ；
3 2 3 0 3 3 3 7 1
4 8 1 0
1 9 9 7 6
3 7 1 1
算式中，乘积的千位数是 1 ；故ห้องสมุดไป่ตู้ B 。
region
S square 2 SAOC SBOD 82 2 8 2 8 4 2 8 2 8 4 2 24 。
第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习(4)
城隍喵
【第 8 题】 如图，用火柴棍摆放 2 2 的 4 宫格，用 12 根火柴；摆放 3 3 的 9 宫格，用 24 根火柴。小明用 1300 根火柴， 摆放了 m m 的 m 2 宫格， m 等于 _______ 。
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
【分析与解】 因为三角形中，两边之和大于第三边； 所以三角形的三条边中最大的一条边小于 15 2 7.5 ； 又因为三角形的三条边中最大的一条边不小于 15 3 5 ； 所以三角形的三条边中最大的一条边可能是 5 ， 6 ， 7 ； 当三角形的三条边中最大的一条边是 5 时，另外两条边可能是 5 、 5 ； 当三角形的三条边中最大的一条边是 6 时，另外两条边可能是 6 、 3 或 5 、 4 ； 当三角形的三条边中最大的一条边是 7 时，另外两条边可能是 7 、 1 或 6 、 2 或 5 、 3 或 4 、 4 ； 综上所述，将长为 15 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边， 则得到不同的三角形的个数为 7 ； 故选 B 。
663个 3 663个 3
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【第 7 题】 如图，边长为 8 的正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是 _______ 。
【分析与解】
C A B A O
D B
把正方形沿直线 AB 翻折，直线 AB 以下的阴影部分面积正好与 AB 以上的空白处重合； 阴影部分面积 S shaded
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城隍喵
【第 4 题】 如图：算式中，乘积的千位数是 _______ 。
3 □ □ 9 2 □ □ □ 3 0 □ 1 7 3 3 □ □ □ A. 0 B. 1
□ □ 1
1 C. 3 D. 7
【分析与解】 如图所示，在空格处分别标上 A ~ K ；
B M N
P
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城隍喵
【第 2 题】 如图，想沿着土地周围以等距离打桩，并且在拐角处一定要打上木桩。请问在尽可能少打木桩的情况下， （单位：米） 总共需要 _______ 根木桩才够。
8 8 8 8 8 8 12 20 12 8 8 8 12 8 8 8 8 8 8 8 12 12 8 8 8 8
2 2 C2 有 C62 C4
6 5 4 3 2 1 90 种； 2 1 2 1 2 1
其中从 P 经过 O 到 Q 的最短路线有 3 2 1 3 2 1 36 ； 故沿正方体表面从 P 到 Q 的最短路线有 90 36 54 条； 靠近 P 点的点有 3 个，且这 3 个点对应的路线可以通过旋转重合； 从 P 到 Q 的这种路径的数目为 54 3 18 种。
8 8 8 8 8 8 12 20 12 8 8 8 12 8 8 8 8 8 8 8 12 12 8 8 8 8
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城隍喵
【第 3 题】 将长为 15 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则得到不同的三角形的个数为 _______ 。
1 1 P 1 3 2 1 6 3 1 3 6 6 2 18 18 3 1 6 6 Q 54 2 1 18 3 3 6
（方法二） 由于对称性，也可以先标与点 P 相邻的 3 个面，再标与点 Q 相邻的 3 个面； 由标数法，从 P 到 Q 的这种路径的数目为 54 条； 靠近 P 点的点有 3 个，且这 3 个点对应的路线可以通过旋转重合； 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习(4)
3

A F 1 J
B 9 G 7 K
C D 1 1
2 3 0 3 3
E H I
因为 3 ABC 9 30 H 17 ； 所以 C 3 ， B 1 ； 因为 30017 9 3335 2 ， 30917 9 3435 2 ； 所以 A 4 ；
30 H 17 3413 9 30717 ；
n 2 11 1 m 2 ， n 2 11 m 2 1 m 1 m 1 ；
取 m 1 11 ， m 10 ， n 2 m 1 10 1 9 ，符合题意； 原来的方队里最少要有士兵 9 人。 【第 11 题】 有红、黄、蓝、绿四种颜色小旗各一面，取其中一面小旗或多面小旗，由上而下挂在旗杆上作为信号（挂 多面小旗时，不同顺序表示不同信号，如：挂出红、黄颜色小旗时，顺序为红、黄与顺序为黄、红表示不 同的信号）。问： ⑴共有 _______ 种不同的信号； ⑵如果某天共发出 323 次信号，那么这一天必定出现某种相同的信号至少有 _______ 次。 【分析与解】 ⑴按取 1 面、 2 面、 3 面、 4 面小旗分成 4 类： ①若四种颜色的小棋取 1 面，有 4 种不同信号； ②若四种颜色的小棋取 2 面，有 4 3 12 种不同信号； ③若四种颜色的小棋取 3 面，有 4 3 2 24 种不同信号； ④若四种颜色的小棋取 4 面，有 4 3 2 1 24 种不同信号； 由加法原理，共有 4 12 24 24 64 种不同的信号。 ⑵ 323 64 5 3 ； 由抽屉原理，这一天必定出现某种相同的信号至少有 5 1 6 次。
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城隍喵
【第 5 题】 一个实心立方体的每个面如图分成四部分，从顶点 P 出发，可找出沿图中相连的线段一步步到达顶点 Q 的 各种路径。若要求每步沿路径的运动都更加靠近 Q ，则从 P 到 Q 的这种路径的数目为 _______ 种 _______ 条。
城隍喵
从 P 到 Q 的这种路径的数目为 54 3 18 种。
6
6 3 1 1 3 B 2 1 3 1 3 2 P 1 1 3 2 6
6
3
3 18 1 6 54 Q 6 3 18 6
3 1
1 6 3 18
3 1
3
（方法三） 正方体相对的两个面的的中心的连线都相交于大正方体的中心 O ； ， 2 步向下“↓” ， 2 步向纸里面“↗” ； 若可以从正方体内部走，那么从 P 到 Q 的最短路线有 2 步向右“→”
P
Q
【分析与解】 （方法一） 因为要求从 P 到 Q 每步沿路径的运动都更加靠近 Q ； 所以每一步只能向右“→”或向下“↓”或向纸里面“↗” ； 所以每个数的数等于其左面、上面、向纸外面的数的和； 由标数法，从 P 到 Q 的这种路径的数目为 54 条； 靠近 P 点的点有 3 个，且这 3 个点对应的路线可以通过旋转重合； 从 P 到 Q 的这种路径的数目为 54 3 18 种。
P
O Q
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城隍喵
【第 6 题】 把 1993 分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是 _______ 。 【分析与解】 首先可以看出， 1993 拆开的各加数中不应当有 0 。 因为当 0 作为因数时，乘积为 0 ，因此不拆出 0 为加数。 其次也可以看出， 1993 拆开的各加数中不应当有 1 。 1 作为因数对乘积无作用，当把 1 合并到另一个加数中去后，会使乘积增大，因此不拆出 1 为加数。 另一方面，拆成的加数也不应当太大。 一般地，因为当 a 4 时， 2 a 2 a ，所以总可以把不小于 5 的加数 a 换成 2 a 2 ， 这样使乘积增大，也就是说，所拆成的加数中至多是 4 。 进一步考虑，如果有加数 4 ，把 4 用 2 2 换一下，乘积不变。 因此，为使考虑问题简单起见，可以认为所拆的加数中不含 4 ，即加数中只有 2 和 3 两种数。 如果加数中有 3 个或 3 个以上的“ 2 ” ，当把 3 个“ 2 ”用 2 个“ 3 ” 代替时，和不变， 但因为 2 2 2 3 3 ，可见乘积增加。 由此可以设想 1993 拆成的各加数中仅有 2 和 3 ，而且 2 的个数不多于 2 个。 因为 1993 不是 3 的倍数，所以 1993 至少要拆出 1 个“ 2 ” ， 但 1993 2 1991 也不是 3 的倍数，可见 1993 要拆出 2 个“ 2 ” 。 当 1993 2 2 3 3 3 或 1993 4 3 3 3 时，乘积最大为 22 3663 。
【分析与解】 相邻两个木桩之间的距离是相邻两个拐角之间的距离的约数； 相邻两个拐角之间的距离有三种： 8 米， 12 米， 20 米； 相邻两个木桩之间的距离是 8 米， 12 米， 20 米的公约数； 相邻两个木桩之间的距离是 8,12, 20 4 米的约数； 要尽可能少打木桩，即木桩的根数最少； 则相邻两个木桩之间的距离要尽可能大，即取相邻两个木桩之间的距离为 4 米； 土地的周长为 8 20 12 5 20 240 米； 木桩将土地周围分成 240 4 60 段； 封闭图形植树问题，棵数 段数； 在尽可能少打木桩的情况下，总共需要 60 根木桩才够。
第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习⑷
【第 1 题】 如图，加油站 A 和商店 B 在马路 MN 的同一侧， AB 7 米，行人 P 在马路 MN 上行走。当 P 到 A 的距离 与 P 到 B 的距离之差最大时，这个差是 _______ 米。
A 7
B M N
P
【分析与解】
AP BP ≤ AB 7 米；当且仅当点 P 在 AB 的延长线或者 BA 的延长线上，等号成立；
而点 P 在直线 MN 上； 当点 P 为 AB 的延长线与 MN 的交点时， AP BP max AB 7 米，当 P 到 A 的距离与 P 到 B 的距离之差最大为 7 米。
A 7