包含与排除

（二十九）包含与排除（上）
《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。

包含与排除问题也叫重叠问题，从三年级奥数课堂开始由浅入深逐步学习，此类问题说明及容斥原理具体内容，请查阅：
三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理
四年级奥数解析（二十九）容斥原理
这一讲将在三、四年级学习的基础上，进一步学习运用容斥原理二解答稍复杂的包含与排除问题。

【容斥原理二】
如果被计数的事物有A、B、C三类，则:
三类元素总个数二A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类乂是B类的元素个数一既是A类乂是C类的元素个数一既是B类乂是C类的元素个数+既是A类乂是B类又是C类的元素个数。

【原理证明】
如下图，三个圆片两两重叠，用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面积表示B类事物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数，三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数：
A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块，覆盖了三层圆片，重叠了2次；剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片，重叠了1次。

三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积，重叠1次的减去重叠面积，重叠2次的减去重叠面积的2倍。

但用三个圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分，重叠1次的面积正好减去了，可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分，也属于AC的重叠部分，同时属于BC的重叠部分。

这一块儿面积重叠2次，却减去了3次，多减了1次，要补上去。

所以：三类元素总个数二A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类乂是B类的元素个数一既是A类乂是C类的元素个数一既是B类乂是C类的元素个数+既是A类乂是B类又是C类的元素个数。

【题目】：
在参加数学竞赛的46人中，做对第二题的有32人，做对笫4题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有儿人？
【解析】：
用做对第2题与做对第4题的人数和，减去两题都做对的人数（重叠部分），求出的就是这两题中至少做对了一题的人数：
32+24-20=36 （人）。

所以这两道题都没有做对的人数为：
46-36=10 （人）。

《奥赛天天练》第21讲，模仿训练，练习2
【题目】:
某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80 名男生，该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？
【解析】：
先求出既参加了语文竞赛乂参加了数学竞赛的男女生总人数：
（120+80） X2 — 260 = 140 （人）。

所以既参加了语文竞赛乂参加了数学竞赛的女生人数为：
140-75=65 （人）。

即参加数学竞赛的女生中有65人同时参加了语文竞赛，则只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有：
80-65 = 15 （人）。

（三十）包含与排除（下）
【题目】：
如图，在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片，它们的面积都是50平方厘米，三个圆片共同重叠的面积是12平方厘米，三个圆片盖住桌面的总面积是92平方厘米。

问图中阴影部分面积是多少平方厘米？
【解析】：
三个圆片两两重叠，中间三个圆片共同重叠的部分重叠了2次；阴影部分只有两个圆片叠放，这部分重叠了1次。

先求出重叠的总面积为：
50X3-92 = 58 （平方厘米）。

再用重叠的总面积减去中间重叠了两次的面积，剩下的就是阴影部分面积：58-12X2 = 34 （平方厘米）。

《奥赛天天练》第21讲，巩固训练，习题2
【题
目】:
如图，小飞骑自行车去游玩A, B, C三个景点，他如果从A地出发，经过B地到C地, 共行10千米；如果从B地出发，经C地到达A地，共行13千米；如果从C地出发，经A 地到达B地，共行11千米，问哪两个景点之间的距离最短？最短的距离是多少千米？
【解析】:
由题意可知：
AB+BC = 10 千米；BC+AC=13 千米；AC+AB = 11 千米；
这三条路线的长度之和就等于图中三角形三边和的2倍。

所以：
AB+BC+AC= （10 + 13 + 11） 4-2 = 17 （千米）
根据三边总和和两边之和，可以求出笫三边，三边总和是一定的，根据题目给出的条件，可知A、B两个景点之间的距离最短，最短距离是：
17-13 = 4 （厘米）。

《奥赛天天练》第21讲，拓展提高，习题1
【题目】：
某单位有64人订A,B,C三种杂志，订A种杂志的有28人，订B种杂志的有41人, 订C种杂志的有20人，订A,B两种杂志的有10人，订B,C两种杂志的有12人，订A,C 两种杂志的有12人，问三种杂志都订的有多少人？
【解析】：
假设三种杂志都订的有x人，根据容斥原理二，可得：
64 = 28+41+20T0T2T2+x
解得:x = 9
所以，三种杂志都订的有9人。

《奥赛天天练》第21讲，拓展提高，习题2
【题目】：
体育课上，30名学生面向老师站成一行，按老师的口令从左到右报数1, 2, 3,…… 50,报完后老师让所有报数是4的倍数的同学向后转，接着乂让报数是6的倍数的同学向后转，问现在仍然面向老师的有多少同学？
【解析】：
报数是4的倍数的同学有：50宁4 = 12 （人） (2)
报数是6的倍数的同学有：50一6 = 8 （人） (2)
12既是4的倍数，也是6的倍数，所有12的倍数都是4的倍数，也是6的倍数。

所以这50名同学中报数即使4的倍数，乂是6的倍数的同学有：
504-12=4 （人） (2)
向后转的同学总人数就是报数是4的同学人数与报数是6的同学人数之和减去重复讣算的既是4的倍数又是6的倍数的同学人数：
12+8-4 = 16 （人）。

所以，现在仍然面向老师的同学有：
50-16=34 （人）。

四年级奥数解析（二十九）容斥原理
《奥赛天天练》第26讲《容斥原理》。

日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在讣算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。

在三年级奥数课堂已经初步学习了运用容斥原理（一）解决简单的重叠问题，相关知识点请查阅：
user3/4092/archives/2009/65608. shtml
本讲在三年级学习的《重叠问题》的基础上，进一步学习运用容斥原理（一）解决稍复朵一点的重叠问题。

解答问题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了儿次？题LI要求的乂是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。

《奥赛天天练》第26讲，模仿训练，练习1
【题目】：
两个边长分别为5厘米，3厘米的正方形重叠在一起，重叠部分的面积为1平方厘米。

求这个图所能覆盖的面积。

【解析】：
先求出两个正方形的面积，分别是：5X5=25 （平方厘米）；3X3=9 （平方厘米）。

根据容斥原理一，可得所求覆盖面积为：25+9-1二33 （平方厘米）。

《奥赛天天练》第26讲，巩固训练，习题1
【题目】：
在一次校运动会上，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛乂参加径赛的7人，没有参加比赛的有21人，那么这个班有多少人？
【解析】：
先画出参赛情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A所在的椭圆表示参加田赛的人数15人；字母B所在的椭圆表示参加径赛的人数12人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示既参加田赛乂参加径赛的人数7人；字母D所在的空口部分表示没有参加比赛的人数21人。

根据容斥原理一，可求出参赛总人数为：15+12-7=20 （人）。

全班人数即参赛人数与没有参加比赛的人数之和：20+21二41 （人）。

《奥赛天天练》第26讲，巩固训练，习题2
【题目】：
有50个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色的或红色的。

若有14人穿的是蓝色上衣白裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣黑裤子的学生有多少人？
【解析】：
根据题意，如果有人既没穿红上衣，乂没穿黑裤子，就一定是穿了蓝上衣白裤子，即穿蓝上衣白裤子的人数就是既没穿红上衣乂没穿黑裤子的学生总数。

所以穿黑裤子或红上衣或两样都穿的学生总数为：50-14=36 （人）。

其中有31人穿了黑裤子，有18人穿了红上衣，，那么穿红上衣黑裤子的学生就是前面两类学生的重叠部分，人数为：
31+18-36=13 （人）。

《奥赛天天练》26讲，拓展提高，习题1
【题目】:
在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数乂不是5的倍数的数有多少个？
【解析】：
①1004-5=20；
②1004-6=16 ......4；
③100= （5X6）
=1004-30
二3 (10)
1到100的全部自然数中，5的倍数有20个，6的倍数有16个，有3个数既是5的倍数乂是6的倍数（既是5的倍数乂是6的倍数的数最小是30,则所有30的倍数也就是既是5的倍数又是6的倍数的数）。

则1到100的全部自然数中，是6的倍数和5的倍数的数总共有：20+16-3二33 （个）。

所以既不是6的倍数又不是5的倍数的数有：100-33二67 （个）。

《奥赛天天练》第26讲，拓展提高，习题2
【题目】：
一批外国旅游者，会说英语的有88人，会说法语的有60人，其中两种语言都能说的有40人，还有16人这两种语言都听不懂。

这批旅游者一共有多少人？
【解析】：
这道题与前面的“巩固训练，习题1”相似，可以画出与上题相似的示意图，先求出会说英语、法语的这两类人的总数：88+60-40=108 （人）。

把前两类人的总数加上两种语言都不会说的人数，求出这批旅游者的总人数为：108+16=124 （人）。

三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理
《奥赛天天练》第45讲《重叠问题》。

日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复讣算的情况，这类问题就叫做重叠问题，
解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排除原理，也叫容斥原理。

容斥原理包含以下两条基本计算公式：
①容斥原理一，如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：
被计数对象的总个数"类元素个数+B类元素个数一同时属于A类和B类的元素个数。

②容斥原理二，如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：
被计数对象的总个数二A类元素+B类元素个数+C类元素个数一同时属于A类和B类的元素个数一同时属于A类和C类的元素个数一同时属于B类和C类的元素个数+同时属于A、B、C三类的元素个数。

这条原理比较复杂，等到高年级再向孩子介绍。

本讲学习简单的重叠问题，只需孩子理解容斥原理一就可以了。

运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了儿次？题目要求的乂是
哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。

《奥赛天天练》第45讲，巩固训练，习题1
【题目】：
三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25 人两份报都订，那么：
（1）只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人？
（2）只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人？
（3）有多少人两种报都没订？
【解析】：
先画出订报情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A所在的椭圆表示订《少年报》的人数32人；字母B所在的椭圆表示订《数学报》的人数38人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数25人；字母D所在的空口部分表示两种报都没有的订的人数。

（1）用订《少年报》的总人数A,减去重叠部分C,剩下来的就是只订《少年报》而没有订《数学报》的人数：32-25=7 （人）；
（2）同理，（B-C）就是只订《数学报》而没有订《少年报》的人数：38-25=13 （人）；
（3）先求出订报的总人数，即图中所有阴影部分表示的人数，再用班级总人数减去订报总人数，即是两种报都没订的人数D。

这题有两种解法。

解法一：在（1）、（2）两小题中已求出只订《少年报》的人数7人、只订《数学报》的人数13人，即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数，中间重叠部分为25人，所以订报总人数为：7+25+13=45 （人）。

所以，两种报都没有订的人数为：48-45=3 （人）。

解法二：不考虑重叠部分，订《数学报》和《少年报》的总人数为：32+38二70 （人）。

有25人两份报都订了，这些人既包含在32人之中，乂包含在38人之中，我们在求和时, 这25人就加了两遍，重复计算了一遍，要去掉多算的一遍。

因此，订报总人数为：70-25 =45 （人）。

两种报都没有订的人数就是：48-45二3 （人）。

《奥赛天天练》第45讲，巩固训练，习题2
【题目】：
一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班10人两题都对，8人两题都错，第
二道题有15人错，问第一道对而第二道错的同学有多少人？
【解析】：
解答这题要抓住题中的有效条件，避免受无效条件的干扰。

因为笫二道题有15人错，全班只有8人两题都错，而两题都错的人第二道题肯定错了，所以两题都错的8个人包含在前面15人之中，从15人里去掉这8个人还剩：15-8=7 （人）。

去掉两题都错的8人，剩下的7人肯定只错了一道题，他们笫二道题错了，第一道题肯定是对的，所以第一道对而第二道错的同学有7人。

《奥赛天天练》第45讲，拓展提高，习题2
【题目】：
100位旅游者中，70人懂中文，52人懂英语，还有10人两种语言都不懂。

（1）懂中文和英语的一共有多少人？
（2）既懂英语乂懂中文的有多少人？
（3）只懂中文不懂英语的有多少人？
（4）只懂英文不懂中文的有多少人？
【解析】：
（1）100名旅游者中，有10人两种语言都不懂，所以懂中文和英语的人一共有：10 0-
10=90 （人）。

（2）70人懂中文，52人懂英语，不考虑重叠情况（即既懂英语乂懂中文人数），懂两种语言的共有：70+52二122 （人）。

在第（1）小题已经求出懂两种语言的总人数为90 人，所以被重复计算的既懂英语乂懂中文的人数为：122-90二32 （人）。

（3）在第（2）小题已经求出既懂英语乂懂中文的人数为32人，而懂中文的总人数为70人，这32人是包含在这70人当中的。

从懂中文的总人数中排除既懂英语乂懂中文的人数，剩下的就是只懂中文不懂英语的人数：70-32二38 （人）。

（4）与第（3）小题同理，从懂英文的52人中排除既懂英语乂懂中文的32人，剩下的就是只懂英文不懂中文的人数：52-32=20 （人）。