2021年河北省数学中考《二次函数的图象及性质》专题复习(人教版)(Word版附答案)

二次函数的图象及性质
二次函数的图象及性质
1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是()
A．乙错，丙对B．甲和乙都错
C．乙对，丙错D．甲错，丙对
2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则()
A.甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除
外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝k
x(x＞0)的图
象是()
二次函数图象与性质的综合
4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.
(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．
考点解析
二次函数的概念及表达式
1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝；
2.已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝；
3.已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝.
二次函数的图象及性质
4.(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是()
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点坐标是(1，1)
C．抛物线与x轴没有交点
D．当x＞－1时，y随x的增大而增大
5.(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()
A ．2＞y 1＞y 2
B ．2＞y 2＞y 1
C ．y 1＞y 2＞2
D ．y 2＞y 1＞2
6.若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为( )
A ．1
B ．±1
C ．－1
D ．－1
2 二次函数图象的平移
7.将抛物线y ＝12 x 2
＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )
A ．y ＝－2x 2＋1
B ．y ＝－2x 2－1
C ．y ＝－12 x 2＋1
D ．y ＝－12 x 2
－1
8.(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是( )
A ．－72
B ．－12
C ．1
D ．－12 或－7
2
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
9.若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝ ，x 2＝ ．
10.(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是．
考点专练
1.(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的
图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b
2a与反比例函数y＝
ab
x在同一坐标系内的
大致图象是()
2.(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：
①b2－4ac＝0；
②a＋b＋c＞0；
③2a－b＝0；
④c－a＝3.
其中正确的是()
A．①②B．③④C．②③D．①③
3.．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()
A．抛物线开口向下
B．当x＝0时，函数的最大值是－2
C．抛物线的对称轴是直线x＝2
D．抛物线与x轴有两个交点
4．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝c
x的图象如图所示，则二次函数y
＝ax2＋bx＋c的大致图象是()
5．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b ＋c＞0.其中正确的是()
A．①③B．②C．②④D．③④
6．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：
①abc＜0；
②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；
③2a＋b＝0；
④4a＋2b＋c＜0.
其中正确结论的序号是．
5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝1
2x2平移得到抛物线m，抛物线
m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1
2x2
交于点Q.
(1)点P的坐标为；
(2)图中阴影部分的面积为．
7.(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围；
③直接写出点Q与直线y＝x＋5的距离小于2时m的取值范围．
8．将抛物线y＝x2－2x＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为()
A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5
C．y＝x2－1 D．y＝x2＋4
9．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．
(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．
(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；
(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；
(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，
得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝1
2x＋b与N有两个
公共点时，请直接写出b的取值范围．
二次函数的图象及性质
二次函数的图象及性质
1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是(C)
A．乙错，丙对B．甲和乙都错
C．乙对，丙错D．甲错，丙对
2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与
直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则(D)
A.甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除
外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝k
x(x＞0)的图
象是(D)
二次函数图象与性质的综合
4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.
(1)若AB ＝8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； (2)当点C 在l 下方时，求点C 与l
距离的最大值；
(3)设x 0≠0，点(x 0，y 1)，(x 0，y 2)，(x 0，y 3)分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点(x 0，0)与点D 间的距离；
(4)在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2 019和b ＝2 019.5时“美点”的个数．
解：(1)当x ＝0时，y ＝x －b ＝－b ，∴B (0，－b ). 又∵AB ＝8，A (0，b )， ∴b －(－b )＝8.∴b ＝4.
∴L 的表达式为y ＝－x 2＋4x ，a 的表达式为y ＝x －4. ∴L 的对称轴为x ＝2. 当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.
∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；
(2)∵y ＝－x 2
＋bx ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －b 2
2
＋b 2
4 ，
∴L 的顶点为
C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2，b 24 .
∵点C 在l 下方，
∴点C 与l 的距离为b －b 24 ＝－1
4 (b －2)2＋1≤1. ∴点C 与l 距离的最大值为1；
(3)由题意，得y 3＝y 1＋y 2
2 ，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20 ＋bx 0). 解得x 0＝0或x 0＝b －12 .又x 0≠0，∴x 0＝b －12 . 对于L ，当y ＝0时，即0＝－x 2＋bx ，∴0＝－x (x －b ). 解得x 1＝0，x 2＝b .∵b ＞0，∴右交点D 为(b ，0). ∴点(x 0，0)与点D 的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12 ＝1
2 ；
(4)4 040；1 010.
考点解析
二次函数的概念及表达式 例如，
(1)已知二次函数图象经过原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2；
(2)已知抛物线的顶点坐标为点M (1，－2)，且经过点N (2，3)，则此二次函数的表达式为y ＝5(x －1)2－2；
(3)已知二次函数图象经过点P (3，4)且与x 轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y ＝25 x 2＋25 x －4
5 .
二次函数的图象及性质 例如，
(1)(2020·秦皇岛市一模)二次函数y ＝x 2＋2x ＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是(B )
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点坐标是(1，1)
C．抛物线与x轴没有交点
D．当x＞－1时，y随x的增大而增大
(2)(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)
A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1
C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
例如，
(1)根据二次函数的大致图象得出结论：
(2)若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为(C )
A ．1
B ．±1
C ．－1
D ．－1
2 二次函数图象的平移
(5)将抛物线y ＝12 x 2
＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为(C )
A ．y ＝－2x 2＋1
B ．y ＝－2x 2－1
C ．y ＝－12 x 2＋1
D ．y ＝－12 x 2
－1
(6)(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是(D )
A ．－72
B ．－12
C ．1
D ．－12 或－7
2
二次函数与一元二次方程、不等式的关系 例如，
(1)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝－1，x 2＝5．
(2)(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3．二次函数的综合
考点专练
二次函数的图象与性质及与各项系数的关系
【例1】(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)
的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b
2a与反比例函数y＝
ab
x在同一坐标系内
的大致图象是(B)
【解析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置(在y轴右侧)确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置(在x轴下方)确定c＜0.对于一次函
数y＝cx＋b
2a，由于c＜0，图象必经过第二、四象限，又0＜－
b
2a＜1，即
b
2a＜
0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y＝ab
x，ab＜0，图象分布在
第二、四象限．
【例2】(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，
3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：
①b2－4ac＝0；
②a＋b＋c＞0；
③2a－b＝0；
④c－a＝3.
其中正确的是(B)
A．①②B．③④C．②③D．①③
【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间．∴b2
－4ac＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②错误；由－b
2a＝－1，
得b＝2a，2a－b＝0，故③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a－2a＋c＝－a＋c ＝3，即c－a＝3，故④正确.
1．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是(D)
A．抛物线开口向下
B．当x＝0时，函数的最大值是－2
C．抛物线的对称轴是直线x＝2
D．抛物线与x轴有两个交点
2．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝c
x的图象如图所示，则二次函数y
＝ax2＋bx＋c的大致图象是(A)
3．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b ＋c＞0.其中正确的是(C)
A．①③B．②C．②④D．③④
4．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：
①abc＜0；
②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；
③2a＋b＝0；
④4a＋2b＋c＜0.
其中正确结论的序号是①②③．
5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y ＝12 x 2
平移得到抛物线m ，抛物线
m 经过点A (－6，0)和点O (0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12 x 2
交于点Q .
(1)点P
的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－3，－92
；
(2)图中阴影部分的面积为27
2 ． 二次函数表达式的确定及综合
【例3】(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3).
(1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；
②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围； ③直接写出点Q 与直线y ＝x ＋5的距离小于2 时m 的取值范围．
【解答】解：(1)将P (－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3，得 3＝(－2)2－2a ＋3，解得a ＝2.∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2. ∴顶点坐标为(－1，2)；
(2)①将x ＝2代入y ＝x 2＋2x ＋3，解得y ＝11. ∴当m ＝2时，n ＝11；
②2≤n ＜11；③－1－72 ＜m ＜－1或0＜m ＜－1＋7
2
. 6．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为(B )
A ．y ＝(x －2)2＋3
B ．y ＝(x －2)2＋5
C ．y ＝x 2－1
D ．y ＝x 2＋4
7．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L ：y ＝mx 2＋2mx ＋k (其中m ，k 是常数，k 为正整数)．
(1)若L 经过点(1，k ＋6)，求m 的值．
(2)当m ＝2时，若L 与x 轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k 的值；
(3)在(2)的条件下将L ：y ＝mx 2＋2mx ＋k 的图象向下平移8个单位，得到函数图象M ，求M 的解析式；
(4)将M 的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N ，请结合新的图象解答问题，若直线y ＝1
2 x ＋b 与N 有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．
解：(1)将点(1，k ＋6)代入y ＝mx 2＋2mx ＋k ，解得m ＝2； (2)当m ＝2时，y ＝mx 2＋2mx ＋k ＝2x 2＋4x ＋k . 令y ＝0，即2x 2＋4x ＋k ＝0.
由题意，得Δ＝b 2－4ac ＝16－8k ≥0.解得k ≤2.
又k 为正整数，且k ＝1时，方程没有整数解，故舍去． ∴k ＝2；
(3)在m ＝2，k ＝2时，y ＝2x 2＋4x ＋2，向下平移8个单位，平移后M 的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；
(4)－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .
[由(3)知，M 的表达式为y ＝2x 2＋4x －6.① 则翻折后抛物线的表达式为y ′＝－2x 2－4x ＋6.② 设直线m 为y ＝1
2 x ＋b .③
Ⅰ)当直线m 与翻折后的图象有一个交点(点H )时，如图，联立②③并整理得2x 2
＋9
2 x ＋b －6＝0.
则Δ＝814 －8(b －6)＝0.解得b ＝27332 ；
Ⅱ)当直线m 过点A (－3，0)时，
将点A 的坐标代入③，得0＝1
2 ×(－3)＋b .
解得b ＝3
2 ；
Ⅲ)当直线m 过点B (1，0)时，同理可得，b ＝－1
2 .
综上所述，直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，b 的取值范围为－1
2 ＜b ＜32 或b ＞27332 .]
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