比例法解行程题

比例法解行程题
比例法
【例1】（第8届迎春杯决赛试题）小明和小刚进行200米短跑比赛（假定二人的速度均保持不变）。

当小刚跑了180米
时，小明距离终点还有50米，那么，当小刚到达终点时，小
明距离终点还有多少米？
【解】当小刚跑了180米时，小明跑了200-50=150米，二人的路程之比为180： 150=6: 5,小刚到达终点时，由于速度不变，二人的路程比依然为6： 5O若设小刚路程200米为6份的话，小明的行程应为5份，则其离终点还有1份距离二200 6 331 米。

【练习】小刚与小勇进行50米赛跑，结果：当小刚到达终点时，小勇还落后小刚10米；第二次赛跑，小刚的起跑线退后10 米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结果将是
解：小刚到达终点时，二人的路程分别为50米和40 米，路程之比为5：40若小刚退后10米，当到达终点时其路程为60米，由于速度不变，从而路程之比也不变，此刻乙跑了60-5X 4=48米，还差2米才到终点，因此还是小刚胜出。

【点评】在赛跑问题中，多数时候隐含了时间相等的条
件，从而路程之比二速度之比的正比例关系式会得到大量应用。

【例2】一辆车从甲地开往乙地•如果车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶240千米后，再将速度提
高25%,则可提前40分钟到达•那么甲、乙两地相距多少千
米
【分析】这是一道“隐性”比例行程题，但其标志很明显一一百分数，一般说来凡题目中出现百分比应立即想到将其转化为比例进行研究。

例如本题中，车速提高20%意味着原速度与现速度之比为5：6,车速提高25%意即
原速度与现速度之比是4:5。

【解】按照题中的形成的两部分分别进行分析：
车速提高20%,从而速度之比为5： 6,则时间之比为6： 5, 已知提速前后所用时间差为1小时，可见原速度走完全程需要6 小时，提速后需要5小时。

而在原速行驶240千米后，剩余部分路程提速25%,即速度之比为4:5,则所用时间之比为5： 4,而已知提
速前后所用时间之差为40分钟，从而不难求剩余路程若按原速度行驶需要时间40X5=200分钟二2八小时，从而
前240千米用时6 21 3彳小时，则原速度为240 3彳90千
3 3 3
米/小时。

从而甲乙两地距离应为90 6 540千米。

【点评】本题虽难度不大，但作为比例解行程的方法十分典型，有必要熟练掌握题目中涉及到的几个模型。

这些模型与几何中五大模型的作用类似，会在行程问题中反复出现，且标志明显。

模型1百分比到比例的转化。

模型2:提速一少时，由提速或降速所造成的时间差，只产生在提速和降速的路程中。

模型3：比差问题，类似和差、和倍、差倍，已知比和差分别求大小数的方法应熟练掌握。

【练习】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提局20%可以提前1小时到达，如果按原速度行驶一段距离后，再将速度提高30%也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全程的几分之几？
解：车速提高20%即速度之比为5： 6,从而时间比为6： 5,已知时间差为1小时，则原用时为6小时。

原速行驶一段距离后，再将速度提高30%仍然提前1小时到达，这个时间差只能发生在提速部分，这段速度之比为10： 13,从而时间之比为13： 10,不难
求原速度行驶用时1* 3X 13二空小时，从而先行驶的部分用时
3 7 3 3 小时，其占比为3+ 6瓷7 3 18
【例2】甲、乙两人分别从A B两地同时出发，相向而行，在途中C 点相遇。

如甲的速度增加10%,乙每小时多走300米，还在C相
遇；如果甲早出发1小时，乙每小时多走1000米，则仍在C
相遇。

那么两人相遇时距B多少千米？
【分析】此题有个明显的特征，即三种方式最终相遇地点一样，这实际明确告知我们三种方式之下路程之比相同！而题目要求两人相遇时距B多少千米，实际是求乙的路程，若能求得乙的速度和时间则问题可解。

【解】按照题中的“；”形成的两部分进行来研究：
在甲提速10%乙提速300米后甲乙相遇地点不变，路程之比没变，可见提速前后两人的速度之比也保持不变。

从而若甲提速10%勺话，乙提速300米也应为10%从而不难求得乙的原速度为3千米/小时。

甲提前出发1小时，乙提速1000米后，两人依然在C点相遇。

换句话说其实就是：乙在提速1000米后比平时少用1个小时到达C
点。

而乙在提速1千米后，前后速度之比为3： 4,则所
用时间之比应为4： 3,少用的1小时为1份，则乙原用时应为4 小时。

如此乙的速度和时间都已求得，则其路程为3X 4=12 千米。

即两人相遇时距B 12千米。

【点评】在本题中，双双提速后速度之比保持不变的关系式是不难发现的。

比较难理解的是甲提前1小时出发
的意义：由于甲速度未变，从而其到达C点所需的时间是不变的，由此发现乙到达C点实际上是比提速前少用了1小时。

此处又是比差模型的典型应用。

发现“时间差”其实是个不错的标志物。

【例3】甲、乙两人同时A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在AB之间行走方向不会改
变，已知两人第一次相遇的地点距离B地1800米，第三次的相遇点距离B地800米，那么第二次相遇的地点距离B地。

1800 米
| 1 I 800;K
A C D E B
【分析】研究甲乙二人的行为轨迹后容易发现，走路比较快的甲实际是在乙和B地之间做折返跑往复运动。

到达B则折返，遇到乙再折返。

需要注意的是，在〃折返运动模型”中，二人的
“路程和”是个令人舒服的量一一两个全程。

另外本题中乙的方向从未改变，只是从一个相遇点直线到下一个相遇点。

其路程也是比较容易得到的量。

如图中所示C、D E依次为第一次、第二次、第三次的相遇点。

【解】设第二次相遇的地点与B的距离DB为x。

不难发现：
第一次相遇到第二次相遇甲乙二人的路程和为1800 X 2二3600米（其中乙的路程CD二1800咳）；
第二次相遇到第三次相遇甲乙二人的路程和为2x （其中乙的路
程为DE*800）；
由于甲乙的速度从未改变，则乙的路程占甲乙路程和的比例应
该是一定的，从而有:
1800 x x 800
3600 2x
解得x=1200米，
即第二次相遇时两人距B地1200米。

【铺垫】甲乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离。

解：作为多次相遇问题，有必要研究每次相遇时的路程和。

第一次相遇时，两人的路程和为1个全程，其中甲走了4千米。

第二次相遇时，两人的路程和为3个全程，其中甲走了1个全程+3千米。

由于甲乙速度固定不变，第二次相遇时路程和是第一次相遇时路程和的3倍，则甲两次的路程也为3倍关系，从而1个全程=3X 4-3二9千米。

去掉两头距离，两次相遇点距离9- (3+4) 二2千米。

【点评】本题主要应用行程中另一个常见模型：折返运动模型。

折返运动是多次相遇的一种类型，由于隐含了甲乙速度不变的条件，则任意时间段内，不论是甲乙的
路程之比，还是甲与全程之比或者乙与全程之比均保持不变。

甲乙二人的路程和时常为“ 2个全程”。

这是一个经常需要讨论的量。

折返跑模型应熟练掌握。

【例4】A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进.A车停车修理半小时后以原速度的，继续前进，
5
B、C两车行至距离甲市300千米处B车出了事故，
C车照常前进.B车停了半小时后也以原速度的上继
5续前进.结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A 车
早1小时，求甲、乙两市的距离为多少千米？
【分析】此题为典型的多人行程问题，且过程较为复杂，对此有必要对每个人各自的行程轨迹进行单独独立分析。

进而对相关人进行两两分析。

例如本题中，需要首先分析A,B,C各自的过程。

【解】由于故障后的速度统一为原速的彳，若设原速度
5
为5份，则故障速度为4份。

过程分析如下：
C:以5份的速度行驶完全程，第一个到达终点
A:以5份的速度行驶1小时后，停车0.5小时，再以4份的速度
行驶完全程，最后一个到达终点。

B:以5份的速度行驶300千米后，停车0. 5小时，再以4份
【例5】甲、乙两车分别从相距180千米的4 6两地同时出发相向而行，两车在距离A地80千米处相遇，若出发半小时后甲车突然提速50%那么两车恰好在AB的中点相遇，如果出发后20分钟甲车把速度变为原来的一半，那么相遇地点将距
A地千米；
【分析】当两车在距A地80千米处相遇时，甲路程二8。

千米，乙路程二100千米，则甲乙的速度之比二4：5,若甲速度为4份，则乙速度为5份。

【解】甲出发半小时后提速50%眈能与乙车在中点相遇，这说明甲的平均速度应等于乙的速度，而甲原速为4份，提速50%i 到6份，从而整个过程可描述为甲用4份的速度行驶0.5小时后再用6份的速度行驶了x小时，最终平均速度为5份，从而路程二4 0. 5 6x 5 (0.5 x),不难求得x=0. 5 小时，可见相遇时甲乙均用时0. 5+0. 5=1小时，由于行驶路程均
为180十2二90千米，显见乙的速度二90十仁90千米/小
时，则甲的速度应为90-5 X 4=72千米/小时。

在甲乙速度均已求得的情况下来再来分析另一个相遇过程，甲在以72千米/小时的速度行驶20分钟后，把速度降低到一
半，其实就是36千米/小
时，最终与乙相遇，不难求20分钟即1小时后的剩余路程
= 180 (72 90) $二千米,进而求得相遇所需的
3
额外时间二126 (36 90) 1小时，可见整个相遇过程共用时
小时，其中乙的路程二90 1 - 120千米，即相遇地
3 3
点距A地180-120=60千米。

【点评】对“平均速度”的分析是解决本题的钥匙。

【例6】A、B两地相距600千米，甲坐车从A地到B地，2小时后，乙和丙也同时从A地出发前往B地，又过了3个小时，乙追上了甲并继续向前走，到达B地后迅速返回，途中与甲再次相遇时，正好丙也追上了甲.已知丙的速度比甲的速度快9,那么甲的速度是每小时多少千米？
【分析】作为三人行程问题，有必要对各人的行踪进行单独分析，进而两两关联分析。

【解】题目最后提到丙的速度比甲快”即两人速度比为10：
9O
分析知甲丙之间为追及关系，甲提前2小时出发，最后时刻丙追上甲，在这个过程中丙甲时间比为速度比的反比，即为9： 10,
可见甲用时20小时，丙用时18小时，当然此时乙也
走了18小时了。

进而单独分析甲乙之间的关系，一开始也为追及关系，甲出发2 小时后乙出发，并在3小时后追上甲，此处说明二者所用时间
之比为甲：乙二5： 3,从而二者速度之比为3： 5O 乙在追
上甲后继续前进，到达B地后折返并与甲相遇，这是典型的
折返相遇问题，此时二人的路程和为2个全程：600X
2=1200千米，由前知这是甲20小时路程+乙18小时路程。

鉴于二人速度之比为3： 5,乙18小时的路程相当于甲18-3X 5二30小时的路程，从而1200千米相当于甲20+30=50小时的
路程，从而甲的速度二1200十50二24千米/小时。

【点评】此题是对追及问题进行比例法分析的典型应用，另外涉及“折返运动”模型时，对“路程和”的分析应成为条件反射式行为。