12-2-2 几何变换之旋转.讲义教师版
初三专题复习几何变换之旋转辅导讲义
几何变换之旋转【中考剖析：】内容要求考点旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形; 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．图形旋转后求角度、线段关系、长度、周长、面积【专题结构：】一、旋转有关概念1、旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)2、旋转问题应把握三元素：旋转中心、旋转角度和旋转方向．3、旋转的性质：旋转后的图形与原图形是全等的，对应的旋转角度相等．二、中心对称1、中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)三、共顶点旋转模型（证明基本思想SAS）P'Q'QPODCBAO共顶点等边三角形共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形四、旋转前后具有以下性质1、对应线段相等，对应角相等2、对应点位置的排列次序相同3、任意两条对应线段所在的直线夹角都等于旋转角【例题精讲：】 一、对旋转的初步认识【例1】正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆．⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法)⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留)【巩固】在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题．π⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆；⑵在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？【例2】如图所示，ABC ∆是直角三角形，BC 是斜边，将ABP ∆绕点A 逆时针旋转后，能与'ACP ∆重合， 如果2AP =，那么'PP =______．【巩固】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么 'CC =_________．【例3】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒，将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB ∆，连接EF ，下列结论：①AED AEF ∆∆≌； ②ABE ACD ∆∆∽； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是( )A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．D'C'B'D CB A二、大角夹半角模型在大角夹半角模型中比较常见的是90和 45， 120和 60．【例4】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，15=∠EAD ， 30=∠FAB ,=AD 3，求AEF ∆的面积．【巩固】正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上， 45=∠EAF , 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？【例5】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120的等腰ABD ∆拼成，将一个角顶点放在D 处，将 60角绕D 点旋转，该60角两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ．交直线AB 于E 、F 两点，FEDCBA（1）当E 、F 分别在边AB 上时（如图1），求证：MN AN BM =+；【巩固】条件如例5，当E 、F 分别在边BA 的延长线上时如图2，求线段BM 、AN 、MN 之间又有怎样的数量关系?【例6】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．三、等边三角形的“Y ”字型模型【例7】如图，是等边内一点，若，，，求的度数．【巩固】如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,23,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是 ．【例8】如图ABC ∆三边长分别是17BC =，18CA =，19AB =，过ABC ∆内的点P 向ABC ∆三边分别作垂线PD PE PF ，，，且=27BD CE AE ++，求BD BF +的长度．【例9】如图，在凸四边形ABCD 中，30,60ABC ADC ∠=∠=，,AD DC =证明:222BD AB BC =+．P ABC ∆3AP =4PB =5PC =APB ∠PCBADCBA【课后作业：】1、如图，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为433，则这个旋转的角度为多少？2、如图，四边形ABCD 是正方形，F 是BA 延长线上的点，ADF ∆旋转一定角度后得到ABE ∆，如果4AF =，7AB =． ⑴指出旋转中心和旋转角度； ⑵求DE 的长度．3、矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，2AB =，3BC =，则图中阴影部分的面积为_____4、正方形ABCD 中的ABP ∆绕点B 顺时针旋转能与'CBP ∆重合，若4BP =，求点P 所走过的路径长．HA'CAOFEDA5、（2012•珠海）如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45得到正方形'''CD B A （此时，点'B 落在对角线AC 上，点'A 落在CD 的延长线上），''B A 交AD 于点E ，连接'AA 、CE ．求：直线CE 是线段'AA 的垂直平分线．6、如图，四边形ABCD 中， 135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB5BC =6CD =，求AD7、正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分DAC ∠． 求证：EO AD AC-=2．P'DCBA8、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?四、等腰直角三角形的“Y ”字型旋转【例1】如图，P 是正方形ABCD 内一点， 135=∠APB ，2=BP ，1=AP ．求PC 的长．【巩固】如图，在正方形ABCD 内有一点P ，且2=BP ，5=AP ，1=PC ，求BPC ∠度数大小和正方形ABCD 的边长．【例2】在ABC ∆中，90,,A AB AC D ∠==为斜边上任一点，求证：2222BD CD AD +=．【巩固】 D ,E 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上的两点,满足135=∠DAE ,求证：222DE BE CD =+．【例3】四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD ∆和直角CBD ∆，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．【巩固】如图，以ABC Rt ∆的斜边BC 为一边，在ABC ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果4=AB ，7=AO ，求AC 的长．DCBA五、三角形中的费马点【例4】若P 为ABC ∆所在平面上一点，且 120=∠=∠=∠CPA BPC APB ，则点P 叫做ABC ∆的费马点．（1）若点P 为锐角三角形ABC 的费马点，且︒=∠60ABC ，3=PA ，4=PC ，则PB 的值为______，（2）如图，在锐角三角形ABC 外侧作等边三角形'ACB ，连接'BB ，求证：'BB 过ABC ∆的费马点P ，且'BB PC PB PA ++=．【例5】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转︒60得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：AMB ∆≅ENB∆；（2）①当M 点在何处时，CM AM +的值最小；②当M 点在何处时，CM BM AM ++的值最小，并说明理由； （3）当CM BM AM ++的最小值为时，求正方形的边长．【课后作业：】1、如图，P 是正方形ABCD 内一点，a 2=BP ，a AP =，a 3=PC ）（0a >．求：（1）APB ∠的度数．（2）正方形的面积．2、已知：2=PA ，4=PB ，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图，当︒=∠45APB 时，求AB 及PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小．3、已知正方形ABCD 内一点，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 62+,则此正方形的边长为_______．。
初中数学总复习《几何三大变化—旋转》讲义
求：（1）求抛物线的解析式和顶顺时针旋转 ,与直线 交于点N．在直线DN上是否存在点M，使得∠MON= ．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P、Q分别是抛物线 和直线 上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．
长方形AEFG的宽长 将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH(如图2)，这时BD与MN相交于点O．（1）求 的度数； （2）在图2中，求D、N两点间的距离；
（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．
初中数学总复习——几何三大变化——旋转
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。
为4；③ ∠AOB=150°；④ ； ⑤ ．其中
12月21日上课演示文稿2《旋转》
3.将等边△ABC绕着点o按某个方向旋转90 3.将等边△ABC绕着点o按某个方向旋转900后 将等边 绕着点 得到△ 得到△A/B/C
B/ A/
A
C/
B
.0
C
4.将等边△ABC绕着点C按某个方向旋转900 将等边△ABC绕着点C按某个方向旋转90 将等边 绕着点 后得到△ 后得到△A/B/C
， 的长有什么关系？ 与 呢 （4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？ AO=DO，BO=EO ） 与 的长有什么关系
有什么大小关系？ （5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？ ） AOD与 BOE有什么大小关系
∠AOD=∠BOE
旋转对称图形
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后， 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后， 能够与原图重合，这样的图形叫做旋转对称图形 旋转对称图形. 能够与原图重合，这样的图形叫做旋转对称图形 这个定点叫旋转中心 旋转中心。 这个定点叫旋转中心。 （如图）平行四边形绕 如图） 旋转中心O旋转 旋转180°， 旋转中心 旋转 ° 与原图重合. 与原图重合
注意 旋转对称图形是针对一个图形说的 旋转对称图形是针对一个图形说的, 是针对一个图形说的 它表明一个图形的一个重要性质, 它表明一个图形的一个重要性质 要与图形的旋转变换加以别. 要与图形的旋转变换加以别
例题讲解
的位置。 ∆ACE的位置。 的位置 如图,∆ 是等边三角形， 是 上一点 上一点， 例1 :如图 ∆ABC是等边三角形，D是BC上一点， ∆ABD经过 旋转后到达 是等边三角形 经过 （1）旋转中心是哪一点？ ）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ ）旋转了多少度？ 的中点， 转到了什么位置？ （3）如果 是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ ）如果M是 的中点 那么经过上述旋转后， 转到了什么位置 (4)AD与AE的关系如何? (4)AD与AE的关系如何? 的关系如何 DAE的为多少度 的为多少度? (5) ∠DAE的为多少度?
初中数学旋转变换讲解教案
初中数学旋转变换讲解教案教学目标：1. 理解旋转变换的概念和性质；2. 学会运用旋转变换解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 旋转变换的概念和性质；2. 旋转变换的应用。
教学难点：1. 旋转变换的理解和运用。
教学准备：1. 课件或黑板；2. 几何图形和模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平移变换的概念和性质；2. 提问：除了平移变换，还有其他的变换吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解旋转变换的概念：旋转变换是指将一个图形绕着某一点转动一个角度的变换；2. 讲解旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置和方向；3. 举例说明旋转变换的应用：如将一个正方形绕着其中心旋转90度，得到的是另一个正方形；4. 引导学生进行实际操作，观察旋转变换的效果。
三、课堂练习（10分钟）1. 给出一些图形，让学生运用旋转变换将其转换成其他图形；2. 让学生运用旋转变换解决实际问题，如将一个建筑物的平面图旋转一定角度，得到的是建筑物的正视图或侧视图。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结旋转变换的概念和性质；2. 提问：旋转变换和平移变换有什么区别和联系？；3. 拓展：旋转变换在实际生活中的应用，如电影特效、机器人运动等。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了旋转变换的概念和性质，并能运用旋转变换解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生进行实际操作，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
同时，通过提问和拓展，激发学生的学习兴趣和思考能力。
但在教学过程中，要注意旋转变换和平移变换的区别和联系，避免学生混淆。
旋转(公开课课件)
xx年xx月xx日
目录
• 旋转的基本概念 • 旋转的数学模型 • 旋转的实现方式 • 旋转的算法与优化 • 旋转的实例展示 • 总结与展望
01
旋转的基本概念
旋转的定义
旋转是图形变换的一种重要方法，它是指将一个图形绕着某 一点旋转一定的角度，得到新的图形。
旋转的实质是图形中每一点都绕着旋转中心作圆周运动，旋 转中心是固定的，而旋转角度可以不同。
插值算法
当需要旋转的图像角度不是整数时，可以使用插值算法。例如，使用双线性插值或双三次 插值算法，可以更平滑地旋转图像。
抗锯齿技术
为了避免旋转图像时出现锯齿状边缘，可以使用抗锯齿技术。常见的抗锯齿技术包括 MSAA（多重采样抗锯齿）和SSAA（超级采样抗锯齿）。
3D物体旋转
01
欧拉角
欧拉角是描述物体在三维空间中旋转的常用方法。通过指定绕三个轴
自然界中的旋转现象
风车
风车是一种利用风能驱动旋转的装置，它通常用于发电或灌溉等 用途。
地球的自转
地球自转是指地球围绕自己的轴线旋转一圈所需的时间，地球的 自转周期约为24小时。
星体的旋转
星体旋转是指星体围绕自己的轴线旋转一圈所需的时间，星体旋转 周期因星体类型和大小而异。
06
总结与展望
旋转的意义与价值
插值算法是一种通过已知的数据点来估计新数据点的值的算法。在旋转效果 中，可以利用插值算法来平滑地过渡旋转角度的变化，从而获得更自然的旋 转效果。
05
旋转的实例展示
游戏中的旋转
旋转木马
旋转木马是游戏中最常见的旋转之一，它通过机械装置驱动马 匹或座位绕圆心旋转。
摩天轮
摩天轮是一种大型的旋转游乐设施，它由一系列的吊舱组成， 每个吊舱可以容纳一定数量的游客。
旋转(公开课课件)
02
旋转的分类
按旋转轴分类
绕固定点旋转
旋转围绕一个固定的点进行，所有的点都围绕这个点转动。
绕物体中心旋转
旋转围绕物体的中心进行，物体整体围绕这个中心转动。
绕物体表面某点旋转
旋转围绕物体表面的一点进行，使物体表面的点相对于这一点转动 。
按旋转方向分类
01
02
03
顺时针旋转
按照时针方向转动，即从 左向右或从上向下。
四元数的乘法
两个四元数相乘，可以得到一个新的四元数。
四元数的应用
四元数可以用于计算机图形学、机器人学等领域 ，特别是在处理一些需要避免欧拉角的问题时。
利用3D图形软件实现旋转
3D图形软件的介绍
常见的3D图形软件有Blender、Maya、3ds Max等，它们提供了 丰富的工具和功能，可以方便地实现物体的旋转操作。
稳定性问题
在旋转过程中，由于受到摩擦、空气阻力等因素的影响，旋转的稳定性 会受到影响。保持旋转的稳定性是旋转中的一个重要挑战。
03
稳定性分析
为了解决旋转稳定性问题，需要对旋转过程进行详细的分析，包括对各
种影响因素的识别和控制，以及建立相应的数学模型进行模拟和预测。
旋转中的优化问题
优化目标
在旋转过程中，需要追求的目标包括旋转速度、旋转精度 、旋转稳定性等。这些目标之间存在相互制约的关系，需 要进行综合考虑和优化。
定义
将旋转看作是三个基本旋转的复 合，这三个旋转分别绕着三个不 同的轴（x轴、y轴、z轴）旋转。
优点
直观易懂，在计算机图形学中应用 广泛。
缺点
存在万向节锁问题，即当旋转角度 为π的整数倍时，无法准确表示旋转 。
旋转矩阵模型
旋转课堂讲义
旋转讲义⑴平移、旋转、轴对称学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致，主要都是研究变换过程中的不变量，是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同，故变换前后具有⑵旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°)，满足旋转的性质，由旋转的性质可以得到中心对称与轴对称的关系. 作点A 关于x 轴的对称点B ，作点B 关于y 轴的对称点C ，则点A 与点C 关于原点对称.由此可知，将一点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点 关于原点的对称点. ⑷两个图形成中心对称与中心对称图形1、利用旋转的性质确定一个旋转变换的旋转中心、旋转角，探索图形之间的变换关系. 例1、如图1，ΔACB 与ΔADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE 都是直角，点C 在AE上，如果ΔACB 经逆时针旋转后能与ΔADE 重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？图1 图2例2、(2006四川眉山)数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°； 乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同 学的回答中，错误的是（ ）A ．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△DEF 为等边三角形，AB=DE ，点B 、C 、D在x 轴上，点A 、E 、F 在y 轴上，下面判断正确的是（ ）A ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到的B ．△DEF 是△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到的C ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转60°得到的D ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转120°得到的例4、以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°得到的图形是（ ）2、利用旋转、中心对称的性质作图.例5、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上 (每个小方格的顶点叫格点).画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 1B 1C 1，并求AA 1的长.例6、(2007江苏扬州)如图，△ABC 中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC 向右平移4个单位长度，画出平移后的△A 1B 1⑵画出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2；⑶画出△ABC 关于原点O 对称的△A 3B 3C 3；⑷在△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐 标是______．A B C D 图1例7、如图，△A ’B ’C ’是△ABC 旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.例8、如图，已知△ABC 与△DEF 关于某一点对称，作出对称中心.3、中心对称图形的概念.例9、下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A.菱形B.等腰梯形C.等边三角形D.等腰直角三角形例10、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．例11、如图是44 正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．例12、已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.D4、综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计.例13、请用4块图1中的图形设计一个中心对称图形，把设计的图形画在下面10×10的方格中．（要求：以点O 为对称中心）5、利用图形变换的性质进行计算或证明.例14、(2007江苏扬州)用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 °．例15、(2007山东日照)如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积 等于 ．例16、(2007四川成都)如图，将一块斜边长为12cm ，∠B=60°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°至△A ’B ’C ’ 的位置，再沿CB 向右平移，使点B ’刚好落在斜边AB 上， 那么此三角板向右平移的距离是 cm ．例17、(2007浙江义乌)如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3 ~ 图6中统一用F 表示）（图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.A ’ C(C ’)A B C D E F图1⑴将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；⑶将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH=DH（图4） （图5） （图6）6、运用图形变换的思想解决问题.例18．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC为边作等边△DCE ．B 、E 在C 、D 的同侧，若AB ＝2，则BE ＝ 1 ．例19、如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD ，DP ⊥AB 于P ，若四边形ABCD 的面积是16，求DP 的长.例20、(2007朝阳一模)已知：如图①，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中DF=DB ，连接AF 、CD ．⑴观察图形，猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明； ⑵将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑶在上述旋转过程中，AF 、CD 所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．CBADEF CB DP A例21、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90°到DE 位置，连结AE ，则AE 的长为 .例22、如图，设P 是等边三角形ABC 内一点，PB=3，PA=4，PC=5，求∠APB 的度数.例23、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD=CD. 求证：BD 2=AB 2+BC 2.图①图②DAB EBCP AABD例24、如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=900，E 、F 是BC 边上点，且∠EAF=45°.求证：222EF CF BE =+例25、(2007朝阳二模)已知：如图1，Rt ∆ABC 中，∠ACB=90°， D 为AB 中点，DE 、DF分别交AC 于E,交BC 于F ，且DE ⊥DF. ⑴如果CA=CB ，求证：AE 2+BF 2=EF 2；⑵如图2，如果CA<CB ，⑴中结论AE 2+BF 2=EF 2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．例26、(2006黑龙江)已知∠AOB=90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB （或它们的反向延长线）相交于点D 、E. 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC. 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给与证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.ACB F E例27、(2007北京)在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为(11)，．将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．⑴如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．例28、如图，已知△ABC．⑴请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB+AC>AD+AE．AC例29、如图，△ABC中，∠ACB＝100°，∠CAB＝30°，P是△ABC内一点，且∠PAB＝20°，∠PCA＝40°，求∠PBA的度数。
2024年公开课《旋转》1完整课件
2024年公开课《旋转》1 完整课件一、教学内容本节课选自数学教材第八章《几何变换》中的第三节“旋转”。
详细内容包括旋转的定义、性质、图形旋转的作法及其应用。
重点讨论点、线、面的旋转规律，并探索旋转对称图形的特点。
二、教学目标1. 理解旋转的定义，掌握图形旋转的基本方法。
2. 能够运用旋转性质解决实际问题，提高空间想象力和创新能力。
3. 培养学生的观察能力和团队协作能力，激发学生对几何变换的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：图形旋转的作法，旋转对称图形的识别。
教学重点：旋转的定义、性质及其应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、旋转演示模型、三角板、量角器。
学具：直尺、圆规、三角板、量角器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的旋转现象，如风车、地球自转等，引发学生对旋转的兴趣。
2. 基本概念：讲解旋转的定义，介绍旋转中心、旋转角、旋转方向等基本概念。
3. 例题讲解：讲解旋转的基本方法，演示如何将一个点、一条线、一个面进行旋转。
4. 随堂练习：让学生分组讨论，完成教材第61页的练习题1、2、3。
5. 知识拓展：介绍旋转对称图形，引导学生观察和发现旋转对称图形的特点。
6. 应用环节：运用旋转性质解决实际问题，如设计旋转门、旋转楼梯等。
六、板书设计1. 旋转的定义、性质、旋转中心、旋转角、旋转方向。
2. 图形旋转的作法步骤。
3. 旋转对称图形的特点。
七、作业设计1. 作业题目：（1）完成教材第61页的练习题4、5。
（2）设计一个旋转对称的图案，并说明其旋转对称性质。
2. 答案：（1）见教材第61页答案。
（2）略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对旋转的概念和性质掌握较好，但在图形旋转的作法上还存在一定难度，需要在下节课加强练习。
2. 拓展延伸：让学生课后收集生活中的旋转现象，探讨旋转在建筑、艺术等方面的应用，激发学生的创新意识。
重点和难点解析1. 教学难点：图形旋转的作法，旋转对称图形的识别。
初中九年级课程教案：几何图形的旋转与变换
初中九年级课程教案：几何图形的旋转与变换几何图形的旋转与变换一、引言几何图形的旋转与变换是初中九年级数学课程中的重要内容之一。
通过学习几何图形的旋转与变换，学生可以更好地理解几何图形的性质和特点，并在实际应用中灵活运用。
本教案旨在帮助学生通过教师的引导和课堂互动，掌握几何图形的旋转与变换的基本概念、规律和方法。
二、几何图形的旋转1. 旋转的概念旋转是指通过固定某一点，将图形按照一定角度绕着这个点进行旋转的操作。
学生首先需要理解旋转的基本概念，从而为后续学习奠定基础。
2. 旋转的规律在学习旋转的过程中，学生需要了解旋转的规律，包括旋转角度与旋转后图形的位置关系、旋转方向等。
通过具体的实例分析和讨论，引导学生探索旋转的规律，深入理解旋转操作的特点和效果。
3. 旋转的应用将学生所学的旋转概念和规律应用于实际问题中，如旋转对称图形的性质、旋转后的面积和周长的变化等。
通过实际例题和解题过程的指导，激发学生的思维能力和问题解决能力，培养他们的应用能力和创新意识。
三、几何图形的变换1. 平移变换平移是指通过沿着某一方向将图形整体移动一个固定的距离，而保持图形的形状和大小不变。
学生需要了解平移变换的基本概念和规律，并能够运用平移变换解决具体问题。
2. 翻转变换翻转是指将图形沿着一条直线进行镜像对称的操作。
学生需要理解翻转变换的概念和规律，掌握翻转变换的方法和技巧，并能将其应用于解决计算和证明问题。
3. 缩放变换缩放是指通过改变图形的大小，使得图形与原来相似但不全等的操作。
学生需要掌握缩放变换的基本概念和规律，理解缩放比例和相似性的关系，并能运用缩放变换解决相应的问题。
四、几何图形旋转与变换的综合应用1. 综合应用训练在课堂中设置综合应用训练的环节，通过多种旋转与变换的组合运用，提高学生的综合应用能力和解决问题的能力。
教师可以设计一些有趣的应用题，引导学生找到合适的旋转与变换方法来解决问题。
2. 创新设计活动创新设计活动是培养学生创造力和动手能力的重要环节。
初二数学.秋.直升班.教师版.第2讲 几何变换之旋转(二)
一、“Y ”字型旋转：模型I ：等边三角形的“Y ”字型旋转 因为在旋转角为60︒的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个正三角形的三个顶点，这样，对于条件中含有正三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为60︒的旋转变换处理．旋转中心可以选取正三角形的某个顶点．BP'P CABC'P PAA BCP'P模型II ：等腰直角三角形的“Y ”字型旋转 因为在旋转角为90︒的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个等腰直角角形的三个顶点，这样，对于条件中含有等腰直角三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为90︒的旋转变换处理．旋转中心通常选取等腰直角三角形的直角顶点．二、三角形中的费马点：1．定义：在一个四边形内找一个点，使得这个点到四边形四个点的距离和最小，这个点即为四边形两条对角线的交点．在一个三角形内找一个点，使得这个点到三角形三个点的距离和最小，这个点我们称为三角形中的费马点．A BC P A BCP''P ABCP''P2．性质：（1）费马点到三角形的三个顶点的距离和最小；（2）费马点对应三边的三个张角都相等，且为120 ．等边三角形的“Y”字型旋转内“Y”AB CPAB CPAB CPAB CPAB CPAB CP线“Y”AB CPAB CP外“Y”AB CPAB CPAB CPAB CPAB CPAB CP模块一“Y”字型旋转等腰直角三角形的“Y ”字型旋转内“Y ”A B CPAB CP线“Y ”A B CPA B CP外“Y ”A BCPA BCPABCP（1）如图2-1，P 是等边ABC △内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC △的边长．（2）如图2-2，在等边ABC △中，P 为BC 边上一点，则以AP 、BP 、CP 为边组成的新三角形的最大内角为θ，则θ为多少度？（3）如图2-3，ABD △是等边三角形，在ABC △中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？AB C PA B P CA CBD图2-1 图2-2 图2-3（1）将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AQB △． 连接PQ ，则AQB APC ∠=∠，60PAQ ∠=︒，4AQ AP ==，3QB PC ==，故APQ △是等边三角形， 从而60AQP ∠=︒，4PQ AP ==．在PQB △中，4PQ =，3QB =，5PB =， 故90PQB ∠=︒，150APC AQB AQP PQB ∠=∠=∠+∠=︒． 过点C 作CD AP ⊥，交AP 的延长线于点D ，则30CPD ∠=︒，1322CD PC ==，22332PD PC CD =-=．因此，在Rt ACD △中，222233(43)()2512322AC AD CD =+=++=+． （2）120︒；（3）我们通过旋转设法将a 、b 、CD 集中到一个三角形中． 将BCD △绕点D 逆时针旋转60︒，得到AED △．连接EC ，则由旋转的性质可知CD ED =， f 60CDE ∠=︒，故CDE △是等边三角形，则CE DE CD ==．而AC b =，AE BC a ==，故CE AC AE a b +=+≤．当且仅当A 、C 、E 三点共线时等号成立， 即180EAD CAD ∠+∠=︒． 此时180CAD CBD ∠+∠=︒，180120ACB ADB ∠=︒-∠=︒．因此，当120ACB ∠=︒时，CD 最大，最大值为a b +．（1）如图3-1，在正方形ABCD 内有一点P ，且5PA =，2PB =，1PC =．求BPC ∠度数的大小和正方形ABCD 的边长．（2）如图3-2，已知在ABC △中，AB AC =，90BAC =︒∠，点D 是BC 上的任意一点，探究：BD ，CD 与AD 的关系，并证明你的结论．（3）如图3-3，四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD △和直角CBD △，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．DQPE A B CDEP'PDCBA EDC B APDC BAABC DABC D图3-1 图3-2 图3-3（1）如图，将BPC △绕点B 逆时针旋转90°，得BP A '△，则BPC BP A '△≌△． ∴1AP PC '==，2BP BP '=='90P BP ∠=︒．连接PP '，在Rt BP P '△中，∵2BP BP '=90PBP '∠=°， ∴2PP '=，45BP P '∠=°．在AP P '△中，1AP '=，2PP '=，5AP∵22212(5)+=，即222AP PP AP ''+=．∴AP P '△是直角三角形，即90AP P '∠=°． ∴135AP B '∠=°．∴135BPC AP B '∠=∠=°．过点B 作BE AP '⊥交AP '的延长线于点E ． ∴45EP B '∠=°．∴1EP BE '==．∴2AE =． ∴在Rt ABE △中，由勾股定理，得5AB∴135BPC ∠=°5．（2）探究得到的关系为：2222BD CD AD +=．证明：以AC 为边向三角形外作EAC DAB =∠∠，且AE AD =，连接DE 、CE ．在ABD △和ACE △中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴ABD ACE △≌△，∴BD CE =，ABC ACE =∠∠ ∵90BAD CAD +=︒∠∠，又∵BAD CAE =∠∠∴90CAE CAD +=︒∠∠即90DAE ∠=︒，同理90DCE =︒∠∴222ED AD AE =+，222ED CD CE =+，∴2222AD AE CD CE +=+∴AE AD =，CE BD =，∴2222AD AD CD BD +=+，即2222AD CD BD =+．（3）将三角形ABC 绕A 点逆时针旋转90︒，使B 与D 重合，C 到'C 点．则有''180CDC ADC ADC ADC ABC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，所以C ，D ，'C 在同一条直线上，又因为'AC AC =． 所以'ACC △是等腰直角三角形．又四边形ABCD 的面积等于等腰直角'ACC △． 的面积．'2222ABCD ACC S S ==⨯÷=△四边形．D CB A如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，以AD 为边向外作Rt ADE △，90AED ∠=︒，连接OE ，6DE =，82OE =，求AE 的长．AEBC DOAEBCDOF将AOE △绕点O 顺时针旋转90︒，使OA 和OD 重合，得到DOF △， 则可得82OF OE ==，90EOF ∠=︒，点E 、O 、F 三点共线，∴16EF =，10DF =，10AE DF ==．如图，以Rt ABC △的斜边BC 为一边在ABC △同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果4AB =，62AO =，求AC 的长．B FC A OE BF CAOE M在AC 上截取CM AB =，连接OM ，可证ABO MCO △≌△， ∴COM BOA ∠=∠，∴90AOM BOC ∠=∠=︒， ∵62AO MO ==， ∴12AM =，∴12416AC AM MC =+=+=．若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则点P 叫做ABC △的费马点．如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB '△连接BB '．求证：BB '过ABC △的费马点P ，且'BB PA PB PC =++．B'CBAEPCB'BA在BB '上取点P ，使120BPC ∠=︒，连接AP ，再在PB '上截取PE PC =，连接CE ． ∵120BPC ∠=︒，∴60EPC ∠=︒，∴PCE △为正三角形， ∴PC CE =，60PCE ∠=︒，120CEB '∠=︒，∵ACB '△为正三角形，∴AC B C '=，60ACB '∠=︒， ∴60PCA ACE ACE ECB '∠+∠=∠+∠=︒ ∴PCA ECB '∠=∠，ACP B CE '△≌△．∴120APC B EC '∠=∠=︒，PA EB '=，∴120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒， ∴P 为ABC △的费马点，∴BB '过ABC △的费马点P ， 且BB EB PB PE PA PB PC ''=++=++．如图，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：AMB ENB △≌△；（2）①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； （3）当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．ENM BCDAA DC BFEN M模块二 三角形中的费马点（1）证明：∵ABE △是等边三角形，∴=BA BE ，60∠=︒ABE ． ∵60∠=︒MBN ，∴∠-∠=∠-∠MBN ABN ABE ABN ．即∠=∠MBA NBE ．又∵=MB NB ，∴SAS （）AMB ENB △≌△．（2）①当M 点落在BD 的中点时，、、A M C 三点共线，+AM CM 的值最小． ②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，++AM BM CM 的值最小． 理由如下：连接MN ，由（1）知，AMB ENB △≌△，∴=AM EN ，∵60∠=︒=，MBN MB NB ，∴BMN △是等边三角形．∴=BM MN ． ∴++=++AM BM CM EN MN CM ． 根据“两点之间线段最短”，得++=EN MN CM EC 最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，++AM BM CM 的值最小，即等于EC 的长． （3）过E 点作⊥EF BC 交CB 的延长线于F ， ∴906030∠=∠-∠=︒-︒=︒EBF ABF ABE ．设正方形的边长为x ，则=BF 32x ，=EF 2x ．在Rt EFC △中，∵222+=EF FC EC ，∴()2223=3122⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x解得，1=2x ，2=2-x （舍去负值）．∴正方形的边长为2．（金牛区期末）如图，矩形纸片ABCD ()AD AB >中，将它折叠，使点A 与C 重合，在矩形ABCD 中，600AB =，1000BC =，P 是内部一点，Q 是BC 边上任意一点，试确定点P 、Q 的位置，使得PA PD PQ ++最小，并求出这个最小值．DCBAPQEDCBAP'H PQ点Q 是BC 边的中点，点P 在AD 的中垂线上且满足120ADP ∠=︒． 最小值为6005003+．如图，ABC △为等边三角形，以AB 为对角线作矩形ADBE ，点E 在ABC △内部，连接EC ，若150BEC =︒∠，1EC =，则ABC △的边长为_______．7．已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长．PD ABC PD A B C EPDABC'P图1 图2如图1，过点A 作AE PB ⊥于点E ．∵45APB =︒∠，∴APE △是等腰直角三角形． ∵2PA =，4PB =，∴1AE PE ==，3BE =，∴2210AB AE BE =+=.如图2，将APD △绕点A 顺时针旋转90︒至'APB △，连接'P P ，则APP '△是等腰直角三角形．∵2PA =，∴2PP '=，∵45APB =︒∠， ∴90BPP '=︒∠，∴BPP '△是直角三角形 ∴22222425BP PP BP ''=+=+=显然，APD AP B '△≌△，∴25PD BP '==．模块一 “Y ”字型旋转DAEBC如图所示，在四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，证明：BC +DC AC =．（思想：以D 为旋转中心将ACD △旋转60︒到BED △）如图所示，延长BC 至E ，使CE CD =．连接DE ，由120BCD ∠=︒可知60DCE ∠=︒， 又由CE CD =可知CDE △为等边三角形，即有DE CD CE ==，60CDE ∠=︒． 又因AB AD =，60BAD ∠=︒，连接BD ，可知ABD △为等边三角形，即AB AD BD ==，60BDA ∠=︒．在ACD △和BED △中，由ADB CDE ∠=∠可得： ADC ADB BDC CDE BDC BDE ∠=∠+∠=∠+∠=∠． 而AD BD =，CD DE =，故ACD BED △≌△．于是AC BE BC CE BC CD ==+=+，即BC DC AC +=．已知O 是ABC △内一点，120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒；P 是ABC △内任一点，求证：PA PB PC OA OB OC ++++≥．（O 为费马点）POC BAC'O'P'POC BA以B 为旋转中心，60︒为旋转角，将点P 、O 、C 分别旋转到点P '、O '、C '，连接'OO 、'PP ．则'BOO △、'BPP △都是正三角形．∴'OO OB =，'PP PB =．显然BO C BOC ''△≌△，''BP C BPC △≌△． 由于''120180'BO C BOC BO O ∠=∠=︒=︒-∠，∴''A O O C ，，、四点共线． ∴'''''''AP PP P C AC AO OO O C ++≥=++，即PA PB PC OA OB OC ++≥++．模块二 三角形中的费马点A B DCAB DCE已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为26+，求此正方形的边长．如图，连接AC ，把AEC △绕点C 顺时针旋转60︒，得到GFC △，连接EF 、BG 、AG ，GADB C EO F 可知EFC △、AGC △都是等边三角形，则EF CE =． 又FG AE =，∴AE BE CE BE EF FG ++=++∵点B 、点G 为定点（G 为点A 绕C 点顺时针旋转60︒所得）．∴线段BG 即为点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值，此时E 、F 两点都在BG 上．设正方形的边长为a ，那么22BO CO a ==，2GC a =，62GO a =．∴2622BG BO GO a a =+=+．∵点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为26+．∴262622a a +=+，解得2a =．。
12-2-2 几何变换之旋转.讲义教师版
内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计．一、旋转有关概念旋转：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)P'Q'Q PO注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．⑵每一组对应点所构成的旋转角相等． 旋转的性质：①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角) ②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形)③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形) 旋转作图的基本步骤：由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件： ⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度． 具体步骤分以下几步：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点．中考要求例题精讲几何变换之旋转二、中心对称中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)DCBAO注意：⑴两个图形成中心对称是旋转角为定角(180︒)的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．⑵中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 中心对称的特征：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称． 中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．(如图⑶)DCBAO中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形． 关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称． 中心对称图形与旋转对称图形的比较：中心对称图形与轴对称图形比较：板块一中心对称【例1】下列图不是中心对称图形的是( )①②③④A．①③B．②④C．②③D．①④【考点】中心对称和中心对称图形【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】根据中心对称图形的定义判定，【答案】D【巩固】下列图形中，绕某个点旋转180︒能与自身重合的有( )①正方形②长方形③等边三角形④线段⑤角A．5个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】中心对称和中心对称图形【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】根据中心对称图形的定义，三角形都不符合，所以③不是，⑤也不是，所以有①②④．【答案】C【例2】在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有()AH I NEA．2个B．3个C．4个D．5个【考点】几何变换综合【难度】1星【题型】选择【关键词】2009年，天津【解析】B【例3】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】几何变换综合【难度】2星【题型】选择【关键词】2009内蒙古包头【解析】略【答案】B【例4】在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是()①中心对称②旋转③轴对称④平移A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】几何变换综合【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】D版块二旋转作图【例5】图中的“笑脸”是图⑴逆时针旋转90︒形成的是( )(1)A B C D【考点】图形的旋转【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】由旋转的概念可知选择C【答案】C【例6】请在下列网格图中画出所给图形绕点O顺时针依次旋转900︒、1800︒、2700︒后所成的图形．(注意：有阴影部分图形旋转后的对应图形要涂上阴影．不要求写画法)【考点】图形的旋转 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】在方格纸上旋转90︒，实际上就是找出某些直线的垂线，先选几个关键点，找出这几个关键点与旋转中心连线的垂线，再由线段相等找出它们的对应点．【答案】【例7】 正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆．⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法) ⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留π)【考点】图形的旋转 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】⑴作图如下：⑵线段BC 所扫过的图形如图所示．根据网格图知：4AB =，3BC =，所以5AC =．线段BC 所扫过的图形的面积()22219ππ(cm )44S AC AB =-=【答案】（1）（2）29π(cm )4【例8】 如图，画出ABC ∆绕点O 顺时针旋转100︒所得到的图形．C BAO【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】首先确定旋转中心是O ，旋转方向是顺时针，旋转角度是100︒，连接OA 旋转作图确定'A ，同理得到'B ，'C ．【答案】如图：C'B'A'C BAO【巩固】 如图，作出ABC ∆绕旋转中心A ，逆时针旋转75︒，得到的图形．CBA【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】根据旋转的定义，把线段AB 绕点A 逆时针旋转75︒，得到D ，同法得到E ，连结AD ，AE ，DE ，得ADE ∆．【答案】如图EDCBA【例9】 如图，已知ABC ∆绕某一点逆时针转动一个角度．得到旋转后的'''A B C ∆，其中A 、B 、C 的对应点分别是'A 、'B 、'C ．试确定旋转中心O ．C BAC‘B’A‘【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】因为旋转前后两个图形上的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，所以旋转中心O 到A 、'A 的距离相等，即'OA OA =，同样'OB OB =，'OC OC =，而到两点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点O 在线段'AA 的垂直平分线上，同时又在线段'BB 、'CC 的垂直平分线上，所以只要作出线段'AA 、'BB 的垂直平分线，确定其交点即得到旋转中心．【答案】如图A板块三 旋转的性质及相关计算【例10】 D 是等腰Rt ABC ∆内一点，BC 是斜边，如果将ABD ∆绕点A 逆时针方向旋转到'ACD ∆的度数是( )A ． 25︒B ．30︒C ．35︒D ．45︒D'DCBA【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】∵A 为旋转中心，'D 是D 点的对应点，∴'D A DA =，且旋转角'90D AD CAB ∠=∠=︒，∴'D AD ∆是等腰直角三角形，故选D ．【答案】D【例11】 如图，P 是正ABC ∆内的一点，若将PBC ∆绕点B 旋转到P BA '∆，则PBP '∠的度数是( )A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒P 'ABCP【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009四川泸州市中考 【解析】略【答案】B【例12】 如图，把ABC ∆绕点C 顺时针旋转35︒，得到'''A B C ∆，''A B 交AC 于点D ，若'90AD C ∠=︒，则A ∠度数为( )A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒DB'A'CB A【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】由旋转角的概念知''35A CD B BC ∠=∠=︒，又因为'90A DC ∠=︒，所以在三角形'A DC ∆中，55A ∠=︒． 【答案】B ．【巩固】 ABC ∆中，108ACB ∠=︒，将它绕着C 逆时针旋转30︒后得到''A B C ∆，则'ACB ∠的度数是多少？B'A'CBA【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】∵'30ACA ∠=︒，由旋转知'30BCB ∠=︒，又∵108ACB ∠=︒，∴'138ACB ∠=︒．【答案】138︒【例13】 矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，2AB =，3BC =，则图中阴影部分的面积为_____FA【考点】中心对称和中心对称图形 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】矩形为中心对称图形，O 为对称中心，E 与F ，D 与B 是两组对应点，∴EOD ∆与FOB ∆关于点O 对称，∴这两个三角形面积相等，阴影部分面积为3．【答案】3【例14】 如图所示，ABC ∆是直角三角形，BC 是斜边，将ABP ∆绕点A 逆时针旋转后，能与'ACP ∆重合，如果2AP =，那么'PP =______．【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】又旋转知'AP AP =，'BAP CAP ∠=∠，所以'90PAP ∠=︒，所以'APP ∆是等腰直角三角形，所以'PP =【答案】【例15】 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么'CC =_________．D'C'B'D CB A【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】由旋转的概念知'AC AC =，由22CD DA ==知AC =，所以勾股定理得'5CC = 【答案】5【巩固】 正方形ABCD 中的ABP ∆绕点B 顺时针旋转能与'CBP ∆重合，若4BP =，求点P 所走过的路径长．P'DCBA【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】由旋转得'ABP CBP ∆∆≌，∴'ABP CBP ∠=∠，'4BP BP ==，∴点P 的路径为2π． 【答案】2π【例16】 如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒，将AD C ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB ∆，连接EF ，下列结论： ①AED AEF ∆∆≌； ②ABE ACD ∆∆∽； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是( )A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．FEDCBA【考点】图形的旋转，旋转类全等问题 【难度】4星 【题型】选择 【关键词】【解析】由旋转得AFB ADC ∆≅∆，所以AF AD =，又因为45DAE ∠=︒，90BAC ∠=︒，所以45FAE ∠=︒，得到AED AEF ∆∆≌，①成立，②不成立， ∵FBE ∆是直角三角形，所以④成立，所以①④成立，选择B ．【答案】B【例17】 如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为 ．【考点】图形的旋转 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】将最里面圆的阴影部分按顺时针旋转180︒，再把第二层的阴影部分顺时针旋转90︒后，与最外层的阴影部分组成了一个四分之一的圆的面积，即如右上图，所以图中阴影部分的面积为：211ππ44r =．【答案】1π4【例18】 中央电视台大风车栏目图标如图甲，其中心为O ，半圆ACB 固定，其半径为2r ，车轮为中心对称图形，轮片也是半圆形，小红通过观察发现车轮旋转过程中留在半圆ACB 内的轮片面积是不变的(如图乙)，这个不变的面积值是___________．（甲）BA（乙）BA【考点】中心对称和中心对称图形 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】【解析】由车轮为中心对称图形可知，所以车轮无论怎样旋转，留在半圆内的轮片这个不变的面积值为两个半圆(阴影部分)的面积的和，而这两个半圆的半径是r ，即它的面积为2πr ．【答案】2πr【例19】 如图，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个AA【考点】图形的旋转 【难度】3星 【题型】解答【关键词】 【解析】连结BH ．由旋转可知，Rt 'Rt BA H BCH ∆∆≌，又∵12BCH S ∆=1BC HC ⋅． 又2BC =，∴HC =．由勾股定理得222416243BH =+=+=，BH =在Rt BCH ∆中，HC BH ==， ∴30HBC ∠=︒．∴'60A BC ∠=︒，'30ABA ∠=︒．∴这个旋转角为30︒．【答案】30︒【例20】 ⑴如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求AEB ∠的大小．⑵如图2，OAB ∆固定不动，保持COD ∆的形状和大小不变，将COD ∆绕着点O 逆时针旋转15︒，求AEB ∠的大小．图1ABCDEO 图2ABCDEO【考点】图形的旋转 【难度】3星 【题型】解答【关键词】08广东省中考题改编【解析】如图3和4，123423120∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒∵，60AEB ∠=︒∴．1234O EDCB A图3图41234OEDCB A【例21】 如图，王虎使一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)木板上点A 位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30︒角，则点A 翻滚到2A 位置时共走过的路径长( )A ．10cmB ．4πcmC ．7πcm 2 D ．5cm 2【考点】图形的旋转 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】【解析】由题意得知，在旋转的过程中，由12A A A →→到所走过的路径是圆弧，不是线段，所以排除A 答案和D 答案，连结AB ，1A B ，2A C ，1A C ，则190ABA ∠=︒，1260ACA ∠=︒，由弧长公式π1180n r=得7πcm 2． 【答案】7πcm 2【例22】 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，⑴ 如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为___________；⑵ 当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是____________(α为锐角时)； ⑶ 如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG CG =时，求点G 的坐标； ⑷ 如图③，当旋转角90α=︒时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图①图②图③【考点】图形的旋转，勾股定理 【难度】3星 【题型】解答【关键词】09朝阳初三上期末 【解析】略【答案】⑴(4，；⑵ 60︒；⑶ 设CG x =，则6EG x FG x ==-，，在Rt CFG ∆中，222CF FG CG +=，即()22246x x +-=，解得133x =，即133CG =． ⑷ 设以C 为顶点的抛物线的解析式为()24y a x =-， 把()06A ，代入，得()2604a =-，解得38a =， ∴抛物线的解析式为()2348y x =-． ∵矩形EDCF 的对称中心H 即为对角线FD CE 、的交点， ∴()72H ，， 当7x =时，()232774288y =-=≠， ∴点H 不在此抛物线上．1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【考点】几何变换综合 【难度】1星 【题型】选择【关键词】09黑龙江哈尔滨 【解析】D【答案】D2. 在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题．⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆；课后练习。
2024年旋转完整版公开课件
2024年旋转完整版公开课件一、教学内容本节课我们将探讨《几何学》第四章第二节“旋转”的详细内容。
内容包括旋转的定义、性质、应用，以及旋转与全等图形的关系。
具体章节内容包括：1. 旋转的定义及基本性质2. 旋转的矩阵表示3. 旋转在实际问题中的应用4. 旋转与全等图形的关系二、教学目标1. 理解旋转的定义，掌握旋转的基本性质。
2. 学会使用矩阵表示旋转，并能解决实际问题。
3. 能够运用旋转性质分析并解决几何问题。
三、教学难点与重点教学难点：旋转的矩阵表示及其应用。
教学重点：旋转的定义、性质以及旋转与全等图形的关系。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、旋转演示仪。
2. 学具：直尺、圆规、量角器、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过观察生活中的旋转现象，如旋转门、风车等，引出本节课的主题。
2. 例题讲解：（1）讲解旋转的定义及基本性质。
（2）通过实际例子，讲解旋转的矩阵表示。
（3）分析旋转在实际问题中的应用。
3. 随堂练习：（1）完成教材P123例题1、2。
（2）同学互相讨论并解答教材P124练习题1、2。
4. 小组讨论：结合教材内容，讨论旋转与全等图形的关系。
六、板书设计1. 旋转的定义及基本性质2. 旋转的矩阵表示3. 旋转在实际问题中的应用4. 旋转与全等图形的关系七、作业设计1. 作业题目：（1）教材P125习题1、2。
（2）根据旋转的性质，设计一道应用题。
2. 答案：（1）教材P125答案。
（2）应用题答案。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：教师应关注学生对旋转定义、性质的理解程度，以及对矩阵表示和实际应用的掌握情况。
2. 拓展延伸：（1）研究旋转在空间几何中的应用。
（2）探讨旋转与其他几何变换（如平移、对称等）的关系。
重点和难点解析1. 教学难点：旋转的矩阵表示及其应用。
2. 教学重点：旋转的定义、性质以及旋转与全等图形的关系。
3. 作业设计：作业题目的难度和与课堂内容的关联性。
2024年《旋转》精彩课件公开课获奖
2024年《旋转》精彩课件公开课获奖一、教学内容本节课选自2024年数学教材第八章《几何变换》中的第三节“旋转”。
详细内容包括：旋转的定义、性质、应用；旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度；在平面直角坐标系中，点的旋转坐标变化规律。
二、教学目标1. 理解旋转的定义，掌握旋转的三要素，能准确描述旋转过程。
2. 学会在平面直角坐标系中，运用旋转坐标变化规律进行点的旋转。
3. 能够运用旋转性质解决实际问题，培养空间想象力和创新意识。
三、教学难点与重点教学难点：旋转坐标变化规律的应用。
教学重点：旋转的定义、性质、旋转三要素。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、旋转演示器、直尺、圆规。
学具：直尺、圆规、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中的旋转现象，如风车、地球自转等，引导学生发现旋转的规律。
2. 例题讲解：（2）在平面直角坐标系中，讲解点的旋转坐标变化规律。
3. 随堂练习：（1）让学生描述生活中常见的旋转现象，并指出旋转中心、旋转方向和旋转角度。
（2）给定点的坐标，让学生进行旋转操作，并找出旋转后的坐标。
4. 知识巩固：布置典型题目，让学生独立完成，并进行讲解。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调旋转的定义、性质、旋转三要素及旋转坐标变化规律。
六、板书设计1. 旋转的定义、性质、旋转三要素。
2. 点的旋转坐标变化规律。
3. 典型题目及解答过程。
七、作业设计1. 作业题目：（1）描述生活中的旋转现象，指出旋转中心、旋转方向和旋转角度。
（2）在平面直角坐标系中，给定点的坐标，进行旋转操作，找出旋转后的坐标。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对旋转的定义、性质、旋转三要素掌握情况较好，但对旋转坐标变化规律的应用还需加强。
2. 拓展延伸：引导学生探索旋转在艺术、建筑、设计等领域的应用，激发学生的学习兴趣，提高学生的创新能力。
重点和难点解析：1. 实践情景引入2. 例题讲解中的旋转坐标变化规律3. 随堂练习的设计与实施4. 作业设计中的题目与答案详细补充和说明：一、实践情景引入1. 选择具有代表性和启发性的旋转现象，如风车、地球自转等，以贴近学生生活，便于学生理解。
2024年公开课《旋转》1 完整课件
2024年公开课《旋转》1 完整课件一、教学内容本节课选自数学教材第九章《几何变换》第四节《旋转》，主要详细内容包括：旋转的定义、性质、应用以及相关定理的证明。
具体涉及教材的9.4.1小节至9.4.3小节。
二、教学目标1. 让学生理解旋转的定义，掌握图形旋转的基本性质。
2. 培养学生运用旋转解决实际问题的能力，提高空间想象力和创新意识。
3. 使学生能够运用旋转进行图形的创意设计，增强审美观念。
三、教学难点与重点教学难点：旋转中心的确定，旋转角度的计算。
教学重点：旋转的定义，旋转性质的理解与应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，旋转演示模型，几何画板软件。
2. 学具：直尺，圆规，量角器，彩笔，剪刀，硬纸片。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示生活中的旋转现象，如风车、车轮等，让学生感知旋转的美，激发学习兴趣。
2. 知识讲解（15分钟）（1）引导学生回顾已学的平移、对称等变换，为新课学习做好铺垫。
（2）讲解旋转的定义，引导学生了解旋转中心、旋转角度等概念。
（3）通过实例，讲解旋转的性质，如旋转不改变图形的大小、形状等。
3. 例题讲解（15分钟）（2）将给定图形绕某一点旋转一定角度，要求学生在纸上操作并展示。
4. 随堂练习（10分钟）（1）完成教材P120练习题1、2、3。
（2）小组合作，设计一个旋转图案，要求美观、富有创意。
5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 《旋转》2. 主要内容：（1）旋转的定义（2）旋转的性质（3）旋转的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）教材P121习题1、2、3。
（2）设计一个旋转图案，要求旋转中心和旋转角度明确。
2. 答案：（1）见教材答案。
（2）见学生作品。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对旋转的定义和性质掌握较好，但在实际操作中，部分学生对旋转中心和旋转角度的确定仍存在困难，需要在今后的教学中加强训练。
2. 拓展延伸：引导学生研究旋转与平移、对称等其他变换之间的关系，探索旋转在艺术、科学等领域的应用。
2024年旋转公开课课件.
2024年旋转公开课课件.一、教学内容本节课我们将学习人教版八年级数学下册第五章《旋转》的第一节“旋转的基本概念”。
详细内容包括：理解旋转的定义，掌握图形旋转的基本步骤，学会使用旋转变换工具，以及通过实例感受旋转在生活中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握旋转的定义，能够识别旋转前后图形的关系。
2. 学会使用旋转变换工具，能够对给定图形进行旋转操作。
3. 能够运用旋转知识解决实际问题，培养空间想象力和创新能力。
三、教学难点与重点重点：旋转的定义和图形旋转的基本步骤。
难点：如何运用旋转变换工具进行旋转操作，以及旋转在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：旋转演示仪、多媒体课件、三角板、量角器。
学具：直尺、圆规、三角板、量角器。
五、教学过程1. 导入：通过多媒体课件展示生活中的旋转现象，如风车旋转、地球自转等，引发学生对旋转的兴趣。
2. 新课导入：讲解旋转的定义，引导学生观察旋转前后图形的关系。
3. 实践操作：使用旋转演示仪，让学生亲身体验旋转操作，加深对旋转概念的理解。
4. 例题讲解：讲解如何使用旋转变换工具，对给定图形进行旋转操作。
5. 随堂练习：让学生运用旋转知识，对给定图形进行旋转操作，并及时反馈。
6. 知识拓展：通过实例分析，展示旋转在生活中的应用，培养学生的空间想象力和创新能力。
六、板书设计1. 旋转的基本概念2. 内容：（1）旋转的定义（2）旋转前后图形的关系（3）旋转变换工具的使用方法（4）旋转在生活中的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）将给定图形绕点O顺时针旋转90度，并标出旋转后的图形。
（2）找出生活中一个旋转现象，并说明其旋转中心和旋转角度。
2. 答案：（1）见附件。
（2）示例：时钟的指针旋转，旋转中心为时钟中心，旋转角度为每小时30度。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解和随堂练习，让学生掌握了旋转的基本概念和操作方法。
课后，教师应关注学生对旋转知识的掌握情况，及时进行反馈和指导。
22旋转的概念及性质教案
22旋转的概念及性质教案一、教学目标：1. 让学生理解旋转的概念，掌握旋转的性质。
2. 培养学生运用旋转解决实际问题的能力。
3. 发展学生的空间想象能力和思维能力。
二、教学内容：1. 旋转的概念：旋转变换，旋转中心，旋转角。
2. 旋转的性质：图形旋转前后形状、大小不变，对应点、对应线段、对应角的关系。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：旋转变换的概念，旋转的性质。
2. 教学难点：旋转的性质在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察实际操作，理解旋转的概念和性质。
2. 采用案例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握旋转的性质。
3. 采用讨论法，让学生在小组内交流探讨，发展空间想象能力和思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如钟表指针的运动、地球的自转等，引导学生思考旋转的概念。
2. 讲解：讲解旋转变换的概念，旋转中心、旋转角的意义。
通过实际操作，让学生观察图形旋转前后的变化，总结旋转的性质。
3. 案例分析：出示一些实际问题，让学生运用旋转的性质解决问题。
如：在平面直角坐标系中，求一个点关于某条直线旋转一定角度后的坐标。
4. 练习：布置一些有关旋转变换的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调旋转的概念和性质，以及旋转变换在实际问题中的应用。
6. 作业：布置一些有关旋转变换的作业，让学生课后巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对旋转变换概念、旋转中心和旋转角的理解程度。
2. 案例分析：评估学生在解决实际问题时，运用旋转性质的准确性和灵活性。
3. 练习作业：评估学生对旋转变换的掌握程度，以及能在实际问题中运用旋转性质的能力。
七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法，以便更有效地传授旋转变换的概念和性质。
2. 针对学生在实际问题中的运用能力，提供更多实例和练习，加强训练。
3. 注重培养学生的空间想象能力和思维能力，提高他们解决几何问题的综合素质。
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【例7】正方形网格中， 为格点三角形(顶点都是格点)，将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ．
⑴在正方形网格中，作出 ；(不要求写作法)
⑵设网格小正方形的边长为 ，用阴影表示出旋转过程中线段 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留 )
【考点】图形的旋转
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】⑴作图如下：
【考点】图形的旋转
【难度】1星Leabharlann 【题型】选择【关键词】
【解析】由旋转的概念可知选择
【答案】C
【例6】请在下列网格图中画出所给图形绕点 顺时针依次旋转 、 、 后所成的图形．(注意：有阴影部分图形旋转后的对应图形要涂上阴影．不要求写画法)
【考点】图形的旋转
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】在方格纸上旋转 ，实际上就是找出某些直线的垂线，先选几个关键点，找出这几个关键点与旋转中心连线的垂线，再由线段相等找出它们的对应点．
转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)
截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．
连：即连接所得到的各点．
二、中心对称
中心对称的有关概念：
把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)
内容
基本要求
略高要求
较高要求
旋转
了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形．
能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．
能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计．
一、旋转有关概念
【难度】2星
【题型】选择
【关键词】2009内蒙古包头
【解析】略
【答案】B
【例4】在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是()
①中心对称②旋转③轴对称④平移
A．①② B．②③C．③④D．①④
【考点】几何变换综合
【难度】2星
【题型】选择
【关键词】
【解析】略
【答案】D
版块二 旋转作图
【例5】图中的“笑脸”是图⑴逆时针旋转 形成的是( )
⑵线段 所扫过的图形如图所示．
根据网格图知： ， ，所以 ．
线段 所扫过的图形的面积
【答案】（1）
（2）
【例8】如图，画出 绕点 顺时针旋转 所得到的图形．
【考点】图形的旋转
【难度】2星
【题型】解答
注意：
⑴两个图形成中心对称是旋转角为定角( )的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．
⑵中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．
中心对称的特征：
关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
关于中心对称的两个图形是全等图形．
关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等．
关于原点对称的点的坐标特征：
两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．
中心对称图形与旋转对称图形的比较：
名称
定义
区 别
联 系
旋转对称图形
如果一个图形绕着某一点旋转一定角度(小于周角)后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形
旋转角度不一定是
如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．
中心对称图形：
把一个图形绕着某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．(如图⑶)
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．
旋转对称图形只有旋转 才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形
中心对称图形
如果一个图形绕某一点旋转 后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形
必须旋转
中心对称图形与轴对称图形比较：
名称
定义
基本图形
区别
举例
中心对称图形
如果一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形
绕某一点旋转
②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形)
③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形)
旋转作图的基本步骤：
由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件：
⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度．
具体步骤分以下几步：
连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．
线段、平行四边形、矩形、菱形、圆
轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线翻折 后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形
沿某一条直线翻折 (对折)
线段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆
板块一中心对称
【例1】下列图不是中心对称图形的是()
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【考点】中心对称和中心对称图形
【难度】2星
【题型】选择
【关键词】
【解析】根据中心对称图形的定义判定，
【答案】
【巩固】下列图形中，绕某个点旋转 能与自身重合的有( )
①正方形 ②长方形 ③等边三角形 ④线段 ⑤角
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】中心对称和中心对称图形
【难度】2星
【题型】选择
【关键词】
【解析】根据中心对称图形的定义，三角形都不符合，所以③不是，⑤也不是，所以有①②④．
【答案】
【例2】在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的 个字母中，是中心对称图形的有()
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】几何变换综合
【难度】1星
【题型】选择
【关键词】2009年，天津
【解析】B
【例3】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】几何变换综合
旋转：把一个图形绕着某一点 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 经过旋转变为点 ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)
注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．
⑵每一组对应点所构成的旋转角相等．
旋转的性质：
①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角)