高等数学：无穷小量与无穷大量

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无穷小量与无穷大量
一、基本内容
1. 无穷小的定义 ：若)(x f 当?→x 时的极限为零，（即?→x 时)(x f 0→）则称
)(x f 为当?→x 时的无穷小量，简称无穷小。

2. 无穷小与函数极限的关系：α+=⇔=→A x f A x f x )()(lim ?
，其中α是?→x 时的
无穷小。

3. 无穷大的定义：若x 满足δ<-<||00x x （或X x >||）时，有M x f >|)(|，则称
)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷大量，简称无穷大。

4. 无穷小与无穷大的关系： 1）若)(x f 是无穷大，则
)
(1
x f 是无穷小； 2）若)(x f 是无穷小，且0)(≠x f ，则
)
(1
x f 是无穷大。

二、学习要求
1. 了解无穷小、无穷大的概念。

2. 理解无穷小与无穷大的关系及无穷小与函数极限的关系。

三、基本题型及解题方法 题型 判定无穷小与无穷大
解题方法：（1）直接根据无穷小无穷大的定义；
（2）当变量是分式时，常根据无穷大与无穷小的关系：若分母的极限值是零而分子的极限为常数，则该变量为无穷大量；若分母为无穷大而分子的极限为常数，则该变量为无穷小量。

【例】 判断下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量
(1) 当∞→x 时，
x 1； (2) 当+∞→x 时，x
e -； (3) 当1→x 时，112-x ； (4) 当2→x 时，4
1
2-+x x 。

2
解：(1)因为01lim
=∞→x x ,则当∞→x 时，x
1
为无穷小量。

（2）因为0lim =-+∞
→x
x e ，故当+∞→x 时，x e -为无穷小量。

（3）因为当1→x 时，分母12
-x 0→，而分子为非零常数，由无穷大与无穷小
的关系，可知当1→x 时，1
1
2-x 为无穷大量。

（4）因为当2→x 时，4
12-+x x 的分母042
→-x ，而分子31→+x ，故当2
→x 时，4
12-+x x 为无穷大量。

四、同步练习 （一）填空题： 1．若)
2)(1()
3)(1()(-+--=
x x x x x f 为无穷大量，则→x ，或→x 。

2．设)(x α是某一变化过程中的无穷小量，且0)(≠x α，则在该变化过程中，)
(1
x α 是 。

3．设)(x f 是某一变化过程中的无穷大量，则在该变化过程中，
)
(1
x f 是 。

4．设α+=A x f )(，其中A 是常数，α是当0x x →（或∞→x ）时的无穷小，则
=∞→→)(lim )
(0
x f x x x 或 。

5．当+∞→x 时，x
2和x
4都是无穷 量，而x x
x 4
2lim +∞→= 。

（二）选择题：
1．函数x x x f sin )(=( )
A ．在),(+∞-∞内无界；
B ．在),(+∞-∞内有界；
C ．当∞→x 时为无穷大；
D ．当∞→x 时极限存在 2．下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）
3
A ．12-x （0→x ）；
B ．12--x （1→x ）；
C ．
x
21
（0→x ）； D ． 2)1(1-x （0→x ）
3．要使
1
1
-x 为无穷大量，变量x 的变化趋势是（ ） A ．1-→x ； B ．1→x ； C ．∞→x ； D ．x 可任意变化 4．当1→x 时，下列变量中为无穷大量的是（ ）
A ．112+-x x ；
B ．112--x x ；
C ．1
1-+x x ； D ． 11
2-x
5．当0→x 时，下列变量中为无穷大量的是（ ）
A ．x x 1cos 1；
B ．x e 1
； C ．x cot ； D ．2
cos 1x
x - 6．当∞→x 时，以下变量是无穷小量的是（ ） A ．x ln ； B ．x
1sin
； C ．x 1cos ； D ．x
e -。