六年级下册数学试题-小升初数学第18讲 浓度与经济问题(含答案解析)

小升初数学第18讲 浓度与经济问题
一、 知识地图
1） 浓度问题
a) 浓度，溶液配比问题（溶质不变） b) 类浓度问题（溶剂不变） c) 两种不同浓度溶液混合 2） 经济问题
a) 经济问题的典型利用 i. 求利润 ii. 求成本 iii. 求售价 b) 经济问题的实际应用
i. 利息问题 ii. 税收问题 iii. 保险问题 iv. 折扣问题 v.
水电费峰谷价问题
二、 基础知识 （一）浓度问题
浓度问题是一种常见的百分数应用题。

在日常生活中，“水甜不甜？”等这些问题都是有关浓度的问题。

糖水甜的程度是由糖与水两者量的比值所决定的。

若水的量一定，则含糖量越多，糖水就越甜。

这里的糖就是溶质，水就是溶剂，糖和水和在一起就是溶液，我们把糖与糖水的重量的比值称为糖水的浓度。

这三者的关系如下：
溶液的重量=溶质的重量+溶剂的重量
浓度=
100% 溶质质量
溶液质量
溶质重量=溶液重量×浓度 溶液重量=溶质重量÷浓度
溶剂质量=溶液质量-溶质质量=溶液质量×（1-浓度）
浓度问题考察的比较多的是溶液的配比，解题时注意要抓住不变量，常用的一些解题方法有：
1. 计算法：一般为溶质不变，浓度不变等，进行计算；
2. 列方程；抓住不变量，找出等量关系，列方程计算；
3. 十字交叉：适合两种不同浓度的溶液配比问题。

（二） 经济问题
经济问题也是一种常见的百分数应用题。

商店出售商品，总是期望获得利润。

一般情况下，商品从厂家购进的价格称为成本（也叫进价），商家在定价的基础上提高价格出售，就会获得收入，收入比成本高的那部分就是利润，利润与收入之比称之为利润率，利润与成本之比为利润的百分数。

利润率通常用百分数来表示。

利润=售价-成本
售价=成本×（1+利润率）
100%=
⨯利润
利润率成本
商店有时为了尽快将商品出售，将商品打折出售来增加销量。

打八折就是原价的80%。

售价=原价×折扣
对于利息问题，是人们将钱存入银行，也就是本金，要按照国家规定的利率获得利息。

本金：储蓄的金额。

利率：利息和本金的比。

利息=本金×利率×期数
其它经济问题只要掌握数量关系，如：上交税收=应纳税收入×税率；保险费=保险金额×保险费率×保险期限。

方法正确，计算认真准确就行了。

三、 经典透析
【例1】（☆☆☆）现有浓度为16%的糖水40千克，要得到含盐20%的糖水，可采用什么方法？
审题要点：原来糖水的浓度为16%，现在要将浓度变为20%，是将浓度变大，通常首先会想到往溶液中再加一下溶质。

其实，反过来可用“蒸发”的方法减少水的质量来达到目的。

若用加糖的方法，水的质量不变；若用蒸发的方法，糖的质量不变。

详解过程：方法一：采用加糖法，水的质量保持不变
原糖水中含水：40×（1-16%）=33.6（克）也就是现在糖水中也是含水33.6克， 现在水的浓度就是（1-20%），
现在糖水的质量为：33.6÷（1-20%）=42（克）
糖水增加的质量就是要加的糖的质量，所以要加糖：42-40=2（克）
方法二：采用蒸发法，糖的质量保持不变
原糖水中含糖：40×16%=6.4（克），即为现在糖水中糖的质量 现在糖水中含糖20%，可求出现在糖水的质量：6.4÷20%＝32（克） 所以蒸发水：40－32＝8（克）
答：可以加糖2克，或者蒸发8克水。

专家点评：本题为典型的溶液混合题，只要抓住不变量，将混合前后各个量之间的关系联系起来。

有时候利用不同的不变量，会有不同的解法。

注意：大家可以来思考一下如果想降低浓度是否也有两种方法呢？
【例2】（☆☆☆）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？
审题要点：这道题，我们可以把他看成一道分数百分数问题，首先选取单位“1”，但是注意，两次混合就要选取两次单位“1”，要对应联系起来，我们每次都选取乙为单位“1”
详解过程：第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的分率为：（62%-58%）÷（72%-62%）=
25
； 第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的分率（63.25%-58%）÷（72%-63.25%）=
35
根据量率对应的关系：
乙可取15÷[3÷（5-3）–2÷（5-2）]÷（1-2
5
）=30（升） 甲可取30×
2
5
=12（升）。

我们在这里再向大家传授一种求浓度混合配比的妙招，可以采用“十字交叉相减”法，这个方法和杠杆原理很类似，大家想一下，两种浓度不同的溶液混合在一起，混合后的浓度一定在混合前两种溶液的浓度之间，比大的小，比小的大，并且接近质量多的溶液。

就好比大家小时候玩的“跷跷板”，如果跷跷板平衡的话，支点一定在两个人中间，并且支点与体重大的那个小朋友接近，我们就以这道题为例，具体解体方法如下：
混合前甲，乙溶液浓度： 甲 乙
交叉相减求差： 62%-58%=4% 72%-62%=10% 差的比值： 4% ：
10%
72%
58%
4%10%
62%
甲，乙溶液质量的比值： 2 ： 5 第二次配比也是相同的方法
混合前甲，乙溶液浓度： 甲 乙
交叉相减求差： 63.25%-58%=5.25% 72%-63.25%=8.75% 差的比值： 5.25% ： 8.75% 甲、乙溶液质量的比值： 3 ： 5
这样我们可以轻松的得到配比前两种溶液质量的比值，而不用经过烦琐的计算，既节约了时间，又减少了计算错误。

剩下的步骤就跟上题一样了。

专家点评：溶液的配比问题可以抓住不变量，溶质不变，利用方程来解决，也可以利用“十字交叉”法来解决。

注意：除了两种溶液配比外，稀释和加溶质也可以用“十字交叉相减”法，如果溶液加水，那么溶液就和0%的溶液来配比，如果单加溶质，就是溶液和100%的溶液来配比。

【例3】（☆☆☆）有甲、乙、丙三个容器，容量为1000毫升，甲容器的浓度为40%的糖水400毫升；乙容器有清水400毫升，丙容器中有浓度为20%的糖水400毫升，先把甲，丙两容器中的糖水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的糖水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器，这时候甲、乙、丙容器中糖水的浓度各是多少？
审题要点：对于涉及到多个变量反复操作的问题，我们采用列表处理的方法
详解过程：列表如下
72%
58%
5.25%8.25%
63.25%
浓度是17.5%。

专家点评：在做有关浓度的应用题时，为了搞清楚溶质质量，溶液质量的变化，尤其是多次变化的，常用列表的方法，使它们之间的关系一目了然。

【例4】（☆☆☆）A、B、C三个试管中各盛有10g、20g、30g水，把某种浓度的糖水10g 倒入A中，混合后取出10g倒入B中，再混合后又从B中取出10g倒入C中，现在C中糖水的浓度是0.5%，最早倒入A中的糖水浓度是多少？
审题要点：可用倒推法的思想，先求出现在C管中糖的质量，又因为C中原来只有30g
水，所以它的糖是从B管取出的10g糖水中来的，由此可求出此前B管中糖的质量。

而B
管中的糖又是从A管中取出的10g糖水中来的，由此可求出A管里20g糖水中糖的质量，即所求糖水中的糖。

详解过程：方法1：现在C管中的糖的质量为（30+10）×0.5%=40×0.5%=0.2（g）
则此前B管中糖的质量为：0.2÷10×（20+10）=0.6（g）
则此前A管中糖的质量为0.6÷10×（10+10）=1.2（g），
最早到入A中的糖水浓度是12%。

方法2：设最早倒入A中糖水浓度为x，则A中糖水的浓度为10x÷（10+10）=0.5x，
B中糖水的浓度为100.5 1020
x
⨯
+
=
1
6
x
C中糖水的浓度为
1
10
6
1030
x
⨯
+
=
1
24
x
所以1
24
x=0.5%
x=12%。

答：最早倒入A中糖水的浓度为12%。

专家点评：要想在解题过程中分清变化前后谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量是突破口。

用倒推法能让思路清晰，避免纠缠于中间的变化过程。

【例5】（☆☆☆）某商店到水果产地去收购橘子，收购价为每千克1.20元。

从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。

如果在运输及销售过程中的损耗是10%，商店要想实现25%的利润率，零售价应是每千克多少元？
审题要点：本题是一道基本的利润问题，其成本包括收购价、运费、损耗三部分。

详解过程：每千克的收购价为1.20元，每千克的运费是1.50×400÷1000=0.60（元）。

因为有10%的损耗，所以每千克的成本为（1.20＋0.60）÷（1-10%）=2.00（元）。

商店想每千克实现25%的利润率。

因为：售价=成本×（1+利润率）
所以：售出价=成本×（利润率+1）
=2.00×（25%+1）
=2.50（元），
即零售价应是每千克2.50元。

专家点评：本题的关键是搞清楚成本、利润、售价、利润率这几个量的概念以及它们之间的关系。

【例6】（☆☆☆）某商场在迎奥运展销期间，将一批电视机降价出售。

如果打九折出售，可盈利215元；如果打八折出售，亏损125元。

此电视机的购入价是多少元？
审题要点：第二种方法比第一种多降了定价的20%-10%=10%，而导致第二种方法比第
一种少卖了215+125=340元。

说明定价的10%就是340元。

可以求出定价，也可以求出成本。

详解过程：电视机的定价为：
（215+125）÷（20%-10%）=3400（元）
那么该电视机的购入价为：
3400×（1-10%）-215=2845（元）
答：此电视机的购入价是2845元。

专家点评：本题为折扣问题，是百分数的典型应用。

注意折扣的单位“1”和利润率的单位“1”不同，折扣的单位“1”为原价（定价），利润率的单位“1”为成本，注意区分和转化。

【例7】（☆☆☆☆）甲、乙二人原有钱数相同，存入银行，第一年的利息为4%，存入一年后利息降至2%，甲将本钱和利息继续存入银行，而乙将一半本钱投资股市及房地产，获利20%，一年后，甲比乙赚到的钱的一半还少144元，则甲原来有多少元？
审题要点：本题为利息问题，本金×（1＋利息×期数）＝本息
详解过程：设甲和乙原有钱数都是x。

甲在银行存了两年，第一年利息为4%，钱变成了x（1+4%），接着再存了一年，第二年利息是2%，本息和为x（1+4%）（1+2%），两年赚的钱为：x（1+4%）（1+2%）－x ＝0.0608x；
乙先将所有的钱在银行存了一年，本息和为x（1+4%），第二年将一半本息接着存入银行，一半本钱投入股市，存入银行的一年后本息和为1
2
x（1+4%）（1+2%），投入股市
的钱一年后收入为1
2
x（1+20%），乙两年赚的钱为：
1 2x（1+4%）＋
1
2
x（1+4%）（1+2%）＋
1
2
x（1+20%）－x=0.1504x。

已知甲赚的比乙的一半还少144元，于是得到（144＋0.0608x）×2=0.1504 x，
容易解得x=10000元。

答：甲原来有10000元。

专家点评：本题考察的是利息问题和利润问题的综合求解。

此题中一般同学在计算本息和时喜欢写成x+x×4%，这种写法不好，最好写成x（1+4%），这样后面的也可以直接写为x（1+4%）（1+2%）了，若写成第一种情况化简起来就会很麻烦。

在计算所有增加或者减少分率时都应该这样处理，一般公式为单位“1”×（1±增加或减少分率）
【例8】（☆☆☆）国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分的14%的税；③稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税。

今得知丁老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税420元，问丁老师这笔稿费是多少元？又得知马老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税550元，问马老师这笔稿费是多少元？
审题要点：先估计这笔稿费大致有多少元？属于哪个档次？再进行计算
详解过程：第一档的不纳税，第二档的要纳税（4000－800）×14%＝448（元）
说明丁老师稿费低于4000元。

丁老师的稿费为：420÷14%+800=3800（元）。

马老师的所得税高于440元，应该用第三档的来计算。

马老师的稿费为：550÷11%=5000（元）。

答：丁老师的稿费为3800元，马老师的稿费为5000元。

专家点评：先估算看属于哪一档的，再进行计算。

注意：这种问题还有类似的，除了个人所得税问题，还有水电费问题等。

【例9】（☆☆☆☆）小刚家去年参加了家庭财产保险，保险金额是20000元，每年的保险费是保险金额的0.3%。

其家中被盗，丢失了一台彩色电视机和一辆自行车，保险公司赔偿了2940元。

已知电视机的价格正好是自行车价格的7倍。

如果要购买与原价相同的电视机和自行车，那么加上已交的保险费，小刚家需比原来多花费400元。

电视机和自行车原价各多少元？
审题要点：保险问题，计算方法类似于利润问题，但要注意保险费是属于成本。

保险费＝保险金额×保险费率
详解过程：小刚家的保险金额是20000元，保险费是保险金额的0.3%，那么要交纳的保险费就是20000×0.3%=60（元）。

由于家中被盗，保险公司赔偿了2940元，相当于从保险公司那里得到：2940-60=2880（元）。

而自行车和电视机的价格是：2880+400=3280（元），电视机的价格是自行车的7倍，根据和倍的原理，可以得到自行车的原价是：3280÷（7+1）=410（元）。

电视机的原价是：410×7=2870（元）。

专家点评：保险问题其实和利润问题与利息问题实质相同。

四、拓展训练
1.甲容器有纯酒精11升，乙容器有水15升。

第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙
容器，使酒精和水混合。

第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器中，这样甲容
器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量是25%。

那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？
初级点拨：本题涉及到两次混合，只要抓住混合后，谁变了谁没变，紧紧抓住不变量。

深度提示：由题意可知，第一次混合后，乙容器中的溶剂没有变，而第二次混合，就是将甲容器里的纯酒精，由100%的浓度稀释到62.5%，而稀释液就是第一次混合后
的乙溶液。

全解过程：第一次甲容器倒入一部分酒精到乙容器后，乙容器中的纯酒精含量就
是25%。

这样第一次从甲容器倒入乙容器的纯酒精是：15÷（1－25%）－15=5（升）；
甲容器中还剩下6升，乙容器中有20升含量为25%的酒精混合液。

可以列方程来解，设第二次从乙容器中倒入甲容器x 升。

（6+x ×25%）=62.5% ×（6+x ）
x=6。

也可以用“十字交叉相减”法来做： 混合前甲、乙溶液浓度 甲
乙
交叉相减求差： 62.5%-25%=37.5% 100%-62.5%=37.5% 差的比值 37.5% ： 37.5% 甲、乙溶液质量的比值 1 ： 1
答：第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6升。

2．有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50%酒精的液体。

先将乙杯的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。

问这时乙杯中酒精溶液的浓度是多少？
初级点拨：多次混合，用列表法可以使思路比较清晰。

深度提示：紧紧抓住浓度的变化，搞清楚溶质质量、溶液质量的变化，将整个过程联系起来。

全解过程：
100%⨯=溶质质量
浓度溶液质量
，所以要搞清楚溶质质量、溶液质量的变化，
列表使思路比较清晰。

100%
25%
37.5%37.5%
62.5%
3
8100%37.5%1
⨯=。

答：这是乙杯中酒精溶液的浓度是37.5%。

3．将25g 白糖放入空杯中，倒入100g 白开水充分搅拌后，喝去一半糖水，又加入36g 白开水，如果要使杯中的糖水和原来一样甜，需要加入多少白糖？
初级点拨：抓住主线，从简单入手，切忌复杂化。

深度提示：要想杯中糖水一样甜，那就说明浓度相同，也就是说明糖和水的比例相同，可以利用浓度相同这个等量关系来列方程，也可以用比例相同这个等量关系来求解。

全解过程：法1）设需要加入xg 白糖，则25X+252
10025100+252X+36
÷=+÷（）+，解得
x=9。

法2）设需要加入糖x 克，则25x
10036
=，解得x=9。

抓住主线，只看结果，明显比法一要简单的多。

答：需要9克白糖。

4。

A、B、C三瓶糖水的浓度分别为20%，18%，16%，它们混合后得到100g浓度为18.8%的糖水，如果B瓶糖水比C瓶糖水多30g，那么A瓶糖水有多少克？
初级点拨：三种溶液混合在一起，混合前溶质的质量和还是等于混合后溶质的质
量和。

深度提示：三瓶糖水的浓度都是已知的，并且知道B瓶比C瓶多30克，可以假设C瓶为x克，那么B瓶为（x+30）克，A瓶糖水为：100-（x+x+30）=70-2x克，利用混合前后溶质相等这个等量关系来解题。

全解过程：设C瓶糖水有x克，则B瓶糖水为x+30克，A瓶糖水为100-（x+x+30）=70-2x，
（70-2x）×20%+（x+30）×18%+x×16%=100×18.8%，整理得0.06x=0.6，解得
x=10，所以A瓶糖水为：70-2×10=50（g）
答：A瓶糖水有50克。

5.某容器中装有糖水。

老师让小强再倒入5%的糖水800克，以配成20%的糖水。

但小
强却错误地倒入了800克水，老师发现后说，不要紧，你再将第三种糖水400克倒入
容器，就可得到20%的糖水了。

那么第三种糖水的浓度是百分之几？
初级点拨：抓住主线，多次混合，抓住不变量，找好等量关系，那就是最后浓度
不变。

深度提示：老师让小强往容器中倒入5%的糖水800克配成20%的糖水，这800克
糖水中应该含糖800×5%=40克，而小强倒入容器里的却是水，没有溶质，这样就少了
40克糖，而多了40克水，这样将第三种糖水倒入容器的时候就应该多倒40克糖，少
倒40克水。

全解过程：第一次少倒糖800×5%=40（克）
第二次为了补上第一次少倒的糖，应该倒入糖400×20%+40=120（克）
所以，第二次倒入糖水浓度为120÷400=30%。

答：第三种糖水的浓度是30%。

6.某家商店决定将一批橘子的价格降到原价的70%卖出，这样所得利润就只有原计划的1
，已知这批橘子的进价是每千克6元6角，原计划可获利润2700元，那么这批橘子3
共有多少千克？
初级点拨：本题关键是搞清楚利润、成本和售价之间的关系，以及各个量之间的关系。

深度提示：原定价格的（1-70%），也就是少卖的那部分，就相当于少得的那部分
），然后找出原定价格、利润、成本之间的关系就利润，也就是原计划利润的（1-1
3
可以了。

）=45%，所以全解过程：所以原计划的利润相当于原定价格的（1-70%）÷（1-1
3
这批橘子的进价相当于原定价格的1-45%=55%，那么原定的价格就是每千克6.6÷
55%=12元，原计划利润就是每千克12－6.6=5.4元，这样就可以求出这批橘子共有2700÷5.4=500千克。

7.某银行定期储蓄的种类和利率如下图所示，假如你有1000元钱，想存4年，那么你最多可以得到多少元利息。

（注意：存款到期后取出后可连本带息一起再存，不考虑利息税。

）
可。

深度提示：根据乘法交换律可知，存期排列顺序与利息无关。

故只有4种存法：①四次一年期②两次一年期③一次一年期，一次三年期④两次两年期，然后计算看哪种存法所得利息最多。

注意到（1+0.1098）×（1+0.1098）≈1.2317<1+0.2340，即连续存两次一年期的收益小于存一次两年期的收益，而存法1和存法2都有连续存两次1年期，因此1，2两种存法不如4合算。

全解过程：存法3能获利1.1098×1.3672-1=0.517319，
存法4能获利1.234×1.234-1=0.522756。

故存法4获得最大利，将得到利息1000×0.522756=522.76元。

注意：上面两题关于利息的题还没计算利息税，根据国家法律规定，利息必须缴纳5%的利息率，由银行代扣，实际只能从银行取得95%的利息。

考虑纳税的话计算更加复杂些。

8.商品甲的成本是定价的80%；商品乙的定价是275元，成本是220元。

现在商店把1件商品甲，与2件商品乙配套出售，并且按它们的定价之和的90%作价出售。

这样每套可获得利润80元。

商品甲的成本是多少元？
初级点拨：最终的售价是打折后的价格。

深度提示：甲的成本是定价的80%，那定价就是成本的1÷80%=125%，1件商品甲与2件商品乙配套捆绑出售，并且都以90%出售，每套所获得的80元利润里包括一件甲的利润和2件乙的利润，然后根据利润关系就可求得甲的成本。

全解过程：甲的利润率为1÷80%×90%-1=12.5%；
每件商品乙获得的利润为：275×90%-220=27.5（元）；
每件商品甲获得的利润为：80-27.5×2=25（元）；
商品甲的成本为：25÷12.5%=200（元）。

答：商品甲的成本为200元。

9.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算。

某人一月份应交纳税款150元，则他的当月工资薪金所得为多少元？
初级点拨：本题为典型的税收问题，要根据题意确定计算方法和过程。

深度提示：先看所交税款属于哪一挡？第一档最多交：500×5%=25元，第二档最
多交（2000-500）×10%+25=175元；第三档……此人所交税款明显属于第二档，可以按第二档税率进行计算。

全解过程：因为25<150<175，所以此人工资属于第二档，500-2000元之内部分应该交税款：150-500×5%=125（元），500元以上工资数额为：125÷10%=1250（元），
所以工资总数为：1600+500+1250=3350（元）。

答：他当月工资薪金为3350元。

10.某衬衫专卖店经销的男士衬衫，按价格从低到高分为A、B、C、D、E、F、G、H共8个档次，A档次的衬衫每天可卖出120件，每件可获利润50元。

每高一个档次，卖出
一件可增加利润10元，但是每高一个档次，这种档次的衬衫每天比低一档的衬衫少卖出8件。

(1)在这8个档次的衬衫当中，卖哪个档次的所获得的利润最大？
(2)卖出这种档次的衬衫一天所获得的最大利润是多少？
初级点拨：本题可列表解答。

或者运用求最大值的一个结论解答
深度提示：卖第一档的可获得最高利润为：50×120=（40+10×1）×（128-8×1）；
卖第二档可得利润为：（40+10×2）×（128-8×2）；
卖第三档可得利润为：（40+10×3）×（128-8×3）；
………。

可得出：卖出第N档可得利润：（40+10N）×（128－8N）。

全解过程：运用求最大值的一个结论解答，卖出第N档衬衫所获得的利润为
（40+10N）×（128－8N）=10×（4＋N）×8×（16－N）=80×（4＋N）×（16－N）因为4+N+16－N=20，所以当4+N=16－N，即N=6时，利润最大。

最大利润为：（40+10×6）×（128-8×6）=8000（元）。

答：（1）卖第6个档次的所获得的利润最大。

⑵卖出这种档次的衬衫一天所获得的最大利润是8000元。