高中数学三角函数专项练习题(含答案)

高中数学三角函数专项练习题(含答案)
一、填空题
1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，
若()
222
4bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．
2．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()3cos 33f t f t t ⎛⎫⎛⎫
≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则实数t 的取值范围为_________
3．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11
tan tan A B
-的取值范围为___________. 4．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.
5．如图，在ABC 中，1
cos 3
BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，
AD DC =，则AB 等于______.
6．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O 3ABC 的周长最小值为___________
7．在ABC 中，7AB =3BC =1
cos 7
BAC ∠=
，动点D 在ABC 所在平面内且
2π
3
BDC ∠=
．给出下列三个结论：①BCD △的面积有最大值，且最大值为3；②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为
8π
3
．其中正确结论的序号为______．
8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数
()y f x =的图象向右平移
4
π
个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.
①()2sin 23g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭；
②方程()()360,
2f x g x x π
⎫
⎛⎫+∈ ⎪⎪
⎝⎭⎭
所有根的和为712π； ③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724
x π
=
对称. 9．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫
⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，那么(cos1)f =________.
10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则
sin cos A C 的最大值为______．
二、单选题
11．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）
①1ω=时，函数()f x 图象关于π
4
x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
12．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ
的取值范围是（ ）
A ．[),2ππ
B ．,
2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．(),2ππ
D ．
,
2
13．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD 是矩形，4AB =，3BC =，2EF =，//EF 底面ABCD 且EF 到底面ABCD 的距离为1.若DE AE BF CF ===，则该刍甍中点F 到平面
EBC 的距离为（ ）
A ．15
B ．35
C 10
D 25
14．已知,a b Z ∈，满足)
98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
15．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BE
t CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34
B ．78
C ．1
D ．54
16．已知F 是椭圆2
221(1)x y a a +=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不
与x 轴重合）与该椭圆相交于点M ，N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（ ） A ．当01e <<时，2
π
α<
B ．当2
0e <<2πα>
C ．当12
2e <<时，23πα>
D 2
1e <<时，34πα> 17．已知函数()()3log 911x f x x
+=
-，下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数
B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点
C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点
D ．()()21f f -<-
18．已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ） A ．1
B 7
C ．32
D ．2
19．已知函数2log ,0,
(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任
意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
20．将方程23
sin cos 3sin 3
x x x +=
的所有正数解从小到大组成数列{}n x ，记()1cos n n n a x x +=-，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．34
-
B ．24
-
C ．36
-
D ．26
-
三、解答题
21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；
（2）若,36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．
22．已知向量()2cos ,1a x =，(
)
3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅.
（1）若()065f x =
，0,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos2x 的值； （2）若函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是单调递增函数，求正数ω的取值范围. 23．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.
（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.
24．将函数()sin 2g x x =3向左平移
4
π
个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；
（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；
（3）若26x h t π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式
子表示）.
25．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ΔABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥.已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大.当
θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大.当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值.
26．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2(
)02
a b
f a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；
（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值.
27．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,函数()f x 的值域是2,2⎡⎤⎣⎦. (1)求常数a ,b 的值;
(2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性.
28．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；
（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值． 29．已知向量 22
(2,22()),(
,)2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数
()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；
（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 30．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<
）的图象如图所示：
（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；
（2）当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并
求此时12x x +的值.
【参考答案】
一、填空题
1．98
2．π6∞⎛⎤- ⎥⎝
⎦
，
3．23⎛ ⎝⎭
41282π
5．3 6．6 7．①③ 8．①③ 9．1π-##1π-+
10．132
+
二、单选题 11．B 12．A 13．C
14．B 15．B 16．A 17．C 18．B 19．A 20．C 三、解答题
21．（1）2()2sin 233f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
；（2
）22min
21,47
()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】
(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;
(2)令()t f x =
可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-
，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4
m
t =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】
（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，可得2sin 23y x =+得图象，
再向右平移
3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-+=-
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
． （2）∵,36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣
⎦
，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-
，[1,3t ∈+， ①当
14
m
≤，即4m ≤时，函数()M t
在[1,3上单调递增， ∴22
min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；
②
当134
m
<
<
412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，
∴2
min 7()148
m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；
③
当
34
m
≥+
12m ≥+()M t
在[1,3+上单调递减，
∴2min ()(3(323M t M m m ==-++
∴综上有22min
21,47
()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】
本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难. 22．（1
2）104
ω<≤ 【解析】 【分析】
（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()06
5
f x =，结合026x π
+
的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值，由002266x x ππ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的
余弦公式求解即可；
（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,
33
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
应该包含在()y f x ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】
（1）(
)
)
2cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x π⎛
⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝
⎭
因为()065f x =
，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.
因为0,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以0272366x πππ≤+≤
所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.
所以00001cos 2cos 22sin 266626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+-=
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
413525⎛⎫=
-+⨯= ⎪⎝⎭ （2）()2sin 26y f x x πωω⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭.
令2222
6
2
k x k ππππωπ-
≤+
≤+
，k Z ∈
得
36k k x π
πππω
ωωω
-
≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y f x ω=在区间2,
33ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
上是单调递增函数 所以存在0k Z ∈，使得002,
,33
36k k ππππ
ππωωωω⎛⎫
⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以有0033
263k k πππωωπππω
ω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩
因为0>ω，所以01
6
k >-
又因为
2123322πππω-≤⨯，所以3
02ω<≤，则03312k ≤+，所以056
k ≤ 从而有01566
k -<≤，所以00k =，所以1
04ω<≤.
【点睛】
本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题. 23．（1）23
B π
=；（2
1. 【解析】 【分析】
（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;
（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：
sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=
∴()
2
2sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=
整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1
cos sin 2
C c B A a =-
=-=- 又(0,)B π∈ ∴23
B π=
（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,
由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形,
∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin AC
βα
=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,
∵()222222
(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--
2(2cos )α=-,
∵BAC β<∠,
∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1
cos sin 2
CD ββ=
+,
1
cos )sin sin 23πααα⎛
⎫=
-+=- ⎪⎝
⎭, ∵(0,)απ∈
∴当56
π
α=
时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.
24．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()2
12cos 12
t x x -=- 【解析】
（1）将()g x ⇒2y x =；再向左平移
4
π
个单位长度
⇒()24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，最后代入()h x ，得答案；
（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以
max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；
（3）表示26x h π⎛⎫
- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以
12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式
和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】
（1）将函数()sin 2g x x =
得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移
4
π
个单位长度得到函数
()
y f x =，所以()224f x x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，
又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛
⎫==+ ⎪⎝⎭；
（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛
⎫+∈-⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦，
所以2sin 22,3x π⎛
⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭
， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，
所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥
所以4b a -≥即b a -的最小值为4；
（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-
所以()()22
2
12221cos 2sin 12sin 1122
t x x x x -=-=-=-；
法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，
则有1202x x π
π＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x =
②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，
则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x 2cos x =
③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，
所以()2
121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.
【点睛】
本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题.
25．（1）π6θ=（2）当π12θ=，CH CP +【解析】
（1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=，计算得到2sin sin 1AC CP θθ+=-++，计算最值得到答案.
（2）计算sin cos CH θθ=⋅，得到πsin 23CH CP θ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭.
【详解】
（1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=. 在直角ΔPBC 中，2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=， sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=.
22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++，π0,3θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
所以当1sin 2θ=
，即π6θ=，AC CP +的最大值为54
. （2）在直角ΔABC 中，由11
22
ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅，
可得sin cos sin cos 1
CH θθ
θθ⋅=
=⋅. 在直角ΔPBC 中，πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫
=⋅- ⎪⎝⎭
，
所以1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
所以211
sin 2sin cos 22
CH CP θθθθ+=-
11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 所以当π12θ=，CH CP +
【点睛】
本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力. 26．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】
（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.
（2）()22
1log ,02
log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到
326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案. 【详解】 （1）不是.
假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin
2
a b
a +=， 当2
b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；
当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2
a k π
π=+，k Z ∈，
所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.
（2）()22
1log ,02
log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，
又因为()f x 是M 类函数，
所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2
a b
a b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，
所以()2
2142(4)0222a a b a a a -+-=+-=>，
则2
log 102a b +->，所以得22
log 12log 12a b b +⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
， 从而有2
22log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224
a b b +=，即2
48b b b ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()
32
26480b b b b ----=，
由2b >，则326480b b b ---=，
令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()2
6480g x x x x =---<，且
()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 27．(1)2a =,2b =-或2a =-
,4b =函数()g x 在0,8π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x 在
,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减. 【解析】 【分析】
（1
）先求得sin 24x π⎡⎤⎛
⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦,再讨论0a >和0a <的情况,进而求解即可； （2）由（1）(
)2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则(
)2sin 224g x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭进而判断单调
性即可 【详解】
解:(1)当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,
所以sin 24x π⎡⎤⎛
⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
,
①当0a >时,
由题意可得12
a a
b a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪
⨯++=⎩
即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩
解得2a =,2b =-； ②当0a <时,
由题意可得21a a b a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪
⨯++=⎩,
即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩
,解得2a =-
,4b =(2)由（1）当0a <时,2a =-
,4b =所以(
)2sin 224f x x π⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
所以(
)2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣
⎦2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
令2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+,k Z ∈,解得388
k x k ππ
ππ-
+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-
≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
, 所以函数()g x 在0,8π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增,
同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
【点睛】
本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 28．（Ⅰ）(,3),.12
2k k Z π
π
-+
-∈（Ⅱ）12a =或12
a =- 【解析】
（Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，分类讨论可得. 【详解】
解：（Ⅰ）当1a =时，
22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-
cos 2232sin(2)36x x x π
=-=+-
()2sin(2)36
f x x π
∴=+-
由2,6
x k k Z π
π+
=∈ 得：,12
2
k x k Z π
π
=-
+
∈
()f x ∴的对称中心为(,3),.12
2
k k Z π
π
-
+
-∈
（Ⅱ）
22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-
()cos 2sin 23f x a x x ∴=-
()2sin(2)36f x a x π
∴=+-
1sin(2)16
x π
-≤+≤
当0a >时，232sin(2)3236
a a x a π
--≤+-≤-
则有234a --=- 解得12
a =
当0a =时，min ()3f x =-，不合题意
当0a <时，232sin(2)3236a a x a π
-≤+-≤--
则有234a -=-解得1
2a =-
综上 1
2a ∴=或12
a =-．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．
29．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4
π
=
，再由函数f （x ）的图象过点
B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin
2
x π
，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝
2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；
（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12
sin x m π
=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数
y ＝sin
2
x π
的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．
【详解】
（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =
∴f （x ）222a b =⋅=⨯
（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ）），
∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴
242πω=，得ω4
π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
，即sin2φ＝1．
∵0＜φ2
π
＜
，∴φ4
π
=
． ∴f （x ）＝1﹣cos2（4
4
x π
π
+
）＝1+sin
2
x π
，
由3222
2
2
k x k π
π
π
ππ+
≤
≤+
，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin
2
x π
，
∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 而2017＝4×504+1，
∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018； （Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12
sin x m π
=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，
即为函数y ＝sin
2
x π
的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．
在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：
①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点； ③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点． 综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点； ③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．
【点睛】
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
30．（1）()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π.
【解析】 【分析】
（1）根据图像得A=2,利用
412562T πππω=-=，求ω值，再利用6
x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值. 【详解】
（1）由图知，2,A =415624
2=T ππππ
ω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π
=
时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
2,3
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，解得2,6k k Z π
ϕπ=+
∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6
π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令26
2
x k π
π
π+
=
+则()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈， 所以()f x 的对称轴方程为()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤
⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，
所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，
()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<
5
22
a ∴≤<
, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()()12f x f x =，有122266x x ππ
π+++=，
故123
x x π
+=.
【点睛】
本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．。