10第十章含有耦合电感的电路

注：互感的测量方法：
L顺 L1 L2 2M L反 L1 L2 2M
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
M L顺 L反 4
••
•
２. 异侧相联 I1 I2 I3
U13 jL11 jM2
U23 jL22 jM1
U13 jM3 j(L1 M )1
U23 jM3 j(L2 M )2
和周围的介质磁导率有关。
二、互感电压 直流产生互感而不产生互感电压。
u12
d12 dt
d dt
(
Mi2
)
M
di2 , dt
u21
d21 dt
。。 。。 ➢➢uu若 则12==uu为可12*12正得++juuω去弦1221 L电耦1 路电路UUu••j12如M图jj2IU•：2LL12cIoI•1•2s互(jj感tMM抗I•Iu2•1)j((ω12))+uL-12
一次侧 (R1 jL1)1 jM2 U1 二次侧 jM1 (R2 jL2 RL jXL )2 0
➢ 令Z11 Z22 R2
R1
jL1 jL2
R(一L 次 回jX路L(阻二抗次)回; 路Z阻M抗)。jMI•2
;
➢则 •
•
Z •
I
•
1
U1
Z11
2 M
Y22
Z11
其中Y11=1/Z11；
)
2 Y22
Z11
➢ 同理可得二次侧等效电路
（图b） ： 一次侧电流为
+• -U1
•
•
Z •
I2
ZMY11U1
Z22
2 M
Y11
R2
jL2
jMY11 U1 RL jXL (M )2Y11
(M )2Y22
图a Z•
eq I2
• 图中等效电阻
Zeq R2 jL2 (M )2Y11
RL
M di1 i1 Mdt i2
* * + (3)
N1
N2u2
- (4)
•
jM I1
•
•
I1
•
I2
•
⑴
U1
⑵
⑶
U2
⑷
这种去耦方法称为受控电源等效法。
三、同名端
•当一对施感电流从同名端流入(或流出)时,互感起增强作用， 即M前取“+”。 •但同名端只与线圈绕向有关！ •同名端是一种标记法，以相同符号在图中标注，如
•
•
( jL 3 jM13 Z3 ) I 3 US1
•
•
( jM12 jM13 ) I1 ( Z2 jM 2 jM 23 ) I 2
•
•
( jL 3 jM 23 Z3 ) I 3 US2
回路法：
•
•
•
•
•
Z1 Ia [jωL 1Ia jωM12 Ib jωM13 (Ia Ib )]
➢可得去耦等效电路为
—jＭ
３
1
2异
L1 M
L2 侧
i1
i2 相
i3
联
3
j(L1+ M) １
j(L2+ M) 2
例：求输入阻抗Z（ω=1 rad/s）
1H
2H
1H
1Ω等效电路 0H
1H 1Ω
Z (1 j1) // j1 0.2 j0.6 Ω 1H
例 求： 稳态 R1=开1路Ω电，压L1=u1。H，L2=2H，M=0.5H，is 10 2 cos t A
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
u11
L1
di1 dt
( L1
Ψ 11 i1
)
u21
M 21
di1 dt
(M 21
Ψ 21 i1
)
L1：线圈1的自感系数；
M21：线圈1对线圈2的互感系数，单位：H 。
注：
①从能量角度可以证明，对于线性电感M12=M21=M 总为正；
②互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数、相互位置
的节点电压可能是几个支路电流的多元函 数，不能以节点电压简单地写出有互感的 支路点流的表达式。 关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的 正负号，不要漏项。
支路法：
•
•
•
I1
I •
2
I3
•
•
•
Z1 I1 ( jL 1I1 jM12 I 2 jM13 I 3 )
•
•
•
•
•
( jL 3I 3 jM13 I1 jM 23 I 2 ) Z3 I 3 US1
1和2是一对同名端！
四、耦合系数K
def
K
12 • 21
M
1
11 22
L1L2
K=1, M是max K=0, M=0
1
2 表示两线圈
表示两
i1
紧密交叠（全
i2 耦合）。
线圈互 不相干(垂 直排列)。
2
i2
1
i1
➢K的大小与两线圈的结构、相对位置以及周围磁 质有关；改变K的大小即改变了M的大小。
• 互感现象的利与弊：利用——变压器：信号、功 率传递;避免——由于互感的存在，电子电路中 许多电感性器件之间存在着不希望有的互感场干 扰，这种干扰影响电路中信号的传输质量，可以 合理布置线圈相互位置减少互感作用加以克服。
§10-1 互感
一、 互感
11
21
N1
N2
i1
+ u11 – + u21 –
解：做出去耦等效电路
•
设 IS 1000 A
is
R1
u L1 M L2
XL1 = L1=1Ω，XM = M = 0.5Ω
_
•
•
I L1
R1
R1 jXL1
•
Is
5Байду номын сангаас
245
A
•
•
U 2M jX M I L1 2.5 245 V
•
I S R1
I L1
+
- U jXL1
jXL2 •
jXM •
+U 2M -
Φ→
i→。 N1 *。 。 N2。*
(1)
(2) (3) (4)
。 N1 。 。N2 。
a
bc
d
➢则：1、3和a、d为同名端；2、3和a、c为异名端。
➢上图的电 。 (1) M 。(3)
**
路符号为：
N1
N2
。 (2)
。(4)
. a 。 M 。c
N1
b。
.N2
。d
➢ 同名端的判断：
例1：判断下列线圈的同名端。
•
•
U U 2M 2.5 245 2.5 2 135 V
即 u 5cos(t 135) V
例
I1
+
US1
_ 分析：
Z1
M12
• L1
L2 •
Z2
Ia
M13
*
L3 M23 Ib
*
Z3 I3
I2
+
_US 2
支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压可
以直接计入KVL方程中。 节点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接
S2
0
jMI&1I&2*
(R2
j
L2
)
I
2 2
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jMI2 I1*
••
jM
I1
I
* 2
注意
线圈1中互感电压耦合的复功率 线圈2中互感电压耦合的复功率
①两个互感电压耦合的复功率为虚部同号，而实 部异号，这一特点是耦合电感本身的电磁特性 所决定的；
②耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功 率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是 互感M非耗能特性的体现。
第十章 含有耦合电感的电路
➢概述：本章主要学习互感、变压器等 有关电磁电路。
互感现象的应用和危害
• 互感现象在电工电子技术中有着广泛的应用，变 压器就是互感现象应用的重要例子。
• 变压器一般由绕在同一铁芯上的两个匝数不同的 线圈组成，当其中一个线圈中通上交流电时，另 一线圈中就会感应出数值不同的感应电动势，输 出不同的电压，从而达到变换电压的目的。利用 这个原理，可以把十几伏特的低电压升高到几万 甚至几十万伏特。如高压感应圈、电视机行输出 变压器、电压、电流互感器等。
M12
• L1
L2 •
*
M13 L3 M23 *
L1–M12 L2–M12
*
L3+M12
M13
M23
*
L1–M12 –M13 +M23 L2–M12 +M13 –M23 L3+M12 –M13 –M23
*10.3 耦合电感的功率
当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的 磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过 变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从 耦合电感一边传输到另一边。
•
•
•
•
•
•
•
[jωL 3(Ia Ib ) jωM13 Ia jωM 23 Ib ) Z3 (Ia Ib ) US1
•
•
•
•
•
Z2 Ib [jωL2 Ib jωM12 Ia jωM 23 (Ia Ib )]
•
•
•
•
•
•
•
[ jωL3 (Ia Ib ) jωM13 Ia jωM 23 Ib ) Z3 (Ia Ib ) US2
当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通，同
时，有部分磁通穿过临近线圈2。当i1为时变电流时，
磁通也将随时间变化，在线圈两端产生感应电压。
当i1、u11、u21方向与 符合右手定则时，根据电
磁感应定律和楞次定律：
u11
dΨ11 dt
N1
dΦ11 dt
u21
dΨ21 dt
N2
dΦ21 dt
u11：自感电压； u21：互感电压； ：磁通链。
j(L1 L2 2M ) I jL I ➢等效电感 L L1 L2 2M 如图
+
•
I
反向串联
jωL 去耦
•
-
U
2. • U
反向串联(反接)
•
•
u=u1+• u2
jL1•I jM I jL2 I jM
•
I
j(L1 L2
•
2M ) I
jL I
➢等效电感 L L1 L2 2M
•
(Z1 jL 1 j2M13 jL3 Z3 ) Ia
•
•
( jL 3 jM12 jM13 jM 23 Z3 ) Ib US1
•
( jL 3 jM12 jM13 jM 23 Z3 ) Ia
•
•
( Z2 jL 2 j2M 23 jM 3 Z3 ) Ib US2
此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对消):
一、电路模型
• 两耦合线圈绕在同一
个非铁磁材料制成的 +
心子上；
•
U1－
• 一次回路（一次侧）：
接电源，也称为原边、
初级回路；
•
I1
R1
•
I2
+
R2
RL
•
jL1
jL2
U2
jX L
－
jM
• 二次回路（二次侧） ：
接负载，也称为副边、 一次回路 次级回路。
二次回路
✓二、电压、电流关系
• 由图可列KVL方程
§10-2 含有耦合电感电路的计算
一、互感线圈的串联
i
i
1. 顺向串联(顺接) u=u1+u2
•相量形式
•
U
•
•
U1U2
•
•
•
•
+ u
-
*
u1
*u2
+ u
-
*u1 *u2
其中
•
U L1 U M 2 U L2 U M 2
•
••
•
UL
•
jL
I
,U •
M
jM •
I
顺向串联
•
U jL1 I jM I j• L2 I j•M I
U1
+
Y (22=M1)/2ZY2222；U•1－
一次侧输入阻抗Z11+(ωM)2Y22;
•
I1 R1
jL1
+
R2
RL
•
jL2
U2
jX L
引入(反映)阻抗(ωM)2Y22,其性
－
质与Z22相反,即容性 感性。
jM
•
•
Z ➢
由
•
I1
U1
Z11
2 M
Y22
U1
Z11 (M •
可得一次侧等效电路（图a）： I1
•
•
•
•
Z2 I2 ( jL 2I 2 jM12 I1 jM 23 I 3 )
整理，得
•
•
•
•
•
( jL 3I 3 jM13 I1 jM 23 I 2 ) Z3 I 3 US2
•
•
•
I1 I 2 I3
•
•
( Z1 jL 1 jM13 ) I1 ( jM12 jM23 ) I2
3'2和3'同时流入电流产生的磁场
方向一致也是一对同名端；
3和1'同时流入电流产生的磁场方向一致，同样也是
一对同名端。
例3：判断下图两线圈的同名端。已知在开关S闭合 时，线圈2两端所接电压表的指针正偏。
S 1* M
+
－US
＋ uL 1－'
2* 分析： 实验测定法！
+ 开关S闭合时，电流由零增 2'V－正偏大线由圈11流之向间1存'在，互由感于，线所圈以2与
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注意
③耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电 压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影 响、性质是相同的，即，当M起同向耦合作用 时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感 中的磁能增加；当M起反向耦合作用时，它的 储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减 少。
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§10-4 变压器原理
*
i1 1
1’· 1
i2 分析：假设电流同时由1和2流入，
2
两电流的磁场相互增强，因此
*
2·2'
可以判断：1和2是一对同名端； 同理，2’和1'也是一对同名端。
例2：判断下列线圈的同名端。
分析：多个线圈必须两两确定！
1· 2
*
1'
Δ
2·'
*
Δ
3 1和2'同时流入电流产生的磁场 方向一致是一对同名端；
例 求图示电路的复功率
j M
+ I1 R1
**
R2
•
I2
US
j L1
j L2
–
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j M
+ I1 R1
**
R2
•
I2
US
j L1
j L2
–