高三数学纠错练习(7)

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数学纠错练习(7)
1.我们知道若一个边长为a ,面积为S 的正三角形的内切圆半径
23S
r a =
,由此类比,若一个正四面体的一个
面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = . 34V
S
2.如图,有一广告气球,直径为6m ,放在公司大楼的上空,当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC =30°时,测得气球的视角θ=2°,若θ的弧度数很小时,可取sinθ=θ,由此可估计该气球的高BC 约为______.86
3.设f (x )奇函数,当x ≥0时, f (x )=2x -x 2
,若函数f (x )(x ∈[a ,b ])的值域为[1b ,1a
],则b 的最小值
为 .–1
4.若不等式2210843≥k
x y xy
+对于任意正实数x ,y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞,则正整数m 只能取
_______ . 1或2
5.设2()|4|,0,()(),f x x m n f m f n m n =-<<=+若且则的取值范围是_____ .(22,4)
6.在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域{}
()100A x y x y x y =+,≤,且≥,≥,则平面区域
{}()()B x y x y x y A =+-∈,,的面积为 . 1
7.设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪
+-⎨⎪-⎩
≤,
≥,≤,
则22y x u xy -=的取值范围是 .83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 8.设函数()y f x =在(),-∞+∞上满足()(4),(4)(10)f x f x f x f x -=+-=+,且在闭区间[]0,7上,
()0f x =仅有两个根1x =和3x =,则方程()0f x =在闭区间[]2011,2011-上根的个数有 805 .
9. 函数f (x )=sin(ωx +3
π
)(ω>0)在[0,2]上恰有一个最大值和一个最小值,则ω的取值范围是
.713[
,)1212
ππ 10.已知2
2
()|1|f x x x kx =-++. (I )若2k =,求方程()0f x =的解;
(II )若关于x 的方程()0f x =在(02),
上有两个解12x x ,,求k 的取值范围,并证明12
11
4x x +<. (Ⅰ)解:(1)当k =2时, 2
2
()|1|20f x x x x =-++=
① 当2
10x -≥时,x ≥1或x ≤-1时,方程化为22
210x x +-=
解得132x -±=
13012-+<<,舍去,所以13
2
x --=.
②当2
10x -<时,-1<x <1时,方程化为210x +=,解得1
2
x =-
, 由①②得当k =2时,方程()0f x =的解所以132x --=1
2
x =-. (II)解:不妨设0<x 1<x 2<2,
因为22 1 ||1
() 1 ||1
x kx x f x kx x ⎧+->=⎨+≤⎩
所以()f x 在(0,1]是单调函数,故()f x =0在(0,1]上至多一个解, 若1<x 1<x 2<2,则x 1x 2=-1
2
<0,故不符题意,因此0<x 1≤1<x 2<2. 由1()0f x =得1
1
k x =-
, 所以1k ≤-; 由2()0f x =得2212k x x =-, 所以7
12
k -<<-; 故当7
12
k -
<<-时,方程()0f x =在(0,2)上有两个解. 因为0<x 1≤1<x 2<2,所以1
1k x =-
,2
2221x kx +-=0 消去k 得 2
121220x x x x --=
即212112x x x +=, 因为x 2<2,所以
12
11
4x x +<. 11.已知椭圆E :22
184x y +=的左焦点为F ,左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心,圆C 恰好经过坐标原点O ,
设G 是圆C 上任意一点. (1)求圆C 的方程;
(2)若直线FG 与直线l 交于点T ,且G 为线段FT 的中点,求直线FG 被圆C 所截得的弦长; (3)在平面上是否存在一点P ,使得
1
2GF GP =?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由.
解.(1)由椭圆E :22
184x y +=,得l :4x =-,(4,0)C -,(2,0)F -,
又圆C 过原点,所以圆C 的方程为
22
(4)16x y ++=.………………………………4分 (2)由题意,得
(3,)
G G y -,代入22
(4)16x y ++=,得15G y =±
所以FG 的斜率为15k =FG 的方程为15(2)y x =+, …………………8分 (注意:若点G 或FG 方程只写一种情况扣1分) 所以(4,0)C -到FG 的距离为
15
d =
,直线FG 被圆C 截得弦长为215216()7
2-=.
故直线FG 被圆C 截得弦长为7.…………………………………………………………10分
(3)设(,)P s t ,00(,)G x y ,则由12GF GP =22
00
2200(2)1
2()()x y x s y t ++=
-+-,
整理得22
2200003()(162)2160
x y s x ty s t +++++--=①,…………………………12分

00(,)
G x y 在圆C :22
(4)16x y ++=上,所以2200080x y x ++=②,
②代入①得
2200(28)2160
s x ty s t -++--=, …………………………14分
又由
00(,)
G x y 为圆C 上任意一点可知,
22280,
20,160,s t s t -=⎧⎪
=⎨
⎪--=⎩
解得4,0s t ==.
所以在平面上存在一点P ,其坐标为(4,0).。

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