2021届高三数学“小题速练”(新高考)含答案解析03(教师版)

关注公众号《品数学》，获取更多干货！
2021届高三数学“小题速练”3
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项符合题目要求．）
1. 已知集合{1,3,4,5}A =，集合2{}450|B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】C
【解析】由2450x x --<，解得15x -<<，所以{}0,1,2,3,4B =，所以{}1,3,4A B ⋂=，所以A B ⋂的子集个数为328=，故选C ．
2. 已知函数g （x ）=3x +t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为 A. t≤–1 B. t<–1 C. t≤–3 D. t≥–3
【答案】A
【解析】由指数函数性质，可得函数g （x ）=3x +t 恒过点坐标为（0，1+t ），函数g （x ）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A ．
3. 在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ，1x ，2x …n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线y=3?x+1-上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. -3
B. 0
C. -1
D. 1
【答案】C 【解析】
因为所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线31y x =-+上，所以回归直线方程是31y x =-+，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点()(),1,2,..,i i x y i n =，都在直
关注公众号《品数学》，获取更多干货！
线上，则有1,r =∴相关系数
1r =-，故选C.
4. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角
,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为2
22222142a c b S a c ⎡⎤
⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
，若2sin 5sin a C A =,22
()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ）
A .
3 B.
3
C.
1
2
D. 2
【答案】D
【解析】2sin 5sin a C A =，25a c a =，5ac =,因为22
()16a c b +=+，
所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC 的面积为2
2165242⎡⎤
⎛⎫
-=⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
. 故选:D.
5. 如图是当σ取三个不同值1σ，2σ，3σ时的三种正态曲线，那么1σ，2σ，3σ的大小关系是（ ）
A. 1320σσσ>>>
B. 1320σσσ<<<
C. 1230σσσ>>>
D. 1230σσσ<<<
【答案】D
【解析】
由图可知，三种正态曲线的μ都等于0
由μ一定时，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，则1230σσσ<<< 故选：D
6. 设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若
2334
n n S n T n -=+，则5
5a b =（ ） A.
7
19
B.
1531
C.
1734
D.
1937
【答案】B
【解析】】
数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，
()()191955191955
99922922a a S a a a a b b T b b b b ++∴====++. 9595231515,,343131
n n S S a n T n T b -=∴=∴=+. 故选：B .
7. 双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，且2F 恰好为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一
个交点为A ，若212AF
F F =，则双曲线C 的离心率为（
）
A. 1
+ B. 1+ C. 2+
D. 2
【答案】A
【解析】2F 为抛物线2
4y x =的焦点，
()210F ∴，，()110F -，
2122AF F F ==，故A 点坐标为()12，或()12-，
1AF ==则22a =
解得1a =
，又1c =
1
c e a
=
==, 故选A
8. 设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()
30f x f x x
'+
<，则函数()()3
1
g x f x x =-
的零点个数为（ ） A. 3 B. 2
C. 1
D. 0
【答案】D
【解析】设()()3
1F x x f x =-，则()()()()()3
2
3
33f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤
'''=+=+
⎢⎥⎣
⎦
. 当0x ≠时，()()
30f x f x x
'+
<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点，
故()()()331F x g x f x x x
=-
=也没有零点. 故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）
9. 在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，
其中分组的区间为)[4050，
，)[5060，，)[6070，，)[7080，，)[8090，，[90]100，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 成绩在)[7080，
的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000 C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分
【答案】ABC
【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[7080，）的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；
成绩在[4060，）的频率为0.01100.015100.25⨯+⨯=，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B
正确；
考生竞赛成绩的平均分约为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；
因为成绩在[4070，）的频率为0.45，在[7080，）的频率为0.3，
所以中位数为0.05
701071.670.3
+⨯≈，故D 错误. 故选ABC.
10. 已知函数()()sin 0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>⎛
⎫
< ⎪⎝
>⎭
，
，
其图像相邻的两条对称轴之间的距离为
2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，则下列结论正确的是（ ）. A. 函数()f x 的图像关于直线5π
12
x =
对称 B. 当,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦时，函数()f x
的最小值为2
- C.
若65f πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭
，则44
sin cos αα
-的值为45- D. 要得到函数()f x 的图像，只需要将(
)2g x x =的图像向右平移6
π
个单位 【答案】BD
【解析】由题知：函数()f x
，所以A =因为函数()f x 图像相邻的两条对称轴之间的距离为
2
π， 所以
22
T π=，2T π
πω==，2ω=，(
)()2 f x x ϕ=+.
又因为()f x 的图像关于点π,012⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称，
所以 =0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-=-+，6k ππϕ-+=，k Z ∈.
所以6
k π
ϕπ=
+，k Z ∈.因为2
π
ϕ<
，所以6
π
=
ϕ. 即(
)2 6f x x π=
+⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.
对选项A
，0512f ππ==⎫
⎪⎝⎭
≠⎛A 错误.
对选项B ，,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，
当π
π266x
时，()f x 取得最小值2
-， 故B 正确.
对选项C ，sin(2)2625f ππααα⎛⎫
-=-==
⎪⎝⎭
， 得到3
cos 25
α=
. 因为(
)()4
4
22
22
3sin cos sin cos sin cos cos 25
ααααααα-=+-=-=-， 故C 错误. 对选项D ，
()
2g x x =的图像向右平移
6
π
个单位得到
222263236y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
故D 正确. 故选：BD
11. 在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A. 0AB AC AD +-=
B. 0DA EB FC ++=
C. 若
3||||||
AB AC AD AB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18
【答案】BCD
【解析】 如图所示：
对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误. 对选项B ，111
()()()222
DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-
+-+-+ 111111
222222
AB AC BA BC CA CB =------
111111
0222222
AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确.
对选项C ，
||AB AB ，||AC AC ，||
AD
AD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：
||||
AB AC
AB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为
3||||||
AB AC AD
AB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：
BA 在BC 的投影为cos BD BA B
BA
BD BA
，
所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：
因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线，
设(1)BP tBA t BD ，01t ≤≤.
又因为1
2BD BC =
，所以(1)2
t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12t
t λμ=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
，01t ≤≤.
令21111()2228
t
y t
t ， 当12
t =
时，λμ取得最大值为1
8.故选项D 正确.
故选：BCD
12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为
{}n g ，则下列结论正确的是( )
A. 20192g =
B. ()()()()2
2
2123222022210f f f f f f -+-=
C. 12320192688g g g g ++++=
D. 222
21232019201820202f f f f f f ++++=
【答案】AB
【解析】对于A 选项：
12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，
，
所以数列{}
n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确； 对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g +++
+=⨯=，故C 选项错误；
对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，
所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()2
2121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()22
2123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确；
对于D 选项：
()2
12+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()2
22312321f f f f f f f f =-=-，
()233423432f f f f f f f f =-=-，
，
()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

所以222
21232019f f f f +++
+
()()()()122312343220182019201820172019202020192018+++++f f f f f f f f f f f f f f f f f f =----
20192020f f =，故D 选项错误；
故选：AB.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知()()7
210ax a ->的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为______.
【答案】128
【解析】由题意，通项为：7777177
()(1)(1)k k k k k k k
k T C ax a C x ----+=-=-， 由于()()7
21
0ax a ->的展开式中第6项的系数为-189，
则第六项系数为：5752
7
(1)189a C --=-，解得：3a =， 故该二项式为27(31)x -，
令1x =得展开式各项系数的和为：72128=． 故答案为：128．
14. 已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.
【答案】
75
512
【解析】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有6
4444⨯⨯⨯=种不同的取法.
恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1,
三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 113321
4
5
22
1240C C A C A ⨯=种， 三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 22
3534
22
11360C C A A ⨯⨯=种， 由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240360600+=种取法，
所以恰好取6次卡片时停止的概率为: 660075
4512
P =
=， 故答案为：
75
512
15. 已知直线21y x =+与圆22210x y ax y ++++=交于A 、B 两点，直线20mx y ++=垂直平分弦AB ，则m 的值为____________，弦AB 的长为____________.
【答案】 (1).
12 (2). 【解析】由题意可知，直线20mx y ++=与直线21y x =+垂直，()21m ∴⨯-=-，可得1
2
m =
， 由于方程22210x y ax y ++++=表示的曲线为圆，则222410a +-⨯>，解得0a ≠，
且圆22210x y ax y ++++=的圆心坐标为,12a ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
，圆心在直线240x y ++=上， 所以，()21402
a
-
+⨯-+=，解得4a =， 所以，圆的方程为2
2
4210x y x y ++++=，即()()22
214x y +++=， 圆心坐标为()2,1--，半径长为2，
圆心到直线210x y -+=的距离为d =
=
因此，AB ===.
故答案为：
12；5
. 16. 在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为______．
【答案】
823
π
【解析】
如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设
AB AC x ==，那么4DB DC x ==-, AB BD ⊥,所以22AD AB DB =+．由题意，体积的最小值即
为AD 最小，22(4)AD x x =+-，所以当2x =时，AD 的最小值为22，所以半径为2，故体积的
最小值为
823
π
．。