静电场中的导体与电介质习题课

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静电场中的导体和介质习题课
全部分布在外表面。 （2）连接后电荷 ＋q全部分布在外表面。 ）连接后电荷Q＋ 全部分布在外表面
Q+q U1 = U 2 = 4πε 0 R3
（3）内球接地，U1＝0。内球带电 ´，外球壳内表面－ q´， ）内球接地， 。内球带电q´ 外球壳内表面－ ´ 外表面Q＋ ´ 外表面 ＋ q´，
− q′ Q + q′ U1 = + + =0 4πε 0 R1 4πε 0 R2 4πε 0 R3 R1 R2Q q′ = R1 R2 + R3 ( R2 − R1 )
U 2 = −∫
R1 R2
q′
− q′( R2 − R1 ) Edr = ∫ dr = R2 4πε r 2 4πε 0 R1 R2 0
静电场中的导体和介质习题课
例：计算机键盘的键结构如图。按键连有一可移动的金属片。 计算机键盘的键结构如图。按键连有一可移动的金属片。 下面是一固定的金属片，中间是软的绝缘介质（ ）。两 下面是一固定的金属片，中间是软的绝缘介质（εr＝2）。两 ）。 块金属片就构成一个平板电容器。当键按下时， 块金属片就构成一个平板电容器。当键按下时，电容器的电容 发生变化，与之相连的电路就能检测出哪一个键被按下， 发生变化，与之相连的电路就能检测出哪一个键被按下，从而 给出相应的信号。设金属片面积为50mm2，两金属片间距 给出相应的信号。设金属片面积为 0.6mm。如果电路能检测出的电容的变化是 。如果电路能检测出的电容的变化是0.25pF，那么需要 ， 将键按下多大的距离才能给出必要的信号？ 将键按下多大的距离才能给出必要的信号？ 解：按键前电容 C = ε r ε 0 S 1 d ε rε 0 S 按键后电容 C2 = d − ∆d
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四、电介质 均匀介质中的场强
E = E0 +E ′
E < E0
E=
E0
εr
加均匀介质的电容器的电容
C = ε r C0
电位移矢量
D = ε r ε 0 E = εE
有介质的高斯定理
Q
∫ D ⋅ dS = ∑ q
-Q
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五、电场的能量 电容器电场的能量
∴ ∆C =
ε rε 0 S
d − ∆d
−
ε rε 0 S
d
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∴ ∆d = 1+
ε rε 03 (m)
练习：电介质的相对介电常数是材料的重要参数之一。利用平 练习：电介质的相对介电常数是材料的重要参数之一。 行板电容器可测定材料的相对介电常数。现有BaTiO2样品，厚 样品， 行板电容器可测定材料的相对介电常数。现有 度为d＝ × 度为 ＝5×10－3m，面积 ＝ 7.85×10－5m2，把样品放入平行 ，面积S＝ × 板电容器，用交流电桥测得电容值C＝ 板电容器，用交流电桥测得电容值 ＝873pF。求此材料的相 。 对介电常数。 对介电常数。
q 4πε 0l q 4πε 0l q′
+ +
∫ dq′ = 4πε l 4πε R
0 0
1
q
∫ dq′ 4πε R
0
1
4πε 0 R
=0
R ∴ q′ = − q l
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练习：半径为 的导体球被内外半径分别为 的导体球被内外半径分别为R2和 的同心导 练习：半径为R1的导体球被内外半径分别为 和R3的同心导 体球壳包围。设内球壳带电q，球壳带点Q， 体球壳包围。设内球壳带电 ，球壳带点 ，求（1）电势分布， ）电势分布， 作U-r图。（ ）使球壳接地，电势为零，求电势分布。 图。（2）使球壳接地，电势为零，求电势分布。
E=
q 4πε 0 r
2
,
U=
q 4πε 0 r
导体球内（不论空心还是实心） 导体球内（不论空心还是实心）: 电场E为零。 电场 为零。 为零 电势U不为零，导体是等势体， 电势 不为零，导体是等势体，球内一点电势等于球表面的电 不为零 势。
U=
q
4πε 0 R
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2、同心导体球套球壳场中一点的电势可用叠加法。 、同心导体球套球壳场中一点的电势可用叠加法。 例：习题10.6, （1）求两球的电势 1和 习题 ） 两球的电势U U2；（ ）若用导线连接球和球壳，求 ；（2）若用导线连接球和球壳， 电势；（ ；（3） 电势；（ ）若（1）的情形下将内球接 ） 地，求U1和 U2。 解一：（1）由静电感应，球壳内表面带电 ， 解一： ）由静电感应，球壳内表面带电-q， 外表面电荷为Q＋ 。由叠加原理， 外表面电荷为 ＋q。由叠加原理， 内球： 内球：取球心 U1 = 外球： 外球：取球壳中一点
U1 = ∫ E ⋅ dr = ∫ E内dr + ∫ E外dr
R1 R3
R2
∞
=∫
R2
R1
q+Q dr + ∫ dr 2 2 R3 4πε r 4πε 0 r 0 q
∞
1 1 q+Q = ( − )+ 4πε 0 R1 R2 4πε 0 R3 q
外球： 外球：取球壳外表面一点
U2 = ∫
q+Q q+Q E ⋅ dr = ∫ E外dr = ∫ dr = R3 R3 4πε r 4πε 0 R3 0
Q C= U
Q C= ∆U
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孤立导体球的电容
C = 4πε 0 R
真空中平行板电容器的电容 C = 真空中球形电容器的电容 电容器的串联 电容器的并联
ε 0S
d
RA RB C = 4πε 0 RB − RA 1 1 1 1 = + +⋯ C C1 C2 CN C = C1 + C2 + ⋯ + C N
R1
q′
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习题10.4 求：(1)球内各点电势 (2) 例: 习题 球内各点电势 若把金属球壳接地，球上的感应电荷q´ 若把金属球壳接地，球上的感应电荷 ´。 解：
(1) U o = U q + U i = (2) U o = U q + U i′ = = q 4πε 0l +
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【基本概念和规律】： 基本概念和规律】
一、导体静电平衡条件 导体内部场强为零。导体是等势体，导体表面是等势面。 导体内部场强为零。导体是等势体，导体表面是等势面。 内部场强为零 等势体 导体表面附近场强垂直于表面。 导体表面附近场强垂直于表面。 二、导体静电平衡时导体上电荷的分布 导体上的电荷分布在外表面。 导体上的电荷分布在外表面。导体表面附近场强为σ/ε0。 导体表面曲率半径大，表面上电荷面密度小。 导体表面曲率半径大，表面上电荷面密度小。导体表面曲率 半径小，表面上电荷面密度大。 半径小，表面上电荷面密度大。 三、电容和电容器
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练习： 之间的等效电容。 练习：求a和b之间的等效电容。 和 之间的等效电容
1.0 4.0 3.0 4.0 4.0
a
6.0 8.0 2.0
b ＝a
8.0 8.0
b
1 Q2 1 1 W= = QU = CU 2 2 C 2 2
电场的能量密度 电场的能量
1 1 1 w = ε 0ε r E 2 = DE = D ⋅ E 2 2 2 W = ∫ wdV
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【解题指导】： 解题指导】
一、静电场中的导体问题 基本依据：导体静电平衡条件；电荷守恒；高斯定理。 基本依据：导体静电平衡条件；电荷守恒；高斯定理。 1、均匀带电导体球（壳）内外一点的场强和电势 、均匀带电导体球（ 导体球外： 导体球外：
−q Q+q + + 4πε 0 R1 4πε 0 R2 4πε 0 R3 q q −q
Q+q Q+q U2 = + + = 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 R3 4πε 0 R3
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解二：知道电荷分布， 解二：知道电荷分布，也用电势定义计算 内球： 内球：取内球外表面一点
练习：一无限大的导体平板置于电场强度为E0 的均匀电场中。 练习：一无限大的导体平板置于电场强度为 的均匀电场中。 求平板上感应电荷的面密度。 求平板上感应电荷的面密度。 A B
E0
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二、静电场中的介质问题 求电介质中的场强，一般用有介质时的高斯定理先求 ， 求电介质中的场强，一般用有介质时的高斯定理先求D，再求 E。 。 三、电容和电容器 电容器充满介质后，其电容为真空时的εr倍。 电容器充满介质后，其电容为真空时的 四、电场能量 先考虑能否将问题看成电容器的能量问题，用电容器能量公 先考虑能否将问题看成电容器的能量问题， 式求解。若不行，再考虑用电场能量密度积分计算能量。 式求解。若不行，再考虑用电场能量密度积分计算能量。