应用随机过程第3章习题简答

iu
Yk
k
n
) (Y1 (u )) n
所以特征泛函：
Z (t ) (u ) E[ E (eiuZ (t ) | N (t ))] E[(Y (u )) N (t ) ] (Y (u )) k m(t )k m ( t )(Y1 ( u ) 1) 。 e k!
进而在时刻 s,t 的协方差函数：
Z ( s, t ) RZ ( s, t ) Z ( s) Z (t ) E ( N ( s))Var (Y1 ) Var (Y1 ) (u)du, ( s t )
0
s
由于： E (e
iuZ ( t )
| N (t ) n) E (e
（1）E (T ) (t R) f S1 (t )dt ( s W ) f S1 (t )dt = (W R 1/ )e s ( R 1/ ) 。
0 s
s

d ( E (T )) (W R 1/ )e s ds d ( E (T )) 当 W < 1/λ+ R 时， 0 ，平均到家时间是 s 的增函数，所以（1）的 ds 期望时间在 s=0 时最小； d ( E (T )) 当 W > 1/λ+ R 时， 0 ，平均到家时间是 s 的减函数，所以（1）的 ds
（1） P{ X (3) 5} e 3
(3 )5 ； 5!
P{ X (2) 5, X (3) X (2) 0} P{ X (3) 5} e2 (2 )5 e 2 5! ( )5 ； 5 (3 ) 3 e3 5!
（ 3 ） P{ X (2) 5 | X (3) 5}
0 s1 s2 s3 。 other
5.公交车按速率为λ的泊松过程达到某个车站。某人从车站上车开始估计到 家需要时间 R，而步行回家的时间是 W。它的策略是：到达车站时等待一段时 间 s，若在此时间内公交车还未到达，则步行回家。 （1）计算他到家的平均时间。 （2）证明：若 W < 1/λ+ R，则（1）的期望时间在 s=0 时最小；若 W > 1/
i 1 i 1 n n
（3）计算，当 N (t ) 1 时，事件属于过程 {N1 (t ), t 0} 的概率。 利用特征函数证明（2） （1）T 是泊松过程 {N (t ) N i (t ), t 0} 的第 1 个事件到达的时刻，所以它
i 1 n
服从参数为 i 的指数分布。

Yk )]}
E ( N ( s)) E (Y12 ) E ( N 2 ( s) N ( s))( EY1 ) 2 E ( N ( s)) E ( N (t ) N ( s))( EY1 ) 2 E ( N ( s)) E (Y12 ) [ E ( N ( s)) E ( N (t )) E ( N ( s))]( EY1 ) 2
n
0 s1 s2 other
sn
。
恰是区间 (0,T) 上均匀分布的相互独立的随机变量 U1,U2,…,Un 的顺序统计量的 联合分布，故而有： E ( Si ) E ( U i ) 。
i 1 i 1 n
记X
N (T ) i 1
则X (T S ) ，
i N (T ) i 1
n
T 1 nT 2 2
1 1 1 进而 E ( X ) E[ E ( X | N (T ))] E[ N (T )T ] ( T ) E ( N (T )) T 2 。 2 2 2
11. 假设题 10 中在时刻 T 前的某个时刻 s 增加一般汽车，证明如果 s = T/2，那 么在时刻 T 前到达车站的所有乘客的平均总等待时间最小。
(t ) 的非时齐泊松过程，则 Z (t ) Yk 是强度函数为 (t ) 的非时齐泊松过程。
k 1
N (t )
首先计算条件期望： E[ Z (t ) | N (t ) n] E ( Yk ) nE (Y1 ) ，进而复合泊松过程
k 1
n
在时刻 t 的期望函数：
Z (t ) E ( Z (t )) E{E[ Z (t ) | N (t )]} E ( N (t )) E (Y1 ) E (Y1 ) ( s)ds 。
1 i
n
i 2
( j )te
j 1
n
(
j )t
j 1
n

1

j 1
n
。
j
3. 设某电话总机在 t 分钟内接到呼叫的次数 { X (t ), t 0} 是速率为 的泊松过 程，求： （1）3 分钟内接到 5 次呼叫的概率； （2）3 分钟内接到 5 次呼叫条件下，第 5 次呼叫在第 3 分钟到达的概率； （3）3 分钟内接到 5 次呼叫条件下，5 次呼唤都在前 2 分钟内到达的概率； （4）3 分钟内接到 5 次呼叫，且第 5 次呼叫在第 3 分钟到达的概率。
13.设 {N (t ), t 0} 是强度函数为 (t ) 的非时齐泊松过程，令 N * (t ) N ( 1 (t )) ，证 明 {N * (t ), t 0} 是速率为 1 的泊松过程。
15.求非时齐复合泊松过程在时刻 t 的期望、在时刻 s,t 的协方差、特征泛函。 解：设 {Yn } 是独立同分布序列， {N (t ), t 0} 是一个与 {Yn } 独立的强度函数为
2. 设 {Ni (t ), t 0}(i 1, 2,
, n) 是速率分别为 i (i 1, 2,
,n )的相互独立的泊
松过程。记 T 为全部 n 个过程中第 1 个事件到达的时刻。 （1）求 T 的分布； （2）证明： {N (t ) N i (t ), t 0} 是速率为 i 的泊松分布；
1 0 0 ti 令： t2 s2 s1 ， 则 | J || ( )33 | 1 1 0 1 s j 0 1 1 t3 s3 s2
t1 s1
故而： S n X i，n=1,2,3 的联合密度为：
i 1
n
3e s3 f ( S1 , S2 , S3 ) ( s1 , s2 , s3 ) f ( X1 , X 2 , X 3 ) ( s1 , s2 s1 , s3 s2 ) 0
[ E ( N ( s)2 ) E 2 ( N ( s))] E ( N ( s)) E ( N (t )) Var ( N ( s)) N ( s) N (t ) s(t 1)
N (s, t ) RN (s, t ) N (s)N (t ) s, (s t )
0
t
同理复合泊松过程在时刻 s,t 的自相关函数：
RZ (s, t ) E (Z (s)Z (t )) E{E[Z (s)Z (t ) | N (t )]} ,(s t )
E[( Yk )2 ] {E[( Yk )]}{E[(
k 1 k 1 N (s) N (s) N (t ) k N ( s ) 1
表示发车前所有顾客的总候车时间， 其条件期望为：
n n
E ( X | N (T ) n) E[ (T Si ) | N (T ) n] E[ (T Si )] nT E ( Si )
i 1 i 1
nT E ( U i ) nT n
i 1
F( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) P{ X1 t1 , X 2 t2 , X 3 t3} i 1(1 e ti )
3
( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合密度为：
f ( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) 3e (t1 t2 t3 )
（2） 期望时间在 s=∞时最小； 而 W = 1/λ+ R 时， E (T ) R 1/ ，即任意 s 值都给出相同的期望时间。 （3）s=0 表示不等公交车、直接步行回家，而 s=∞则表示无条件等车、一 定搭公交车回家。 10.设公交车在时刻 T 发车，而乘客按速率为λ的泊松过程来到车站。证明
其中 Y1 (u ) 是 Y1 的特征函数，而 m(t)是 {N (t ), t 0} 的均值函数。
17.令 { X (t ), t 0} 是一个复合泊松过程，即 X (t ) Yk 。假设 Yk 只能取有限个可
k 1
N (t )
能的值。论证对于总分大的 t， X (t ) 渐进于正态。 证明：Yk 只能取有限个可能的值，所以其期望与方差存在，写出其特征函数 的泰勒展开式，进而由 15 题，写出 X (t ) 的特征函数，与正态分布的特征函数对 比。 21.（Yule 过程）连续时间马尔科夫链。
随机过程_第 3 章泊松过程习题简答
教材 P16 习题 2，4,5,10,11,13,15,17,21
4. 计算泊松过程前三个事件到达时刻 S1,S2,S3 的联合分布。 解：设事件到达的时间间隔为 { X n , n 0} ，则有 X n 独立同分布于参数为λ的 指数分布，进而， ( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合分布函数为：
λ+ R，则它在 s=∞时最小（即应该继续等车） ；而 W = 1/λ+ R 时，一切的 s 值
给出相同的期望时间。 （3）对为什么只需考虑 s=0 和 s=∞的情形给出一个直观解释。 解：将某人到达车站的时刻记为 t=0 时刻，则第 1 辆公交车到达的时刻
S1
S R S1 s E ( ) ，依他的策略，他到家的时间 T 1 。 s W S1 s
2 （2） P{T5 2 | X (3) 5} 1 P{ X (2) 5 | X (3) 5} 1 ( ) 5 ； 3 （3）
P{T5 2, X (3) 5} P{ X (2) k , X (3) 5} P{ X (2) k , X (3) X (2) 5 k}
第 3 章补充作业
1. 设 {N (t ), t 0} 是速率为 的泊松过程，请计算其均值函数、自相关函数与
协方差函数。
N (t ) E ( N (t )) t ，
RN (s, t ) E ( N (s) N (t )) E{N (s)(( N (t ) N (s)) N (s)]} ,(s t )
1 在发车前所有顾客的总候车时间的平均值是 T 2 。 2
证明：设 {N (t ), t 0} 表示时刻 (0,t) 内来到车站的乘客人数，则在 N (T ) n 的条 件下，乘客到达时刻 S1,S2,…,Sn 的联合密度函数为
f ( s1 , s2 ,
n !/ T n , s3 ) 0
1 解： 由题 10， 在时刻 s 前到达车站的乘客的平均总等待时间为 s 2 ， 在 ( s, T ] 2 1 之间到达的乘客的平均总等待时间为 (T s) 2 。故而在时刻 T 前到达车站的所有 2 1 乘客的平均总等待时间为： D( s) (T 2 2sT 2s 2 ) 。 2 1 易证，当 s = T/2 时， D( s) 取得最小值 T 2 。 4
i 1
n
（3）
P{N1 (t ) 1| N (t ) 1}
P{ N1 ( t ) 1, N ( t ) 1} P{ N ( t ) 1}

P{ N1 ( t ) 1, Ni ( t ) 0,i 2,3, , n} P{ N ( t ) 1}

1te t e t