3.3 等比数列及其前n项和

17 2 D.
解析 a1 = ∴
a2 , q
a3=a2q,a4=a2q2
S4 1 1 15 2 ∴ = 1+ + q + q = 1+ + 2 + 4 = . a2 q 2 2
2.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为 A.1 C.1或1 − 2
1 − 2
C （
1 2
1.已知等比数列{an}中，a3 = 3 , S3 = 4 1 , 求a1.
2
2
解 当q=1时，a = a = a = 3 , 1 2 3
2
满足 S3 = 4 1 , 2
2 3 a1q = 2 当q≠1时，依题意有 a1 (1 − q 3 ) 1 =4 , 1− q 2
∴c2 = 3 1 1 1 − = , c2 = c1. 4 2 4 2
∴数列{cn}是首项为 1 公比为 1 的等比数列. 2 2
∴ cn = 1 1 n−1 1 n •( ) = ( ) . 2 2 2
10分
1 1 1 方法二 由（1）bn = (− ) • ( ) n−1 = −( ) n . 2 2 2 1 n ∴ an = −( ) + 1. 2
解得 q 2 = 1 , a1=6.综合可得： = 3 或a1=6 a1 4 2
2.设数列{an}是等差数列，a5=6. （1）当a3=3时，请在数列{an}中找一项am,使得a3,a5,am成 等比数列； （2）当a3=2时，若自然数n1,n2,…,nt,… （t∈N*）满足 N 5<n1<n2<…<nt<…使得a3,a5,an ,an ,…,ant ,…是等比数列，
n n(n − 1) S n = a1n + (n − 1)d = 100n + × 50 = 3 250. 2 2
解此方程，得n=10（年）. （2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1(1+0.1)10， 第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+0.1）9， ……， 第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+0.1), 第10年后的木材量依次构成数列{bn},则其和为 T=b1+b2+…+b10 =200×1.110+300×1.19+…+1 100×1.1 ≈10（万立方米）. 探究拓展 月日 数列应用问题是考查分析问题、解决问题的 好素材.它要求有较强的阅读理解能力，捕捉信息的能力和归 纳抽象的能力.
1 1 ∴ cn = −( ) n + 1 − − ( ) n−1 + 1 2 2
1 n−1 1 n 1 n−1 1 = ( ) − ( ) = ( ) (1 − ) 2 2 2 2
1 = ( ) n (n ≥ 2). 2
1 1 n c 又 c1 = a1 = 也适合上式， n = ( ) . 2 2
等比数列问题的基本方法：在a1,q,n,an,Sn五个量中，知 三求二. 3.分类讨论的思想：当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时，{an}为递 增数列；a1<0,q>1或a1>0,0<q<1时，{an}为递减数列；当 q<0时，{an}为摆动数列；当q=1时，{an}为常数列. 失误与防范 1.特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况. 2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列，还要验 证a1≠0. 3.Sn+m=Sn+qnSm.
5.( 2008·浙江理 浙江理，6）已知{an}是等比数列,a2=2, a5 = 1 , 则 浙江理
4
a1a2+a2a3+…+anan+1等于 A.16（1-4-n）
32 C. (1 − 4−n ) 3
（C ） B. 16（1-2-n）
32 (1 − 2−n ) D. 3
a5 1 3 Q 解析 = q = , q = 1 , ∴ an • an+1 • ( 1 ) n−1 a2 8 2 2
3.等比中项若 G2=a·b
,那么G叫做a与b的等比中项.
4.等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am· qn-m ,（n，m∈N*）. N
（2）若{an}为等比数列,且k+l=m+n，（k，l，m,n∈N*）， N 则 ak·al=am·an .
1 an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}， ,
一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8an的剩余面积92an另一部分是新绿化的12bn所以21?a即是以为首项为公比的等比数列则25354112921???????nnnnaaaa5354531????nnaa????????53na51?54221554551553501??????1?nnna1314555555nna???则当n4时不等式恒成立
题型二
等比数列的判定与证明
（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意 n∈N*有an+Sn=n. N （1）设bn=an-1,求证：数列{bn}是等比数列； （2）设c1=a1且cn=an-an-1 (n≥2)，求{cn}的通项公式. 【思维启迪 思维启迪】首先由已知条件得到数列{an}中项之间的关 思维启迪 系，再根据数列{bn}、{cn}与{an}中项的关系判断或求解. (1)证明 由a1+S1=1及a1=S1得 证明 又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得 an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1. ∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.
题型四
等比数列的应用
某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林， 第一年植树100亩,计划每年比上一年多植树50亩(全部成活) （1）问需要几年，可将此山全部绿化完？ （2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然 增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S， 求S约为多少万立方米？（精确到0.1） 【思维启迪 思维启迪】 将问题合理转化为等差、等比数列模型. 思维启迪 解 （1）每年植树的亩数构成一个a1=100，d=50以的等差 数列，其和即为荒山的总亩数. 设需要n处可将此山全部绿化，则
①当 a2 =
2 时，q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3. 3
1 q ②当a2=6时， = , an=2×33-n 3
∴an=2×3n-3或an=2×33-n. 探究拓展
a1 (1 − q n ) （1）等比数列{an}中，an=a1qn-1, S n = 1− q
中有五个量，可以知三求二；（2）注意分类讨论的应用.
（ B ）
解析 ∵等比数列中隔一项的符号相同 解析
b = −3 = − (−1) × (−Biblioteka Baidu) .
∴ac=b2=9. 4.在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，则a2a8等于（ D ） A.16 B.6 C.12 D.4 解析 由a1a3a11=8 ⇒ a13q12 =8(q为公比）， 即a1q4=2,∴a2a8=(a1q4)2=4.
探究拓展 证明数列{an}是等比数列一般有两种方法： （1）定义法：an+1=qan (n∈N*,q是常数)； N （2）等比中项法： 2 = an·an+2 (n∈N*,an+1≠0). N an 根据已知条件来确定用哪一种方法.
题型三
等比数列的性质
在等比数列{an}中，求a1+a2+a3+a4+a5=8且
a3 2 a2 = = , a4=a3q=2q， q q
2 30 ∴ + 2q = . q = 1 9 2 3
解得 q = 1 , q2=3. 1
3
①当 q = 1 a1=18,
3
1 n−1 18 ∴ an = 18 × ( ) = n−1 = 2 × 33−n. 3 3
②当q=3时，1 = 2 , a
1 ∴ ∵{an}是等比数列， a n
也是等比数列，公比为 .
a 1 (1 − q 5 ) = 8 1− q , 由已知条件得 1 (1 − 1 ) q5 a1 = 2 1− 1 q
1 q
解得, q 4 a2
1
= 4,
2 ∴ a3 = (a1q2 ) = 4, ∴a3=±2.
）
B.
−
D.-1或
解析 当公比q=1时，an2 3=7,S3=21满足条件； 解析 =a
a1q = 7 1 3 q=− . , a1 (1 − q ) 2 1 − q = 21 解得 当公比q≠1时，有
3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 A.b=3,ac=9 C.b=3,ac=-9 B.b=-3,ac=9 D.b=-3,ac=-9
方法与技巧 1.等比数列的判定方法有以下几种： a （1）定义： n+1 = q (q是不为零的常数,n∈N*){an}是等比 N an 数列. (2)通项公式：an=cqn (c、q均是不为零的常数,n∈N*){an} N 是等比数列. (3)中项公式: a 2 N = an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*) n +1 {an}是等比数列. 2.方程观点以及基本量（首项和公比a1,q）思想仍然是求解
§ 3.3
等比数列及其前n 等比数列及其前n项和
要点梳理 1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一 ,那么这个数列叫做等比数 的比等于同一个常数（不为零） 列,这个数列叫做等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= a1·qn-1 . ,
1 1 ∴数列{bn}是以 b1 = a1 − 1 = − 为首项， 为公比的等比数 2 2 列. 6分 （2）解 方法一 由（1）知2an+1=an+1. ∴2an=an-1+1 (n≥2), ∴2an+1-2an=an-an-1, ∴2cn+1=cn (n≥2). 8分
3 1 又 c1 = a1 = , a2+a1+a2=2, ∴a2 = . 2 4
{ }
2 n
an a , {an • bn }, ,（λ≠0）仍是等比数列. bn
5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q，（q≠0），其前n项和为Sn，当q=1
a1 (1 − q n ) a1 (q n − 1) a1q n a 时，Sn=na1；当q≠1时， Sn = = = − 1 . 1− q q −1 q −1 q −1
方法二 由已知得：
1 1 1 1 1 a1 + a5 a2 + a4 a3 + + 2 + + + + = a1a5 a2a4 a3 a1 a2 a3 a4 a5
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 8 = = 2 = 2. 2 a3 a3
∴a = 4, ∴a3=±2.
2 3
探究拓展 在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条 件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”, 可以减少运算量，提高解题速度.
1 n • 4 • ( ) = 25−2 n , 故a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=23 2
+ 21 + 2−1 + 2−3 + … + 25−2 n 1 ) 32 n 4 = (1 − 4−n ). = 1 3 1− 4 8(1 −
题型一
等比数列的基本量
已知{an}为等比数列，求{an}的通项公式. 【思维启迪 根据等比数列的定义、通项公式及性质建立 思维启迪】 思维启迪 首项,公比的方程组. 解 方法一 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，
1 1 1 + + = 2, 求a3 a3 a4 a5
1 1 + + a1 a2
【思维启迪 思维启迪】（1）由已知条件可得a1与公比q的方程组， 思维启迪 解出a1、q，再利用通项公式即可得a3. （2）也可利用性质a23=a1·a5=a2·a4直接求得a3. 解 方法一 设公比为q,显然q≠1,
6.等比数列前n项和的性质 等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比 数列，其公比为 qn .
基础自测 1.（2008·海南 宁夏理 海南、宁夏理 海南 宁夏理，）设等比数列{an}的公比q=2,前n
S4 项和为Sn,则 等于 a2 A.2 15 C. 2
（C ） B.4
9
2 n−1 ∴ an = × 3 = 2 × 3n−3. 9
∴an=2×33-n或an=2×3n-3. 方法二 由a3=2,得a2a4,又 a2 + a4 = 则a2a4为方程 x 2 −
20 , 3
20 x + 4 = 0 的两根， 3
2 a2 = 解得 3 a4 = 6
a2 = 6 或 2. a4 = 3