无锡地区2018年中考选择填空压轴题专题1：代数式的求值问题

专题01 代数式的求值问题
例1．观察下列等式：21
＝2,22
＝4,23
＝8,24
＝16,25
＝32,26
＝64,…,根据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22017
的末位数字是 （ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
同类题型1.1计算：21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25
－1＝31,…归纳各计算结果中的个位数
字规律，猜测22016
－1的个位数字是 （ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．5
同类题型1.2观察下列算式31＝332＝933＝2734＝8135＝24336＝72937
＝2187…根据上述算式中的规
律，你认为32018
的末位数字是 （ ）
A ．3
B ．9
C ．7
D ．1
例2．下列定义一种关于n 的运算：①当n 是奇数时，结果为3n ＋5②n 为偶数时结果是n
2
k (其中k
是使n
2
k 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n ＝26，则…，若n ＝449,则第449次运算
结果是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．7
D ．8 同类题型2.1定义一种对正整数n 的“F ”运算：
①当n 为奇数时，结果为3n ＋5;②当n 为偶数时，结果为 n 2k (其中k 是使n
2
k 为奇数的正整数），并
且运算重复进行．例如，取n ＝26，那么当n ＝26时，第2016次“F 运算”的结果是________．
同类题型2.2对于任意正整数n ，定义"n !!"如下：当n 是偶数时,n !!＝n ﹒(n －2)﹒(n －4)…6﹒4﹒2,当n 是奇数时,n !!＝n ﹒(n －2)﹒(n －4)…5﹒3﹒1,且有n !＝n ﹒(n －1)﹒(n －2)…3﹒2﹒1则有四个命题：
①(2015!!)﹒(2016!!)＝2016!
②2016!!＝22018
×1008! ③2015!!的个位数是5 ④2014!!的个位数是0 其中正确的命题有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例3．一列数a 1,a 2,a 3,…满足条件：a 1＝12,a n ＝1
1－a n －1
(n ≥2,且n 为整数），则a 2017等于
（ ）
A ．－1
B ．1
2
C ．1
D ．2
同类题型 3.1一列数a 1,a 2,a 3,…满足条件：a 1＝12,a n ＝1
1－a n －1
(n ≥2,且n 为整数），则
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝________．
同类题型 3.2 x 1、x 2、x 3、…x 20是20个由1,0,－1组成的数，且满足下列两个等式：①x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 20＝4，②()x 1－12
＋()x 2－12
＋()x 3－12
＋…＋()x 20－12
＝32，则这列数中1的个数为 （ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14 例4．设△ABC 的面积为1．
如图1，分别将AC ,BC 边2等分,D 1,E 1是其分点，连接AE 1,BD 1交于点F 1,得到四边形CD 1F 1E 1,其面积
S1＝1 3．
如图2，分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点，连接AE2,BD2交于点F2,得到四边形CD2F2E2,其
面积S2＝1 6;
如图3，分别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分点，连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形
CD3F3E3,其面积S3＝1 10;
…
按照这个规律进行下去，若分别将AC,BC边(n＋1)等分，…，得到四边形CD n F n E n,其面积S n＝________．
同类题型4.1庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1＝
1 2＋1
22
＋
1
23
＋…＋
1
2n
＋…．
图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°,过点C作CC1⊥AB于点C1,再过点C1作C1C2⊥BC于点C2,又过点C2作C2C3⊥AB于点C3,如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△C n－2C n－1C n、…．假设AC＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是________________________________．
同类题型4.2 如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为________．
例5．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的
（）
A．
a
a＋b
B．
b
a＋b
C．
h
a＋b
D．
h
a＋h
4.2图
例5图 5.1图
同类题型5.1如图，一个啤酒瓶的高度为30cm ，瓶中装有高度12cm 的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm ，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为________．（瓶底的厚度不计）
同类题型5.2一艘轮船往返甲、乙两港之间，第一次往返航行时，水流速度为a 千米/时，第二次往返航行时，正遇上发大水，水流速度为b 千米/时（b ＞a ），已知该船在两次航行中的静水速度相同，则该船这两次往返航行所用时间的关系是 （ ）
A ．第一次往返航行用的时间少
B ．第二次往返航行用的时间少
C ．两种情况所用时间相等
D ．以上均有可能
例6．若x ＋1x ＝3，求x
2
x 4＋x 2＋1
的值是
（ ）
A ．18
B ．110
C ．12
D ．14
同类题型6.1 已知a ，b ，c 满足|2a －4|＋|b ＋2|＋(a －3)b 2
＋a 2
＋c 2
＝2＋2ac ，则a －b ＋c 的值为
（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
同类题型6.2已知a ，b ，c 满足a 2＝ b －c 3＝ a ＋c
5 ，则a ＋c 2a ＋b
的值为
（ ）
A ．12
B ．34
C ．1
D ．2
参考答案
例1．观察下列等式：21
＝2,22
＝4,23
＝8,24
＝16,25
＝32,26
＝64,…,根据这个规律，则
21＋22＋23＋24＋…＋22017
的末位数字是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 解：∵21
＝2,22
＝4,23
＝8,24
＝16,25
＝32,26
＝64,…, ∴2017÷4＝504…1, ∵(2＋4＋8＋6)×504的末尾数字是0, ∴21
＋22
＋23
＋24
＋…＋22017
的末位数字是2，
选B ．
同类题型1.1计算：21
－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25
－1＝31,…归纳各计算结果中的个位数
字规律，猜测22016
－1的个位数字是（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．5 解：∵21
－1＝1,22
－1＝3,23
－1＝7,24
－1＝15， 25－1＝31,26－1＝63,27－1＝127,28
－1＝255…
∴由此可以猜测个位数字以4为周期按照1,3,7,5的顺序进行循环， 知道2016除以4为504,而第4个数字为5， 所以可以猜测22016
－1的个位数字是5．
选D ．
同类题型1.2观察下列算式31＝332＝933＝2734＝8135＝24336＝72937
＝2187…根据上述算式中的规
律，你认为32018
的末位数字是（ ） A ．3 B ．9 C ．7 D ．1
解：以3为底的幂的末位数字是3,9,7,1依次循环的， 2018÷4＝504…2, 所以32018
的个位数字是9， 选B ．
例2．下列定义一种关于n 的运算：①当n 是奇数时，结果为3n ＋5②n 为偶数时结果是n
2k (其中k
是使n
2k 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n ＝26，则…，若n ＝449,则第449次运算
结果是（ ） A ．1 B ．2 C ．7
D ．8
解：第一次：3×449＋5＝1352,
第二次：1352
2
k ,根据题意k ＝3时结果为169;
第三次：3×169＋5＝512,
第四次：因为512是2的9次方，所以k ＝9，计算结果是1； 第五次：1×3＋5＝8；
第六次：8
2k ,因为8是2的3次方，所以k ＝3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．
因为449是奇数，所以第449次运算结果是8． 选D ．
同类题型2.1定义一种对正整数n 的“F ”运算： ①当n 为奇数时，结果为3n ＋5;
②当n 为偶数时，结果为 n 2k (其中k 是使n
2k 为奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如，取n ＝26，那么当n ＝26时，第2016次“F 运算”的结果是________．
解：根据题意，得
当n ＝26时，第1次的计算结果是26
2＝13，
第2次的计算结果是13×3＋5＝44，
第3次的计算结果是44
22＝11，
第4次的计算结果是11×3＋5＝38， 第5次的计算结果是38
2＝19，
第6次的计算结果是19×3＋5＝62， 第7次的计算结果是62
2＝31，
第8次的计算结果是31×3＋5＝98， 第9次的计算结果是98
2
＝49，
第10次的计算结果是49×3＋5＝152,
第11次的计算结果是152
2
3＝19，以下每6次运算一循环，
∵(2016－4)÷6＝335…2,
∴第2016次“F 运算”的结果与第6次的计算结果相同，为62， 故答案为：62．
同类题型2.2对于任意正整数n ，定义"n !!"如下：当n 是偶数时,n !!＝n ﹒(n －2)﹒(n －4)…6﹒4﹒2,当n 是奇数时,n !!＝n ﹒(n －2)﹒(n －4)…5﹒3﹒1,且有n !＝n ﹒(n －1)﹒(n －2)…3﹒2﹒1则有四个命题：
①(2015!!)﹒(2016!!)＝2016!
②2016!!＝22018
×1008! ③2015!!的个位数是5 ④2014!!的个位数是0
其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解：根据题意，依次分析四个命题可得：
对于①,(2015!!)﹒(2016!!)＝(2﹒4﹒6﹒8…2008﹒2010﹒2012﹒2014﹒2016)﹒(1﹒3﹒5﹒7…2009﹒2011﹒2013﹒2015)＝1﹒2﹒3﹒4﹒5…﹒2012﹒2013﹒2014﹒2015﹒2016＝2016!,故①正确； 对于②,2016!!＝2﹒4﹒6﹒8﹒10…2008﹒2010﹒2012﹒2014﹒2016＝21008
(1﹒2﹒3﹒4…1008)＝21008
﹒1008!,故②正确；
对于③,2015!＝2015×2011×2009×…×3×1,其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位数字为5，故正确；
对于④,2014!!＝2﹒4﹒6﹒8…2008﹒2010﹒2012﹒2014,其中含有10，故个位数字为0，故正确； 选D ．
例3．一列数a 1,a 2,a 3,…满足条件：a 1＝12,a n ＝1
1－a n －1(n ≥2,且n 为整数），则a 2017等于（ ）
A ．－1
B ．12
C ．1
D ．2
解：∵a 1＝12,a n ＝1
1－a n －1,
∴a 2＝11－a 1
＝1
1－12＝2，
a 3＝11－a 2＝11－2＝－1， a 4＝
11－a 3＝11－(－1)＝12
, …
∴这列数每3个数为一循环周期， ∵2017÷3＝672…1, ∴a 2017＝a 1＝12,
选B ．
同类题型 3.1一列数a 1,a 2,a 3,…满足条件：a 1＝12,a n ＝1
1－a n －1(n ≥2,且n 为整数），则
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝________．
解：∵a 1＝12,a n ＝1
1－a n －1,
∴a 2＝11－a 1
＝1
1－12＝2，
a 3＝11－a 2＝11－2＝－1， a 4＝
11－a 3＝11－(－1)＝12
, …
∴这列数每3个数为一循环周期， ∵2017÷3＝672…1, ∴a 2017＝a 1＝12
,
又∵a 1＋a 2＋a 3＝12＋2－1＝3
2
,
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝672×32＋12＝10081
2．
答案为10081
2
．
同类题型 3.2 x 1、x 2、x 3、…x 20是20个由1,0,－1组成的数，且满足下列两个等式：①x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 20＝4，②()x 1－12
＋()x 2－12
＋()x 3－12
＋…＋()x 20－12
＝32，则这列数中1的个数为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
解：∵x 1、x 2、x 3、…x 20是20个由1,0,－1组成的数，
且满足下列两个等式：①x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 20＝4，②()x 1－12
＋()x 2－12
＋()x 3－12
＋…＋()x 20－12
＝32，
∴－1的个数有8个，则1的个数有12个． 故选C ．
例4．设△ABC 的面积为1．
如图1，分别将AC ,BC 边2等分,D 1,E 1是其分点，连接AE 1,BD 1交于点F 1,得到四边形CD 1F 1E 1,其面积S 1＝13
．
如图2，分别将AC ,BC 边3等分,D 1,D 2,E 1,E 2是其分点，连接AE 2,BD 2交于点F 2,得到四边形CD 2F 2E 2,其面积S 2＝16
;
如图3，分别将AC ,BC 边4等分,D 1,D 2,D 3,E 1,E 2,E 3是其分点，连接AE 3,BD 3交于点F 3,得到四边形CD 3F 3E 3,其面积S 3＝1
10
;
…
按照这个规律进行下去，若分别将AC ,BC 边(n ＋1)等分，…，得到四边形CD n F n E n ,其面积S n ＝________．
解：如图所示，连接D 1E 1,D 2E 2,D 3E 3,
∵图1中,D 1,E 1是△ABC 两边的中点， ∴D 1E 1∥AB ,D 1E 1＝1
2
AB ,
∴△CD 1E 1∽△CBA ,且D 1E 1BF 1＝D 1E 1AB ＝1
2,
∴S △CD 1E 1＝14S △ABC ＝1
4,
∵E 1是BC 的中点， ∴S △BD 1E 1＝S △CD 1E 1＝1
4,
∴S △D 1E 1F 1＝13S △BD 1E 1＝13×14＝1
12,
∴S 1＝S △CD 1E 1＋S △D 1E 1F 1＝14＋112＝1
3,
同理可得：
图2中,S 2＝S △CD 2E 2＋S △D 2E 2F 2＝19＋118＝1
6,
图3中,S 3＝S △CD 3E 3＋S △D 3E 3F 3＝116＋380＝1
10
,
以此类推，将AC ,BC 边(n ＋1)等分，得到四边形CD n E n F n ,
其面积S n ＝1(n ＋1)2＋1(n ＋1)2
×n ×11＋n ＋1＝2
(n ＋1)(n ＋2), 答案为2
(n+1)(n+2)
．
同类题型4.1庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1＝
12＋ 122＋ 12
3＋…＋ 1
2n ＋…．
图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C ＝90°,∠B ＝30°,过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1,再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2,又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3,如此无限继续下去，则可将利△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n －2C n －1C n 、…．假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是________． 解：如图2，∵AC ＝2,∠B ＝30°,CC 1⊥AB ,
∴Rt △ACC 1中,∠ACC 1＝30°,且BC ＝23, ∴AC 1＝1
2AC ＝1,CC 1＝3AC 1＝3,
∴S △ACC 1＝12﹒AC 1﹒CC 1＝12×1×3＝3
2;
∵C 1C 2⊥BC ,
∴∠CC 1C 2＝∠ACC 1＝30°,
∴CC 2＝12CC 1＝32,C 1C 2＝3CC 2＝3
2,
∴S △CC 1C 2＝12﹒CC 2﹒C 1C 2＝12×32×32＝32×3
4,
同理可得， S △C 1C 2C 3＝32×⎝⎛⎭⎫342, S △C 2C 3C 4＝32×⎝⎛⎭
⎫343, …
∴S △Cn －2C n －1C n ＝
32×⎝⎛⎭⎫34n －1
, 又∵S △ABC ＝12AC ×BC ＝1
2×2×23＝23,
∴23＝32＋32×34＋32×⎝⎛⎭⎫342＋32×⎝⎛⎭⎫343＋...＋32×⎝⎛⎭⎫34n －1＋ (23)
32⎣⎡⎦
⎤1＋34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －1＋⎝⎛⎭⎫34n
＋…． 答案为23＝
32⎣⎡⎦
⎤1+34+⎝⎛⎭⎫342+⎝⎛⎭⎫343+…+⎝⎛⎭⎫34n-1+⎝⎛⎭⎫34n
+…．
同类题型4.2 如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为________．
解：记原来三角形的面积为s ，第一个小三角形的面积为s 1,第二个小三角形的面积为s 2,…,
∵s 1＝14﹒s ＝1
22﹒s ,
s 2＝14﹒14s ＝1
2
4﹒s ,
s 3＝1
26﹒s ,
∴s n ＝122n ﹒s ＝122n ﹒12﹒2﹒2＝1
22n －1,
答案为1
2
2n －1．
例5．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）
A ．
a a ＋b
B ．b a ＋b
C ．h a ＋b
D ．
h a ＋h
解：设规则瓶体部分的底面积为S 平方厘米． 倒立放置时，空余部分的体积为bS 立方厘米， 正立放置时，有墨水部分的体积是aS 立方厘米， 因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的
as as ＋bs ＝a
a ＋b
． 选A ．
同类题型5.1如图，一个啤酒瓶的高度为30cm ，瓶中装有高度12cm 的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm ，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为________．（瓶底的厚度不计）
解：设瓶的底面积为S cm 2
，则左图V 水＝12S cm 3，右图V 空＝10S cm 3， ∵V 瓶＝V 水＋V 空＝22S cm 3， ∴V 水：V 瓶＝6：11． 故答案为6
11
．
同类题型5.2一艘轮船往返甲、乙两港之间，第一次往返航行时，水流速度为a 千米/时，第二次往返航行时，正遇上发大水，水流速度为b 千米/时（b ＞a ），已知该船在两次航行中的静水速度相同，则该船这两次往返航行所用时间的关系是（ ） A ．第一次往返航行用的时间少 B ．第二次往返航行用的时间少 C ．两种情况所用时间相等 D ．以上均有可能
解：设两次航行的路程都为S ，静水速度设为v ，
第一次所用时间为：S v ＋a ＋S v －a ＝2vS
v 2－a 2
第二次所用时间为：S v ＋b ＋S v －b ＝2vS
v 2－b 2
∵b ＞a ，∴b 2
＞a 2
， ∴v 2－b 2＜v 2－a 2
∴2vS v 2－b 2＞2vS v 2－a 2 ∴第一次的时间要短些． 选A ．
例6．若x ＋1x ＝3，求x
2
x 4＋x 2＋1 的值是（ ）
A ．1
8
B ．110
C ．12
D ．14
解：∵x ＋1
x
＝3，
∴（x ＋1x ）2 ＝9，即x 2
＋1x 2 ＝9－2＝7，
∴x 4
＋x 2
＋1x 2
＝x 2＋1＋1
x 2 ＝7＋1＝8， ∴x 2x 4＋x 2＋1＝18 ． 选A ．
同类题型6.1 已知a ，b ，c 满足|2a －4|＋|b ＋2|＋(a －3)b 2
＋a 2
＋c 2
＝2＋2ac ，则a －b ＋c 的值为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解：∵已知a ，b ，c 满足|2a －4|＋|b ＋2|＋(a －3)b 2＋a 2＋c 2＝2＋2ac ， ∴|2a －4|＋|b ＋2|＋(a －3)b 2＋a 2＋c 2－2ac ＝2，…①
且(a －3)b 2 必有意义，
又∵b 2 ≥0，
∴a －3≥0
①当a －3＞0时，|2a －4|＞2，
有|2a －4|＋|b ＋2|＋(a －3)b 2＋a 2＋c 2－2ac ＞2，
则这与①式相矛盾，即a －3＞0不成立；
②当a －3＝0时，a ＝3，则
|2a －4|＋|b ＋2|＋(a －3)b 2＋a 2＋c 2－2ac ＝2＋|b ＋2|＋0＋（c －3）2 ＝2， |b ＋2|＋（c －3）2 ＝0，
又∵|b ＋2|≥0，（c －3）2 ≥0，
∴必有b ＋2＝0，c －3＝0
即：b ＝－2，c ＝3
∴a －b ＋c ＝3－（－2）＋3＝8
选D ．
同类题型6.2已知a ，b ，c 满足a 2＝ b －c 3＝ a ＋c 5 ，则a ＋c
2a ＋b 的值为（
）
A ．12
B ．34
C ．1
D ．2
解：设a 2＝b －c 3＝a ＋c 5 ＝k ，则a ＝2k ①，b －c ＝3k ②，a ＋c ＝5k ③．
①＋②＋③得：2a ＋b ＝10k ．
∴a ＋c
2a ＋b ＝5k
10k ＝12 ．
选A ．。