相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）
（平行）
B
（不平行）
（二）8字型、反8字型
B
C
B
C
（蝴蝶型）（平行）（不平行）
（三）母子型
B
（四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
（五）一线三直角型：
（六）双垂型：
相似三角形判定的变化模型
旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展
享性
B
一线三等角的变形一线三直角的
1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA•OE．
2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：
①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；
④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．
其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）
3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．
求证：（1）DB2=DE•DA；
（2）∠DCE=∠DAC．
4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．
5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．
6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE．
8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．
（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；
（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．
9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：
（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．
10．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．
11．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．
①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；
②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．
13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．
（1）求证：△MEF∽△BEM；
（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
（3）若EF⊥CD，求BE的长．
15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当时，求BP的长．
16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，
（1）写出图中与△BEF相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）若AE=1，试求△GMN的面积．
17．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP 交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，
（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；
（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE
交射线AC于点F．
（1）求AC和BC的长；
（2）当EF∥BC时，求BE的长；
（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．
（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；
（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；
（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，
EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；
（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．
21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不
含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）
（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；
（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）
（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
证明：∵AD∥BC，∴=，又BE∥CD，∴，∴，即
又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD，∴=，∴AD2=AE•AB，
=，∴=，整理得：
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，
∵AD=2
cosα=
∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故④正确．
证明：（1）在△BDE和△DAB
，∴
证明：连接AF，
∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即=，∴AF2=CF•BF，即FD2=CF•BF．
解：（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC，∴==，
∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴=．∴AE=2PE．）由△EPD∽△EAP，得==
∵AP=x，∴PD=x，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x．
又∵AB=2，（﹣x x
另解：由△EPD∽△EAP，得==，
∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=×x=x
=×x×2=x，∴=，即=，
∴y=﹣x+x＜．
）由△PEH∽△BAC，得=，∴PE=x=
）当∠BEP=90°时，，∴．解得x=
∴y=﹣x××5+×
y=
∴△AED∽△ACB，∴
AD=
，∴BC=2．
（2）由△ABE∽△DCA，得．∴BE•CD=AB•AC．）知△BDE∽△CFD，∴，
，∴=BE=
∴△CPQ∽△BAP．∴
，∴．
）知
，即
故所求的函数关系式为，（0＜x＜8）．
∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴
，即
，解得：，或
，解得：
∴5：（BP+5）=BP：1，解得：．
∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．∴，即：，∴（1＜x＜4）．
∵△PDQ∽△ECQ，∴，
∵，解得：AP=2或（舍去）．
证明：（1）在梯形ABCD中，
又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC，∴△EMB∽△MFC，∴
∵MC=MB，∴
=，∴=，即
=，即
的中位线，∴MF=GB
又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴==，∴=1
∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=；
BH=，EH=MH=，，∴BE=
解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=．MN==FN，FC=﹣2
，即，得．
中，AD∥BC，AB=DC
∴∠BEP=∠FPC，∴△BEP∽△CPF，∴．∴
（
②当点F在线段
，∴．
，∴x
使
，∴．
∵△BEP∽△CPF，∴．∴．∴
∴当
，∴AM=，∴CN=
∵AC=AM+MN+CN，∴3=，∴y=（1≤x≤3）AM=，
∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；
，，
∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；
﹣（，或∴y=（x≥1）×1×=
∵x=4，∴y==﹣FN=4×﹣1×=
×=
）解：∵PE⊥CP，∴可得：△EAP∽△PDC，∴
又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=﹣，0＜x＜3；
则：相似比为2：1，∴，
，∴PE=，PC=2，∴EC=
∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=，
=，，
OA=AF =，
中，∠C=90°
∵，∴设AC=3k，BC=4k，∴AB=5k=5，∴k=1，∴AC=3，BC=4；∵∠FDE=∠C=90°∴△EFD∽△FDC∴
解得，∴
1°，∴
解得，∴
2°，∴，即解得，∴．
的长为或
，∴AB=
，∴AD=，DB=．
AG=EG=BH=FH=，
易证△DGE∽△FHD，∴
OM=．
若以CE为直径的圆与直线AB相切，则，
解得
∴当
，
x
∴y=×4×x=x＜x≤
OG=OB=×=（
∴OD=
若两圆外切，则可得BC+AE=OD
=4[x=
BC AE|=OD
=4[x
（舍去）的长为
EB=
EH=，∴x=2．∴y=×2=．
②当∠BEF为钝角时，同理可求得x﹣=x，
∴x=8．∴y=×8=的面积是或．
在Rt△BCH中，，∴，（1分）；
=
中，
即42=（2+3k）2+（4k）2，解得：；
，即
，
∴；。