高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.3.1圆幂定理学案新人教B版选修4-1(2021学年)

２017-20１8学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1．３.1 圆幂定理学案新人教B版选修4-1
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1.3.１圆幂定理
［对应学生用书P2５]
[读教材·填要点]
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2．切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
3.圆幂定理
已知⊙（Ｏ,r）,通过一定点P,作⊙O的任一条割线交圆于A,B两点,则PA·PB为定值,设定值为k，则：
（１)当点P在圆外时,ｋ=ＰO2-r2,
(2）当点P在圆内时,k＝r2－OP2,
(3）当点P在⊙O上时,k＝0。

[小问题·大思维]
1.从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系?
提示:相等.
2.从圆外一点引圆的切线,则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆?若共圆，圆的直径是什么？
提示:四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点,直径为圆外一点到原圆心的距离.
[对应学生用书P26］
相交弦定理的应
用
[例1］ 如图,AB 、C Ｄ是半径为ａ的圆Ｏ的两条弦，它们相交于AB 的
中点P ,PD =错误!a ，∠OAP =３0°,求CP 的长．
[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用.解决本题需要先在R ｔ△OAP 中,求得AP 的长，然后利用相
交弦定理求解.
[精解详析] ∵P 为ＡＢ的中点， ∴由垂径定理得ＯP ⊥ＡB 。

在Ｒｔ△ＯＡP 中,BP ＝ＡP ＝a cos30°=错误!a 。

由相交弦定理，得BP ·AP =ＣP ·DP , 即错误!2
=ＣP ·错误!a ,解之得CP ＝错误!a .
在实际应用中,若圆中有两条相交弦,要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
1.如图,已知AB 和A Ｃ是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与ＡＣ的延长线相交于点D 。

过点
C 作B
D 的平行线与圆相交于点
E ,与AB 相交于点
F ，ＡF ＝3,FB =1，EF ＝错误!,则线段ＣD 的长
为__＿___＿_.
解析：因为AF ＝3,E Ｆ＝错误!，F Ｂ=1， 所以CF =错误!＝错误!＝2,
因为EC ∥BD ,所以△A ＣＦ∽△ADB ，
所以A ＦA Ｂ=CF BD ＝AC ＡD ＝A Ｄ－CD AD
＝＼f(3,4)，
所以BD ＝＼f （ＣＦ·ＡB,AF ）=2×４3＝＼f(8,3)，且ＡD ＝４C Ｄ,
又因为B Ｄ是圆的切线,所以BD 2
＝ＣD ·AD =４ＣD 2
， 所以CD ＝错误!. 答案：＼f(4，3)
切割线定理的应
用
[例2］自圆Ｏ外一点Ｐ引圆的一条切线PA,切点为A,Ｍ为PA的中点,过点M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMＰ=１０0°,∠BPC=40°。

求∠ＭPＢ的大小．
［思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BＭP∽△PMC而后转化角相等进行求解.
［精解详析］因为ＭＡ为圆Ｏ的切线，
所以MA2＝MB·MＣ.
又Ｍ为PA的中点,
所以MP２=ＭB·MC。

因为∠ＢＭP=∠ＰMC,
所以△ＢMP∽△PMＣ，
于是∠MPB＝∠ＭCP.
在△MCP中,由∠ＭＰB＋∠MＣP+∠BPC+∠BMＰ＝１80°，得∠MPＢ＝2０°。

相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题,利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．
2。

(北京高考）如图，AB为圆Ｏ的直径,PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA=３,PD∶DB＝9∶１6,则ＰD＝___＿___＿；AＢ＝________。

解析:设PＤ＝9t,DB=16t,则PＢ＝25ｔ，根据切割线定理得32＝９ｔ×2５
t,解得t=
1
５
,所以PＤ＝
9
5
，PB＝5.在直角三角形AＰＢ中，根据勾股定理得AB＝4。

答案：错误!4
三个定理的综合应
用
[例3］如图所示,已知PA与⊙Ｏ相切,Ａ为切点,PＢＣ为割线，弦CＤ∥AP,ＡＤ、BC相交于E点，Ｆ为CＥ上一点，且DE2=ＥF·EC。

（1）求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证:CE·EＢ＝ＥF·ＥP;
（３）若ＣE∶BE=3∶2,DE=６,EF=4,求PA的长．
[思路点拨] 本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定与性质的综合应用.解答本题需要分清各个定理的适用条件,并会合理利用．
［精解详析］（1)证明:∵ＤE2＝ＥF·EC，
∴DE∶CE＝EF∶EＤ.
∵∠DEF是公共角,∴△DEF∽△CEＤ。

∴∠ＥDF＝∠C。

∵CD∥ＡP,∴∠C=∠P.
∴∠P＝∠ＥDF.
(2)证明：∵∠P＝∠ＥDＦ,∠DEF=∠PＥA,
∴△DEF∽△PＥＡ.
∴DE∶PＥ=EF∶EＡ。

即EF·EP＝ＤE·EA.
∵弦AD、BC相交于点E,
∴DE·ＥＡ=CE·EＢ。

∴CE·EB=EＦ·EP．
（3）∵DE2=EＦ·EC，DE=6,EＦ=4，
∴EＣ=9。

∵ＣＥ∶BE＝3∶２,∴BE＝６。

∵CE·EB=EF·EＰ,
∴9×６＝4×EP.
解得:EＰ=错误!.
∴PB＝PE－ＢＥ=错误!，PＣ=PＥ+ＥC=错误!。

由切割线定理得：ＰA2=ＰB·ＰＣ,
∴PA2=15
2
×＼f（45，2）。

∴PA=＼f（15，2）错误!．
相交弦定理、切割线定理是最重要的定理,在与圆有关的问题中经常用到,这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长,而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系,这两者的结合,往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题.
因此,在实际应用中,见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理.
３.如图所示,过点P的直线与⊙O相交于A，Ｂ两点．若PA＝１,ＡB=2，PO＝３,则⊙O的半径等于___＿_＿__.
解析:设⊙O的半径为ｒ（r>0)，
∵PA=１，AＢ=2,
∴PB＝PA+ＡB＝３。

延长PO交⊙O于点Ｃ,
则PC＝PO+r＝3＋ｒ.
设PＯ交⊙O于点D，则PＤ＝3－r．
由圆的割线定理知,PA·PB=PD·PC,
∴1×3＝（3-r）(3+r），∴９-r2=３，∴ｒ= ＼r(6)。

答案：＼ｒ(6）
[对应学生用书P２7］
一、选择题
１．如右图,⊙Ｏ的直径CD与弦AB交于Ｐ点,若ＡＰ＝4,ＢP=６,CP=3,则⊙O半径为( )
A.5。

5 ﻩＢ．5
Ｃ．6 D．6.５
解析：由相交弦定理知ＡP·PB=CP·PD,
∵AＰ=4，BＰ=6,CP=3,
∴PD=错误!=错误!=8.
∴CＤ＝３+8=11,∴⊙O的半径为5。

５．
答案：Ａ
２.如图,P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB,PＤ,PA＝AB＝错误!，CＤ＝3,则PC等于( ）
A.2或－５ﻩ
B.2
Ｃ．3 ﻩＤ．10
解析:设PC=x,由割线定理知PＡ·PＢ＝ＰC·ＰD。

即5×2 错误!＝ｘ（ｘ＋3)，解得ｘ=2或x＝-5（舍去）.故选B.
答案：Ｂ
3．如图,AD、AＥ和BC分别切⊙Ｏ于D,E,F，如果AD＝2０，则△ABC 的周长为（)
Ａ.20 ﻩ B.3０
C．40 ﻩD．35
解析:∵AD，ＡＥ,BＣ分别为圆O的切线.
∴AE=AD=20,BF=BD，CＦ＝CE.
∴△ＡBＣ的周长为ＡB+AC+ＢＣ＝AB＋AＣ＋ＢF+CF＝(ＡB＋BＤ)+(ＡC+CE)＝ＡD+AE＝40.
答案:C
４．如图,△AＢＣ中,∠C=９0°,⊙O的直径CE在BＣ上,且与AB相切于D点，若CＯ∶OB=1∶3,AD＝2，则BE等于( )
Ａ。

错误!B．2错误!
C．２ﻩD．1
解析：连接OD，则OD⊥BD,
∴Rt△BOD∽Rt△BAC。

∴＼f（ＯD，ＡＣ)＝错误!。

设⊙O的半径为a，
∵OＣ∶OB=1∶3,OE=ＯC,
∴ＢE＝ＥC＝２a。

由题知ＡＤ、ＡＣ均为⊙Ｏ的切线，ＡD＝2，∴AC＝2。

∴＼f(a，２）＝错误!,∴BD＝２a2．
又BD２=ＢE·ＢC,∴BＤ2＝2a·4a=8a2.
∴４a4=8a２，∴a=＼r（2).
∴BE=2a=2错误!.
答案：Ｂ
二、填空题
5．(重庆高考）过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBＣ分别交圆于B,C。

若PA＝6，AC＝8,BＣ=９，则AＢ＝＿__＿_＿＿＿。

解析：如图所示,由切割线定理得PA2=PB·PC=ＰB·(PB＋BC),即62＝ＰB·（PB ＋9），解得PB=３（负值舍去).由弦切角定理知∠PAB＝∠PＣＡ,又∠APB＝∠CPA,故△APB∽△CPA，则错误!=错误!,即错误!=错误!，解得ＡＢ＝4．
答案：4
6．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是ＡＢ延长线上一点,且DF=CＦ＝＼ｒ(２)，AF∶FB∶BE=４∶２∶1.若CE与圆相切，则线段ＣＥ的长为_______＿_＿__．
解析:设ＢE＝x,则FB=2x,AF=４x,由相交弦定理得DＦ·FC＝AＦ·ＦB,即2=8x2,解得x＝
错误!，EA=错误!，再由切割线定理得CＥ2＝EB·EＡ＝错误!×错误!=错误!，所以CE＝错误!.
答案：错误!
７。

如图,⊙O的弦ED、CB的延长线交于点A.若BＤ⊥AE,AB＝4,BC=２,AD＝3,则DＥ＝＿____＿__；CE=______＿_。

解析:由切割线定理知，
ＡＢ·AＣ＝AD·AＥ．
即４×6=3×(3＋DE），解得DE＝5.
∵BD⊥AE，且E、D、Ｂ、C四点共圆,∴∠Ｃ=90°.
在直角三角形ＡCＥ中,ＡC＝6，AE=８,
∴ＣE=６4－3６=27。

答案：5 ２＼r(7）
８．（重庆高考）如图,在△AＢC中，∠C=９0°，∠A=60°,ＡB＝20，过C作△ABＣ的外接圆的切线ＣD,BＤ⊥CD，ＢD与外接圆交于点E,则DＥ的长为_＿_＿___＿．
解析：由题意得BＣ=AB·sｉn 60°＝10错误!。

由弦切角定理知∠BCD＝∠Ａ＝60°，
所以CＤ＝5错误!，ＢD＝15，
由切割线定理知,ＣＤ2＝ＤＥ·BD,则DE=５。

答案：5
三、解答题
9．如图,PＴ切⊙O于T,PAB,PDC是圆O的两条割线，PA=３，PD＝4，PT＝6，ＡＤ=２，求弦CD的长和弦BC的长．
解:由已知可得PT2=PＡ·PB,
且ＰＴ=６,PA=3,∴PB=12。

同理可得PＣ＝9,∴CD=5.
∵PD·PC＝PA·PＢ,∴错误!=错误!，
∴△ＰDA∽△ＰBＣ,
∴＼ｆ（AD，BC）=错误!⇒错误!＝错误!，∴ＢC=６。

1０.如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为ＡO上一点,BＭ的延长
线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于Ｐ.
(1)求证:PM2=ＰA·PC；
(２)若⊙O的半径为2 错误!，OＡ＝错误!ＯM，求ＭN的长．
解：(１）证明:连接OＮ，则ＯN⊥ＰN,且△ＯBN为等腰三角形,则∠OBＮ=∠ONB,∵∠PMN=∠ＯMＢ=９0°－∠OＢN,
∠PNM＝90°-∠ONB，
∴∠ＰＭN＝∠ＰNM,
∴PM=PN.
由条件,根据切割线定理,有PN2＝PＡ·PＣ,
所以PM2＝ＰＡ·PC。

（２）依题意得ＯＭ＝2，在Rｔ△BＯM中,
ＢM= 错误!=４.
延长BＯ交⊙O于点D,连接DN。

由条件易知△BOM∽△BNＤ,
于是BO
BＮ
＝
ＢM
BD
，
即错误!＝错误!,得BN=6．
所以MN=ＢN-BM＝6－4=2.
11．如下图,已知⊙O１和⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O１的切线,交⊙Ｏ2于点C,过点B作两圆的割线分别交⊙O
1
,⊙Ｏ２于点D、E，DE与AC相交于点P.
（1)求证:PA·PE＝ＰC·PD；
(2）当AD与⊙O２相切，且PＡ=６，PC=２，PD=１2时,求AD的长.
解：（１)证明:连接ＡB，ＣE,
∵CA切⊙O１于点A，
∴∠1=∠D．又∵∠1=∠E，
∴∠D=∠E。

又∵∠2=∠3，
∴△ＡPＤ∽△CPE.
∴错误!=错误!.
即PA·PＥ＝PC·PD.
(2）∵PA=６,PC=2，PD=12。

∴6×PE＝2×12,∴ＰE＝4．
由相交弦定理，得PE·PB＝PＡ·PC.
∴4PB=6×2，∴PＢ=3.
∴BD＝PD-ＰB＝1２－３=９,
DE＝PＤ＋PE＝16.
∵DA切⊙Ｏ2于点A,
∴DA2=DB·DE，即ＡD2＝9×16,∴AD＝12。

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