2021-2022学年湖北省宜昌市西陵区夷陵中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

湖北省宜昌市西陵区夷陵中学2021-2022学年高一
上学期期中考试数学试题
一、选择题（共8小题）
1．已知集合{2A =-，1-，0}，{|30}B x x =-<<，则(A B = )
A ．{2}-
B ．{1}-
C ．{2-，1}-
D ．{2-，1-，0}
2．下列函数为同一函数的是( )
A ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x ⎧=⎨-<⎩
B
．()f x =
()g x =
C ．2()21f x x x =--与2()21g t t t =--
D ．()1f x =与0()(0)g x x x =≠
3
．函数0()f x =的定义域是( ) A ．[3-，3]2
B ．[3-，33)(22--⋃，3)2
C ．[3-，3)2
D ．[3-，33)(22--⋃，3]2 4．设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是( )
A ．2a cd <
B ．a c b d -<-
C ．ac bd >
D ．0c d a b
-> 5．若函数()f x 满足1()()f f x x
=-，则称()f x 为倒负变换函数．下列函数： ①1y x x =-；②1y x x =+；③1,01()0,1,1x x f x x x x --<<⎧⎪==⎨⎪>⎩
中为倒负变换函数的是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①③
6．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定了社会主义建设者和接班人的劳动价值取向、劳动精神面貌和劳动技能水平．新学期到来，夷陵中学开展了学农基地劳动实践课，面向2021级学生开放．现设置种植白菜、萝卜、菠菜、油麦菜四个品类．某班班主任选完内容后，其他三位同学根据班主任小夷老师的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．
甲说：“小夷老师选的不是白菜，选的是萝卜．”
乙说：“小夷老师选的不是萝卜，选的是菠菜．”
丙说：“小夷老师选的不是萝卜，也不是油麦菜．”
已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小夷老师选择的内容( )
A ．可能是油麦菜
B ．可能是白菜
C ．可能是菠菜
D ．一定是萝卜 7．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-，则{|(2)0}(x f x ->= )
A ．{|2x x <-或4}x >
B ．{|0x x <或4}x >
C ．{|0x x <或6}x >
D ．{|2x x <-或2}x >
8．已知()0)f x a =<，定义域为D ，任意m ，n D ∈，点(P m ，())f n 组成的图形为正方形，则实数a 的值为( )
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4-
二、多选题（共4小题）
9．设全集{|0}U x x =>，集合{|M x y ==，2{|4}N y y x ==+，则下列结论正确的是( )
A ．{|4}M N x x =>
B ．{|1}M N x x =>
C ．()(){|04}U U M N x x =<<
D ．()(){|01}U U M N x x =<<
10．已知函数2,21()2,1x x f x x x ⎧-<=⎨-+⎩
，关于函数()f x 的结论正确的是( ) A ．()f x 的定义域为R
B ．()f x 的值域为(-∞，4]
C ．若()2f x =，则x 的值是
D ．()1f x <的解集为(1,1)- 11．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”．下列对应法则f 满足函数定义的有( )
A ．(|2|)f x x -=
B ．2(1)2f x x x +=+
C ．1()f x x =
D ．2(2)|1|f x x x +=+ 12．记,max{,},a a b a b b a b
⎧=⎨<⎩，已知0x >，0y >，230x y xy ++=，则( ) A ．xy 的最大值为18
B ．2x y +的最大值为12
C ．x y +的最小值为3-
D ．max{2x +，22}y +得最小值为8 三、填空题（共4小题）
13．若命题“0x ∃∈R ，20
020x x m -+<”为真命题，则实数m 的取值范围为 ． 14．生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力．在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的 条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步．（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要” )
15．设函数()f x 的定义域为[0，1]，能说明若函数()f x 在[0，1]上的最大值为f （1），则函数()f x 在[0，1]上单调递增”为假命题的一个函数是 ．
16．已知函数21,0()2,0
x x f x x x x --⎧=⎨-+>⎩，若12()()f x f x =，且12x x ≠，则12||x x -的最大值为 ． 四、解答题（共6小题）
17．（10分）设全集U =R ，集合2{|650}A x x x =-+，集合{|212}B x a x a =-+，其中a ∈R ．
（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围．
18．（12分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为m x ，宽为m y ．
（Ⅰ）若菜园面积为272m ，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m ，求
12x y
+的最小值．
19．（12分）已知函数21()x f x ax b
+=+是其定义域内的奇函数，且f （1）2=， （1）求()f x 的表达式；
（2）设()(0)()
x F x x f x =>，求F （1）F +（2）F +（3）111(2021)()()()232021
F F F F +⋯++++⋯+的值．
20．（12分）已知()a f x x x =+
，(0,)x ∈+∞．
（1）证明：当0a >时，()f x 在x ∈单调递减，)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增；
（2）若()x 在(2,)+∞单调递增，求a 的取值范围．
21．（12分）已知函数2()(1)1()f x x a x a =-++∈R ．
（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集是{|2}x m x <<，求a ，m ；
（2）设关于x 的不等式()0f x 的解集是A ，集合{|01}B x x =，若A B =∅，求实数a 的取值范围．
22．（12分）设a ∈R ，函数2()||f x x ax =+．
（1）当1a =-时，求()f x 在[0，1]的单调区间；
（2）记M （a ）为()f x 在[0，1]上的最大值，求M （a ）的最小值．
▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁
一、选择题（共8小题）
1．C
〖解 析〗集合{2A =-，1-，0}，{|30}B x x =-<<，
{2A B ∴=-，1}-．故选：C ．
2．C
〖解 析〗对于A ，1,0||()1,0x x f x x x >⎧==⎨-<⎩，定义域是(-∞，0)(0⋃，)+∞，1,0()1,0x g x x ⎧=⎨-<⎩，定义域为R ，两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B
，()f x ==定义域是[0，)+∞
，()g x =，定义域为(-∞，1)(0-⋃，)+∞，两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C ，2()21f x x x =--，定义域是R ，2()21g t t t =--，定义域为R ，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D ，()1f x =，定义域是R ，0()1g x x ==，定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，两函数的定义域不同，不是同一函数．故选：C ．
3．B
〖解 析〗要使原函数有意义，则30230320x x x +⎧⎪+≠⎨⎪->⎩，即33232
x x x ⎧⎪-⎪⎪≠-⎨⎪⎪<⎪⎩，解得332x -<且32x ≠-． 所以，原函数的定义域为[3-，33)(22--⋃，3)2
．故选：B ． 4．D
〖解 析〗当3a =，2c =-，3d =-时，2a cd >，故选项A 错误；
当3a =，1b =，2c =-，3d =-时，a c b d ->-，故选项B 错误；
当3a =，1b =，2c =-，3d =-时，ac bd <，故选项C 错误；
因为0a b c d >>>>，所以
0c d bc ad ac ad c d a b ab ab b ----=>=>， 故0c d a b
->，D 选项正确．故选：D ．
5．D
〖解 析〗对于①，111()()()f x x f x x x x
=-=--=-，∴满足“倒负”变换； 对于②，111()()()f x x f x f x x x x
=+=+=≠-；∴不满足“倒负”变换； 对于③，当01x <<时，11x
>，11()()1f x f x x x
∴===-， 当1x =时，1()0()f f x x
==-， 当1x >时，101x <
<，111()()()f f x x x x
∴=-=-=-，∴满足“倒负”变换． 故选：D ．
6．B 〖解 析〗假设小夷老师选的是白菜，则甲全错，乙对了一半，丙全对，符合； 假设小夷老师选的是萝卜，则甲全对，乙全错，丙对了一半，符合；
假设小夷老师选的是油麦菜，则甲对了一半，乙对了一半，丙对了一半，不符合； 假设小夷老师选的是菠菜，则甲对了一半，乙全对，丙全对，不符合； 故小夷老师选择的可能是白菜，也可能为萝卜．故选：B ．
7．B
〖解 析〗当0x <时，则0x ->，由偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-
可得，3()()8f x f x x =-=--，
则338,0()8,0x x f x x x ⎧-=⎨--<⎩，33(2)8,2(2)(2)8,2x x f x x x ⎧--∴-=⎨---<⎩
令(2)0f x ->，
当20x -，即2x 时，有3(2)80x -->可解得4x >，
当20x -<，即2x <时，有3(2)80x --->，可解得0x <．
即4x >或0x <．故选：B ．
8．D
〖解 析〗要使函数有意义，则(1)(3)0a x x --，
0a <，∴不等式等价为(1)(3)0x x --，即13x ，∴定义域[1D =，3]， 任意m ，n D ∈，点(P m ，())f n 组成的图形为正方形，∴正方形的边长为2，
f （1）f =（3）0=，∴函数的最大值为2，
即(1)(3)a x x --的最大值为4，
设2()(1)(3)43f x a x x ax ax a =--=-+，∴当2x =时，f （2）4a =-=， 即4a =-，故选：D ．
二、多选题（共4小题）
9．CD
〖解 析〗全集{|0}U x x =>，集合{|{|1}M x y x x ===，2{|4}{|4}N y y x y y ==+=，
对于A ，{|4}M
N x x =，所以选项A 错误； 对于B ，{|1}M N x x =，所以选项B 错误；
对于C ，()()(){|04}U U U M N M N x x =
=<<，选项C 正确； 对于D ，()()(){|01}U U U
M N M N x x =
=<<，选项D 正确． 故选：CD ．
10．BC 〖解 析〗2,21()2,1x x f x x x ⎧-<=⎨-+⎩
，函数的定义域为[2-，)+∞，故A 错误； 当21x -<时，2()[0f x x =∈，4]，当1x 时，()(f x ∈-∞，1]， 故函数的值域为(-∞，4]，故B 正确；
由()2f x =，得2212x x -<⎧⎨=⎩或122x x ⎧⎨-+=⎩，解得x =C 正确； 221()11x f x x -<⎧<⇔⎨<⎩或121x x ⎧⎨-+<⎩
，解得11x -<<或1x >， 则()1f x <的解集为(1-，1)(1⋃，)+∞，故D 错误．故选：BC ．
11．BCD
〖解 析〗根据题意，依次分析选项：
对于A ，对于一个自变量|2|x -，x 的值不一定唯一，如|2|1x -=时，1x =或3，不符合题意；
对于B ，2()1f x x =-，满足函数的定义，符合题意， 对于C ，1()f x x
=，满足函数的定义，符合题意， 对于D
，()f x = 故选：BCD ．
12．ACD
〖解 析〗对于A:0x >，0y >，且230x y xy ++=，3022xy xy ∴+
，
化为2300+， 解得032xy <．当且仅当26x y ==时取等号． 则xy 的最大值为18．所以A 正确；
对于B ：由230x y xy ++=，得30232211y x y y -==-+++， 又0x >，0y >，32222(1)242121x y y y ∴+=-+++--+=+，当且仅当322(1)1
y y =++，即3(6)y x ==时取等号． 2x y ∴+的最小值为12．所以B 不正确；
对于C ：因为x ，(0,)y ∈+∞，21302(1)()2x y x y xy x y y x x y ++=++=+++++， 当且仅当1x y +=时取等号，所以2(1)4(1)1240x y x y +++++-， 解可得，1822x y ++-或1822x y ++--
（舍)， 故823x y +-，所以x y +的最小值为3，所以C 正确； 对于D:max{2x +，3222}max{221y y +=-+
++，3222}max{1y y +=+，22}y +， 令32221y y =++，得3y =，因为30201y x y
-=>+，即015y <<， 所以32max{1y +，32,03122}22,315y y y y y ⎧<<⎪++=⎨⎪+<<⎩
， 当03y <<，32(8,32)1
y ∈+，当315y <<，22[8y +∈，32)， 所以max{2x +，22}[8y +∈，32)，即max{2x +，22}y +得最小值为8，所以D 正确．
故选：ACD ．
三、填空题（共4小题）
13．(,1)-∞
〖解 析〗命题“0x ∃∈R ，20020x x m -+<”，
它的否定为x ∀∈R ，220x x m -+，
此时满足：0∆，440m ∴-，1m ∴，
所以，命题：x ∀∈R ，220x x m -+，成立时，实数m 的取值范围为[1，)+∞， 所以上述范围的补集为(,1)-∞，(,1)m ∴∈-∞，
故〖答 案〗为：(,1)-∞．
14．必要不充分
〖解 析〗水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利” ∴ “石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的必要不充分条件． 故〖答 案〗为：必要不充分．
15．213()()24
f x x =-+，[0x ∈，1]，（〖答 案〗不唯一） 〖解答〗根据题意，要求函数()f x 的定义域为[0，1]，在[0，1]上的最大值为f （1），但()f x 在[0，1]上不是增函数，
可以考虑定义域为[0，1]上，先减后增的函数的二次函数， 函数213()()24
f x x =-+，[0x ∈，1]符合， 故〖答 案〗为：213()()24
f x x =-+，[0x ∈，1]，（〖答 案〗不唯一）． 16．134
〖解 析〗作出分段函数的图象如图，
设2()2(0)f x x x x =-+>在点2000(,2)A x x x -+处的切线
与()1(0)f x x x =--<平行，由00()221f x x '=-+=-，得032
x =
， 则33(,)24A ，则过A 点的切线方程为33()42y x -=--，即9
04
y x +-=．
两平行线9
04x y +-=与10x y ++=
的距离19
|1|
d --=， 过A 作x 轴的平行线交()1(0)f x x x =--于点B ，由已知可得45ABD ∠=︒，
则112max max 13||||sin 4d x x AB ABD -====∠．故〖答 案〗为：134． 四、解答题（共6小题）
17．解：（1）由题意得到[1A =，5]，由“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件可得A B ⊆， 则21a -且125a +，解得2a ， 实数a 的取值范围是[2，)+∞；
（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件可得B A ⊆，212a a ->+，即1
3
a <时，B =∅满足题意；212a a -+，即13a
时，12a -且125a +，解得1
13
a ． 综上1a ，实数a 的取值范围是(-∞，1]．
18．解：（Ⅰ）由已知可得72xy =，而篱笆总长为2x y +． 又
22224x y xy +=，
当且仅当2x y =，即12x =，6y =时等号成立．
∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小．
（Ⅱ）由已知得230x y +=，
又122222()(2)5529y x y x x y x y x y x y ++=+++=，∴123
10
x y +，
当且仅当x y =，即10x =，10y =时等号成立．
∴
12x y +的最小值是310
． 19．解：（1）函数21()x f x ax b
+=+是其定义域内的奇函数，可得()()f x f x -=-，
即2211x x ax b ax b
++=--++， 可得ax b ax b -+=--，解得0b =，则21
()x f x ax
+=，
由f （1）2=，可得2
2a
=，解得1a =，所以21()x f x x +=；
（2）由（1）可得2
2()(0)()1x x F x x f x x ==>+，
则22211
()()111
x F x F x x x +=+=++，
所以F （1）F +（2）F +（3）111
(2021)()()()232021F F F F +⋯++++⋯+
F =（1）[F +（2）1()][2F F ++（3）11
()]...[(2021)()]32021F F F ++++
140411202022
=
+⨯=
． 20．证明：（1）任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则2112
212121212112
()()()()()()()()x x x x a a a a a
f x f x x x x x x x x x x x ---=+
-+=-+-=， 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，所以120x x >， 因为12x x <，所以210x x ->， ①若0a >，则当12
0x x a <<时，120x x a -<，
所以21()()0f x f x -<，则()f x 在(0,)+∞上单调递减；
当21x x >>120x x a ->，所以21()()0f x f x ->，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； 故当0a >时，()a
f x x x
=+
在(0
上单调递减，在)+∞上单调递增； ②若0a <，则120x x a ->，所以21()()0f x f x ->，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）解：由（1）可知当0a <时恒符合题意； 当0a >2a ，解得4a ，
当0a =时，()f x a =在(2,)+∞上单调递增，符合要求， 综上：(a ∈-∞，4]．
21．解：（1）关于x 的不等式()0f x <的解集是{|2}x m x <<， 若解集{|2}x m x <<不为空集，
对应方程2(1)10x a x -++=的两个实数根为m 、2， 由根与系数的关系，得2121
m m a =⎧⎨+=+⎩，解得32a =，12m =；
若解集{|2}x m x <<为空集，
对应方程2(1)10x a x -++=无解，故2
2
(1)40m a ⎧⎨∆=+-⎩
解得2m ，31a -．
（2）关于x 的不等式()0f x 的解集是A ，
集合{|01}B x x =，当A B =∅时，即不等式()0f x >对x B ∈恒成立； 即[0x ∈，1]时，2(1)10x a x -++>恒成立， 1
1a x x
∴+<+
对于(0x ∈，1]恒成立（当0x =时，10>恒成立）； 当(0x ∈，1]时，()1
21x x x
+
=当且仅当时等号成立 12a ∴+<，即1a <，∴实数a 的取值范围是{|1}a a <． 22．解：（1）当1a =-时，22
2
,(,0)
(1,)
()||,[0,1]
x x x f x x x x x x ⎧-∈-∞+∞=-=⎨-∈⎩，
所以当[0x ∈，1]时，()2f x x x =-，则对于抛物线开口向下，对称轴为12
x =， 所以()f x 在1(0,)2x ∈单调递增，在1
(2
，1)上单调递减，
即函数在[0x ∈，1]上的单调递增区间为1(0,)2，递减区间为1
(2
，1)；
（2）[0x ∈，1]，若0a 时，()2f x x ax =+，对称轴为02
a
x =-， 则()f x 在[0，1]上递增，则M （a ）1a =+；
若0a <，则()f x 在[0，]2a -递增，在(2
a
-，)a -递减，在(,)a -+∞递增，
若12
a
-
，即2a -，时，()f x 在[0，1]递增，可得M （a ）1a =--； 由0a <可得()f x 在(0,)2a -递增，在(2
a
-，)a -递减，
即有()f x 在2
a
x =-时取最大值24a ，
当x a >-时，由22
4a x ax +=，解得x =，
若12
122
a +-
<-，即2222a -<-， 可得()f x 的最大值为M （a ）2
4
a =；
若1>
，即2a >-， 可得()f x 的最大值为M （a ）1a =+， 则M （a
）2
1,21,2,22224
a a a a a
a ⎧
⎪+>-⎪⎪
=---⎨⎪⎪-<
-⎪⎩，
当2a >-M （a ）3>- 当2a -时，M （a ）1；
当2222a -<-时，M （a
）
1
(2234
-=- 综上，M （a ）的最小值为3-。