指数函数与对数函数两个反函数的交点问题

x
的公切線。
Pf：(1)由u = au ⇒ ln u = u ln a
且 f (x) = ax ⇒ f / (x) = ax iln a ⇒ f / (u) = au iln a = u ln a = ln u = −1
由ln u
=
−1 ⇒
u
=
e−1
=
1 e
代入u
=
au
⇒
1 e
=
1
ae
⇒
(
1 e
)e
5
10
15
-4
1<
a
<
1
ee
≈ 1.444 時
y = ax 與 y = loga x 恰有兩個交點
-6
(α ,α ),(β , β ) 其中 0 < α < e < β
其中
-8
指數函數與對數函數兩個反函數的交點問題
第四頁/共八頁
定理五：0 < a < 1時, y = ax 與 y=x 兩圖形恰有一個交點(u,u)
>
(e
−
e
)
1 e
⇒ (e−e )x (−e) <
(e
−
e
)
1 e
(
− e)
⇒
(e−
e
)
x
(
−e)
+
1
<
(
e−
e
)
1 e
(
−e)
+
1
⇒
t
/
(
x)
<
t
/
(
1 e
同理 (β , β ) 在 y = ax 上面 ⇒ (β , β ) 在 y = loga x 的圖形上。
由 y = ax 與 y = loga x 兩圖形對稱於 y=x 直線且 y = ax 與 y=x 恰有兩個交點 (α ,α ),(β , β ) ⇒ y = loga x 與 y=x 恰有兩個交點 (α ,α ),(β , β )
令t ( x)
=
ax
−
(
2 e
−
x)
=
(e−e
)x
−
(
2 e
−
x)
=
(e−e )x
+
x
−
2 e
則必t
/
(
x
)
=
e−
e
x
(
−e)
+
1
明顯可得t
(
1 e
)
=
t
/
(
1 e
)
=
0
(1)當1e
<
x
時⇒
a
1 e
> ax
⇒
(e
−
e
1
)e
> (e−e )x
⇒
(
e−
e
)
1 e
(
−e
)
<
(
e−
e
)
x
(
− e)
⇒
(e−
e
)
1 e
(
−e)
+
1
<
(
e
−
e
)
x
(
−e)
+
1
⇒
t
/
(
1 e
)
<
t
/
(
x
)
⇒
0
<
t
/
(
x
)
即當1 e
<
x
時t ( x)
是漸增函數
即當1 e
<
x
時t
(
1 e
)
<
t(x)
⇒
0
<
t(x)
⇒
t(x)
>
0
即y
=
ax
的圖形在公切線x
+
y
=
2 e
的上方(切點除外)
(2)當x
<
1 e
時⇒
ax
>
1
ae
⇒ (e−e )x
⇒ g(e) = e loge e = e
g / (x)
=
e x
⇒
g/ (e)
=
e e
=1
指數函數與對數函數兩個反函數的交點問題
第二頁/共八頁
定理三：(1)a
>
1
ee
時, y = ax 與y=x 兩圖形無交點且y = ax 圖形恒在y=x 直線的上方。
(2)a
>
1
ee
時, y = loga x
與 y=x 兩圖形無交點且y = loga x 圖形恒在y=x 直線的下方。
(
x
ln
a)
= exlna iln a = ax iln a
⇒ f / (x) = ax iln a ⇒ f / (α ) = aα iln a = 1
由
aα =α aα iln a=1
⇒
α
iln
a
=
1............(甲)
再由 aα = α ⇒ ln aα = lnα ⇒ α ln a = lnα .........(乙)
Case3：x>0 時,令k(x)
=
1
(ee
)x
−
x
⇒
k
/
(x)
=
1
(ee
)x
i
1 e
−1
當x=e
時, k (e)
=
1
(ee
)e
−
e
=
0
且k
/
(e)
=
1
(ee
)e
i
1 e
−1
=
0
當
x>e
時(
e
1 e
)
x
>
(e
1 e
)e
⇒
(e
1 e
)x
i
1 e
>
(e
1 e
)e
i
1 e
⇒
(e
1 e
)x
i
1 e
−
1
>
(
e
且y = loga x 與 y=x 亦恰有一個交點(u,u),,其中0 < u < 1 Pf：(1)0 < a < 1時, y = ax 與 y=x 恰有一個交點(u,u) 這是很明顯的事情。
0 < a < 1時, y = loga x 與 y=x 恰有一個交點(u,u) 這是很明顯的事情。 (2)(u,u)在y = ax 上面⇔ u = au ⇔ u = loga u ⇔ (u,u)在y = loga x 上面 (3)令h(x) = ax − x 由h(0) = a0 − 0 = 1 > 0 且h(1) = a1 −1 < 0 且h(u) = 0 ⇒ 0 < u < 1
NOTE：由 h(0) > 0, , h(e) < 0 ⇒ h(x) = ax − x = 0 在 0 與 e 之間至少有一個實根α ⇒ y = ax 與 y=x 兩圖形在 0 與 e 之間至少有一個交點(α ,α )
由 h(e) < 0 ⇒ ae − e < 0 ⇒ ae < e ⇒ 點 (e, ae ) 在點 (e, e) 的下方
試求α = ?, a = ?
(2)同上題,試證 y = loga x 亦與 y = x 相切於 (α ,α )
pf：(1)由題意知 aα = α 且 y = f ( x) = ax 滿足 f / (α ) = 1
再由
d dx
a
x
=
e d ln ax
dx
=
e d xln a
dx
= exln a
d dx
即x<e 時,k(x)是漸減函數且⇒ k(x) > k(e) ⇒ k(x) > 0
由以上知x>0 時k(x)≥ 0 恒成立
由x>0 且a
>
1
ee
> 1時ax
>
(e
1 e
)x
⇒
ax
−
x
>
(
e
1 e
)
x
−
x
⇒
h( x )
>
k(x)
≥
0
⇒
h(x) >
0
由case1,case2,case3 知：任何x ∈ R 時則必h(x) > 0 即y = ax 圖形恒在y=x 直線的上方
(3)a
>
1
ee
時, y = loga x 與y = ax 兩圖形無交點。
Pf：(1)
a
>
1
ee
>1
時 令h(x) =
ax
−x
Case1：x<0 時ax > 0, , −x > 0 ⇒ h(x) = ax − x = ax + (−x) > 0 恒成立。
Case2：x=0 時ax = a0 = 1 ⇒ h(0) = a0 − 0 = 1>0 成立。
試證：u
=
1 e
且a
=
e−e
=
1 ee
(2)
若u
=
1 e
且a
=
e−e
=
1 ee
且g(x) = loga x
則g
/
(u)
=
g
/
(
1 e
)
=
−1
(3)
a
=
e−e
=
1 ee
時y
=
ax
與與y=x 與y
=
loga
x
三者交於一點(
1 e
,
1 e
)
且y
−
1 e
=
−1(x
−
1 e
)
⇔
x
+
y
=
2 e
為y
=
ax
與y
=
loga
(3)1
<
a
<
e
1 e
時, y = loga x 與 y = ax 兩圖形恰有兩個交點
Pf：(1)1
<
a
<
1
ee
時 令 h(x) = ax − x
Case1：x<0 時 ⇒ ax > 0, , −x > 0 ⇒ h(x) = ax − x = ax + (−x) > 0 恒成立。
Case2：x=0 時 ⇒ ax = a0 = 1 ⇒ h(0) = a0 − 0 = 1>0 成立。
預備知識： (1)e ≈ 2.71828
(2)
1 e
≈
0.36788
(3)
2 e
≈
0.73576
(4)ee ≈ 15.15421
(5)
1 ee
=
e−e
≈
0.066
1
(6)e e
= ee−1
≈ 1.444
(定理二)(1) a > 0, a ≠ 1, y = ax 與 y = x 相切於 (α ,α )
1
)e
=
e−1
=
1 e
,,
g
(
1 e
)
=
loge−e
1 e
=
log e− e
e−1
=
−1 −e
=
1 e
由f
/ (x) = ax iln a ⇒
f
/
(
1 e
)
=
(e−e
1
)e
iln
e−e
=
1 e
i(
−e)
=
−1
由g/ (x) =
i1 1
x ln a
⇒
g
/
(
1 e
)
=
ei
1 ln e−e
=
ei
1 −e
=
a
1
> ee
≈ 1.444 >1 時
y = ax 與 y = loga x 的圖形無交點
指數函數與對數函數兩個反函數的交點問題
第三頁/共八頁
定理三：(1)1
<
a
<
e
1 e
時, y = ax 與 y=x 兩圖形恰有兩個交點
(2)1
<
a
<
e
1 e
時, y = loga x 與 y=x 兩圖形恰有兩個交點
Case3：x>0
時,,令
k(x)
=
1
(ee
)x
−
x
⇒
k
/
(x)
=
1
(ee
)x
i
1 e
−1
由定理二知：k(x)在 x=e 時有最小值 k(e) = 0 且 x ≠ e 時 k(x) > 0
若
x>0
且1 <
a
<
1
ee
⇒1<
ax
<
(e
1 e
)x
⇒
ax
−
x
<
(
e
1 e
)
x
−
x
⇒
h(x) <
k(x)
⇒ h(e) < k(e) ⇒ h(e) < 0
−1
則必 y
−
1 e
=
−1(x
−
1 e
)
⇔
x
+
y
=
2 e
為y
=
ax
與y
=
loga
x
的公切線。
定理七：0 <
a
=
e−e
< 1 時,試證明y
=
f
(x) =
ax 與y
=
g(x) =
loga
x 均在公切線x +
y
=
2 e
的上方
Pf：由y = f (x) = ax 為漸減函數且其圖形為上凹且凹向only one
(3)由1 <
a
<
1
ee
時
y
=
loga
x
圖形為下凹且
y
=
ax
圖形為上凹
⇒ y = ax 與 y = loga x 兩圖形至多有兩個交點。又 (α ,α ),(β , β ) 為其交點
⇒ y = ax 與 y = loga x 兩圖形恰有兩個交點 (α ,α ) 與 (β , β )
8 6 4 2
-5 -2
=
(
a
1 e
)e
⇒
a
=
e−e
=
1 ee
(2)若u
=
1 e
且a
=
e−e
=
1 ee
且g(x)
=
loga
x
⇒
g(x)
=
loga
x
=
ln x ln a
⇒
g / (x)