江苏省扬州中学2021-2022学年度第一学期期中试题数学试题及答案

江苏省扬州中学2021－2022学年度第一学期期中试题
高二数学 2021.11
试卷满分：150分，考试时间：120分钟
注意事项：
1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码．
2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.0()y a a -+=∈R 的倾斜角为（ ） A .30° B .60° C .150° D .120° 【答案】B
2.已知方程221104
x y t t +=--表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）
A .（4，7）
B .（4，10）
C .（7，10）
D .（4，7）⋃（7，10） 【答案】D
3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4610a a +=，则9S =（ ） A .36 B .38 C .45 D .50 【答案】C
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的标准方程为（ ） A .y 2＝16x 或x 2＝－12y B .y 2＝16x 或x 2＝12y C .y 2＝－16x 或x 2＝12y D .y 2＝－12x 或x 2＝16y 【答案】A
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还．其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地．”则此人第一天走了（ ）
A .192里
B .148里
C .132里
D .124里
6.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＋2y ＝2平行，则此双曲
线的离心率是（ ）
A B .2
C .32
D 【答案】B
7.已知圆C ：x 2＋（y －5）2＝4和两点A （－a ，0）、B （a ，0）（a ＞0），若圆C 上存在点M ，满足MA ⊥MB ，则实数a 的取值范围是（ ）
A .（3.5）
B .[3，5]
C .[3，7]
D .[4，7] 【答案】C
8.如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上的一点，F 是双曲
线E 的右焦点，延长PO 、PF 分别交双曲线E 于Q 、R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则双曲线E 的离心率为（ ）
A B C D 【答案】B
【解】如图，有 PFQF '是矩形，
设||FR m =，则||2,||22,2,||32PF FQ m PF m a RF m a PR m a '==-=+=-'=， 在Rt F PR '中，2
2
2
(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43
a
m =
或m ＝0（舍去）， 从而有82,||,Δ33a a PF PF Rt F PF '='=中，2
2
282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得
2217,9c c e a a ===
所以双曲线E 的离心率为
3
．
二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.若直线ax ＋y －2＋a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是（ ） A .1 B .－1 C .2 D .－2 【答案】AC
10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A .q ＝2
B .数列{}2n S +是等比数列
C .8510S =
D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列 【答案】ABC
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．己知在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0）、B （4，0），点P 满足
1
2
PA PB =，点P 所构成的曲线记为曲线C ，则下列结论正确的是（ ） A .曲线C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝16 B .在曲线C 上存在点D ，使得||1AD =
C .在曲线C 上存在点M ，使M 在直线x ＋y －2＝0上
D .在曲线C 上存在点N ，使得22||||4NO NA += 【答案】AD
12.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12F F 、，长轴长为4，点P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A.离心率的取值范围为
1
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B.
当离心率为
4
时，
1
QF
的最大值为2+
C.不存在点Q，使得
2
1
QF QF
⋅=D.
12
41
QF QF
+的最小值为9
4
【答案】BCD
【解】由题设，a＝2，则
22
2
1
4
x y
b
+=，
又P在椭圆内部，则
2
11
1
2b
+<，即2
24
b
<<，
e
⎛
∴==
⎝⎭
，故A错误；
当
4
e=时，有2
7
2
b=
，易得12
,
22
F F
⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．
∴由
12
4
QF QF
+=
，则12
4422
22
QF QF
⎛⎫
=-≤--=+
⎪
⎪
⎝⎭
，故B正确；
由222
420
c b b
-=-<，即c＜b，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，
∴椭圆上不存在点Q使得
2
1
QF QF
⋅=，故C正确；
换1法可求
12
41
QF QF
+的最小值为9
4
，故D正确．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在数列{}n a中，12
a=
=，则数列{}n a的通项公式为．【答案】2
2
n
a n
=
14.设直线
1:
60
l x my
++=和
2
:(2)320
l m x y m
-++=，若
12
l l
∥，则m＝．【答案】－1
15.过点P（－3，1）作直线m（x－1）＋n（y－1）＝0的垂线，垂足为点M，若定点N（3，4），那么||
MN的最小值为．
【答案】3
16.我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，除了1之外的每个数字都等于上一行的左右两个数字之和，且第n行的所有数字之和为1
2n-．若去除所有为1的项，依
次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的第12项为 ，前35项和为 ．
【答案】15，995
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P ．
（1）若直线l 过点P ，且点A （1，3）、B （3，2）到l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）若直线1l 过点P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为4，求直线1l 的方程． 【解】（1）由23030x y x y --=⎧⎨
+-=⎩得2
1x y =⎧⎨=⎩
即交点P （2，1）．
由直线l 过点P ，且点4（1，3）和点B （3，2）到直线l 的距离相等， 可知l //AB 或l 过AB 的中点． 当由l //AB 得321
132
l AB k k -==
=--， 所以直线l 的方程为1
1(2)2
y x -=-
-即240x y +-=． 当直线l 过AB 的中点52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，直线l 的方程为x ＝2. 综上：直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x ＝2.
（2）由题可知直线1l 的横、纵截距a ，b 都存在，且a ＞0，b ＞0， 则1:
1x y
l a b
+=．又直线1l 过点P （2，1），△ABO 的面积为4， 所以211142
a b
ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，
故直线1l 的方程为
142
x y
+=，即240x y +-=．
18.（12分）已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>，抛物线D ：y 2＝2px
（P ＞0）的焦点为F ，准线为l ，直线l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，△MNF 的面积为3．
（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程．
【解】（1）由题意，双曲线C ：22221y x a b -=
可得3c e a ===，解得13b a =可得3a b =， 所以C 的渐近线方程为3y x =±．
（2）由抛物线D ：y 2＝2px ，可得其准线方程为l ：2
p
x =-， 代入渐近线方程得33,,,2222p p p p M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以||3MN p =，
则1
332
MFN
S
p p =⨯⨯=，解得p =
所以曲线D 的方程为2y =．
19.（12分）在数列{}n a 中，()112,431n n a a a n n *
+==-+∈N ．
（1）求证：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
【解】（1）由已知得()1(1)4n n a n a n +-+=-， 又
1110,a -=≠∴数列{}n a n -是公比为4的等比数列，
（2）由（1）得()1
1114
,4n n n n a n a a n ---=-⋅∴=+
14(1)41(1),14232
n n n n n n n S n N +-+-+∴=+=+∈-．
20.（12分）已知椭圆C 的标准方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>，若右焦点为F ，
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M 、N 是椭圆C 上不同的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2相切，且M 、N 、F 三点共线，求线段||MN 的长． 【解】（1
）由题意，椭圆半焦距c =
3
c e a =
=
，则a = 2221b a c ∴=-=，
∴椭圆方程为2
213
x y +=；
（2）由（1）得，曲线为22
1(0)x y x +=>
当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不合题意；
当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y 又M ，N ，F 三点共线， 可设直线MN
：(y k x =-
，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1（x ＞0
1=，，解得1k =±，
联立22
(1
3
y x x y ⎧=±-⎪⎨+=⎪⎩
，得2430x -+=
，则1212324x x x x +=⋅=，
||MN ∴==．
21.（12分）椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆
C 的
短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）上异于点A （－r ，0）和B （r ，0）的一点，直线AP 与椭圆C 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆C 交于点S ，T ．若直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率存在且分别为1234,,,k k k k ，问：是否存在r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立？若存在，求r ，m 的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意，圆心O （0，0），半径b
，
b
=，即b = 又椭圆的离心率1
2
c e a =
=，即a ＝2c ，
所以a 2＝4c 2，联立a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2，即可解得a 2＝4，
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=；
（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，d 设直线AP 的方程为()()1122(),
,,,y k x r M x y N x y =+，
由22()
14
3y k x r x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222223484120k x k rx k r +++-=，
222121222
8412
,3434k r k r x x x x k k --∴+==
++，① 又()121212121212
2OM ON
kx x kr x x y y k k k k x x x x +++=+=+=，②
将①代入②得，122263
k
k k k r -+=-，
又AP ⊥BP ，以1
k
-
代替k ，以－r 替代r ， 同理可得3422
63OS OT k
k k k k r k
+=+=
- 假设存在常数r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立 即
2222
66033k k
m k r r k
-+=--恒成立， 所以(
)
2
22
33mr k r m +=+对k ≠0恒成立，
所以223030r m mr ⎧+=⎨+=⎩
，解得1r m ==-，经检验此时判别式△＞0，
因此存在常数1r m ==-满足题意．
22.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率e =
M ⎛ ⎝⎭
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）点P （0，1），直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线P A 、PB 的斜率分别为
12,k k ，且121k k ⋅=，问：直线l 是否过定点？若是，请求出该定点：若不是，请说明理由．
【解】（1
）由已知条件可得222
22131
4c a a b c a
b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩
，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
∴椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=．
（2）①当直线l 的斜率存在时，设()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，
由2
214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()()222418410k x kmx m +++-=， 则()
2121222
418,4141m km x x x x k k -+=-=++， 由121k k ⋅=得()()12121212
11
1,110y y kx m kx m x x x x --⋅=+-⋅+--⋅=
()
()2212121(1)(1)0k x x k m x x m ∴-+-++-=
(
)
(
)22
2
22
4181(1)(1)041
41m km k k m m k k -⎛⎫∴-⋅
+--
+-= ⎪++⎝⎭
()()()
222224118(1)41(1)0m k k m m k m ∴----++-= 2244(1)0m m ∴-++-=
1m ∴=（舍）或5
3
m =-
∴直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
②当直线l 的斜率不存在时，设22
:,(,),(,),14s l x s A s t B s t t =-+=
由121k k ⋅=得2222
111,1,,04
t t s s t s s s s ---⋅=∴+=∴=∴=
∴直线l ：x ＝0
综上，直线l 过定点
50,3⎛
⎫- ⎪
⎝⎭．。