2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)

2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-
B ．(0,1)
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞
2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g ) A ．5
B ．5
C ．13
D ．13
3．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r ) A ．3
B ．10
C ．23
D ．5
4．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点(2,22)M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为(
)
A ．22
B ．2
C ．2
D ．22-
5．（5分）函数2cos2()||x
f x ln x x
=+的部分图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线经过圆22:240
E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5
B 5
C 2
D ．2
7．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，
我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华
为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042y
x a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）
A ．2020年6月
B ．2020年7月
C ．2020年8月
D ．2020年9月
8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；
④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有
2121
()()
f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，1
2
()b f e -=，21
(log )6
c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
10．（5分）将函数()sin()6f x x π
=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左
平移
3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )
A ．(,0)12
π
B ．(,0)4
π
C ．(,0)π
D ．4(
,0)3
π 11．（5分）若31
()n x x
的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之
和为( ) A ．85
B ．84
C ．57
D ．56
12．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是(
)
A ．2
[,)4e +∞
B ．2
(,)4e +∞
C ．2
(,)4e -∞
D ．2
(,]4
e -∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪+⎩
…
„…，则2z x y =-的最大值为 ．
14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 ．
15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 3sin 20B B +-=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 ．
16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．
18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．
（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．
19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，1
6
，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为
12，2
3
，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；
（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．
20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直
线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．
21．（12分）已知函数1
()(1)2()f x ax a lnx a R x
=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；
（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x
<--
． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y α
αα=+⎧⎨=⎩
为参数），以O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；
（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…．
2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-
B ．(0,1)
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞
【解答】解：因为{|||1}(1,1)A x x =<=-，
{|21}(,0)x B x =<=-∞， 则(,1)A B =-∞U ． 故选：D ．
2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g )
A ．5
B
C ．13
D 【解答】解：由(32)23z i i i =-=+，
得22||13z z z ===g ． 故选：C ．
3．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r )
A ．3
B C ．D ．5
【解答】解：Q 平面向量,a b r
r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ， ∴()(1a a b +=r
r r g ，2)(2--g ，2)2(2)(2)0t t -=-+--=g ，
求得1t =，∴(3,1)b =-r ，则||b ==r
故选：B ．
4．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为(
)
A ．
B
C
D ．-
【解答】解：由题意可得2(22)22p =g 所以2p =， 所以抛物线的方程为：24y x =， 所以焦点(1,0)F ， 所以22
22MF k =
=， 故选：A ．
5．（5分）函数2
cos2()||x
f x ln x x =+
的部分图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，且22
cos(2)cos2()||||()()x x
f x ln x ln x f x x x
--=-+=+=-，故()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除BC ； 又cos2
(1)1cos201
f ln =+=<，可排除D ． 故选：A ．
6．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线经过圆22:240
E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5
B 5
C 2
D ．2
【解答】解：根据题意，双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦点在x 轴上，
则其渐近线方程为b
y xx a
=±，
圆22:240E x y x y ++-=的圆心为(1,2)-，若双曲线的渐近线经过圆E 的圆心，
则双曲线的一条渐近线方程为2y x =-， 则有
2b
a
=，即2b a =， 则22225c a b a =+=，即5c a =， 则双曲线的离心率5c
e a
==． 故选：B ．
7．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042y
x a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）
A ．2020年6月
B ．2020年7月
C ．2020年8月
D ．2020年9月
【解答】解：根据表中数据，得12345
35
x ++++=
=，
1
(0.020.050.10.150.18)0.15
y =++++=，
0.10.0423a ∴=⨯-，0.026a =，
所以线性回归方程为0.0420.026y x =-， 由0.0420.0260.5x ->，得13x …，
预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%， 故选：C ．
8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α；
③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；
④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
【解答】解：由m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知： 在①中，若//m α，//n β，//αβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则由线面垂直的性质定理得//m α，故②正确； 在③中，若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；
在④中，若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则由线面垂直的判定定理得m β⊥，故④正确． 故选：C ．
9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有
2121
()()
f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，1
2
()b f e -=，21
(log )6
c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【解答】解：定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121
()()
f x f x x x ->-成立，
可得()f x 在(,0)x ∈-∞单调递增，所以()f x 在(0,)+∞单调递减； 因为12ln π<<，1
2
01e -<<，所以12
()()a f ln b f e π-
=<=，
2
221113log log log 2864-=<<=-Q ，2211
(log )(log )(266
c f f ==-∈，3)，所以c a <， 故选：A ．
10．（5分）将函数()sin()6f x x π
=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左
平移
3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )
A ．(,0)12
π
B ．(,0)4
π
C ．(,0)π
D ．4(
,0)3
π 【解答】解：将函数()sin()6
f x x π
=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数
11()sin()26
f x x π
=+．
再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数11()sin[()]sin()23623
y g x x x πππ
==++=+的图象，
令123x k ππ+=，k Z ∈，则223
x k π
π=-，k Z ∈， 当1k =时，43
x π
=
， 则函数()y g x =图象的一个对称中心为4(3
π
，0) 故选：D ．
11．（5分）若1
)n x
的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之
和为( ) A ．85
B ．84
C ．57
D ．56
【解答】解：Q 二项式系数和为256，2256n ∴=，得8n =，
则展开式的通项公式为88483
318
88811()()k k
k k n k
k k k k k k k T C C C x C x x x
-----+=====， 当2k =时，对应的有理项为，2828C =， 当5k =时，对应的有理项为，544856C x x --=， 当8k =时，对应的有理项为，8x -，
则二项式展开式中有理项系数之和为2856185++=， 故选：A ．
12．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是(
)
A ．2
[,)4e +∞
B ．2
(,)4e +∞
C ．2
(,)4e -∞
D ．2
(,]4
e -∞
【解答】解：()f x 有且只有4个不同的零点等价于偶函数||x y e =与偶函数2y mx =的图象有且只有4个不同的交点，即2x e mx =有两个不同的正根，
令2()x e h x x =，则3
(2)
()x e x h x x -'=，(0,2)x ∈时，()0h x '<，(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，
∴函数()h x 在(0,2)上单减，在(2,)+∞上单增，此时()min h x h =（2）2
4
e =；
又Q 当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，
2
4
e m ∴
>．
故选：B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪+⎩…
„…，则2z x y =-的最大值为 10 ．
【解答】解：实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪+⎩
…„…，画出可行域，如图：
由2z x y =-可得11
22
y x z =
-，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大 然后平移直线:02L x y =-， 当直线2z x y =-过点A 时z 最大
由20
220
y x y +=⎧⎨+-=⎩可得(6,2)A -时，z 最大值为10 故答案为：10．
14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 1344 ．
【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法， 若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯， 若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯，
若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯， 若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯，
则共有444444
44444(4334)414414241344A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：1344
15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 20B B -=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 (2,3) ．
【解答】解：因为cos 20B B -=， 所以2sin()26B π+=即sin()16B π
+=， 所以1
3
B π=，
因为1b =，
由余弦定理可得，22222
1()3()3()2
a c a c ac a c ac a c +=+-=+-+-⨯…， 解可得，2a c +„，当且仅当a c =时取等号， 所以13a
b
c a c ++=++„， 又1a c b +>=， 所以2a b c ++>， 故23a b c <++„， 故答案为：(2，3]．
16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 20 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．
【解答】解：（1）由下往上数依次有10，6，3，1，共有20个，
（2）连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm 的正四面体1234O O O O -，如图： 取34O O 的中点E ，
△234O O O 的重心F ，连接1O F ，则1O F ⊥平面234O O O ， 2633
O E ， 26332
2133
O F =
= 22161(213)216O F =-=
所以最上面球的球质距离地面的高度约为61) 故答家为：20，21(61)+．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．
【解答】解：（1）证明：n a 是1-与1n a +的等差中项，可得121n n a a +=-，即121n n a a +=+， 可化为112(1)n n a a ++=+，又11a =，
故数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列，即有11222n n n a -+==g ，
所以数列{}n a 的通项公式为21n n a =-； （2）由（1）可得2221n n a n n +=+-，
则2(12)1
(2482)(13521)(121)122
n n
n S n n n -=+++⋯+++++⋯+-=++--
1222n n +=+-．
18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．
（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．
【解答】解：（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，则1A C ⊥平面EFGHIJ ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．则(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)，(1H ，0，0)，(2I ，1，0)，(0G ，0，1)．
∴1(2BD =-u u u u r ，2-，2)，(1HI =u u u r
，1，0)，(1HG =-u u u r ，0，1)． 设平面EFGHIJ 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ．则0n HI n HG ==u u
u r u u u r r r g g ，
0x y ∴+=，0x z -+=．取(1n =r
，1-，1)，则1cos BD <u u u u r ，13
123n >=
=⨯r ．
1BD ∴与该平面所成角的正弦值为1
3
．
19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，1
6
，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为
12，2
3
，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；
（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额． 【解答】解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且 11112111(0),(20)462443624
P P ξξ==⨯===⨯+⨯=
，
111211511121(40),(60)4623641226434P P ξξ==⨯+⨯+⨯===⨯+⨯=，111
(80)4624
P ξ==⨯=
， 故ξ的分布列为
ξ 0 20 40 60 80 P
1
24
14
512
14
124
ξ∴的数学期望为11511()0204060804024412424
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（元)； （2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为1
4030060002
⨯⨯
=（元)． 20．（12分）椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直
线被椭圆截得的弦长为32． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．
【解答】解：（1
）由题意知，c a b =，
所以椭圆的方程为22186
x y +=，
（2）设直线MN 的方程为2x my =+， 联立直线与椭圆得22(34)12120m y my ++-=， 所以122
1234m y y m -+=+，1221234
y y m -=+， 所
以
12121122OAM OAN
OMAN S S S y y y ∆∆=+=⨯+⨯=-=四边形．
令t =
，则t
所以OMAN S t t
=
=+四边形
因t
2
t t +…
所以OMAN S 四边形„
，当且仅当t =0m =时取等号． 即四边形OMAN
面积的最大值 21．（12分）已知函数1
()(1)2()f x ax a lnx a R x
=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；
（2）当2a =-时，求证：1
()2x f x e x x
<--． 【
解
答
】
解
：（
1
）函数的定义域(0,)+∞，
2222
11(1)1(1)(1)
()a ax a x ax x f x a x x x x +-++--'=-+==
， ①当0a „时，由()0f x '<可得1x >，由()0f x '<可得01x <<， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ②01a <<时，由()0f x '<可得1
1x a
<<
，由()0f x '>可得01x <<或1x a >，
所以()f x 在(0,1)上单调递增，在1(1,)a
上单调递减，1
(a ，)+∞上单调递增，
③当1a =时，2
(1)()0x f x x
-'=…，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，
④当1a >时，由()0f x '<可得1
1x a
<<，由()0f x '>可得1x >或1x a <，
所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1
(a
，1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，
（2）证明：当2a =-时，要证：1
()2x f x e x x
<--，只要证2x lnx e +<， 令()2x g x lnx e =-+，0x >，则1
()x g x e x
'=-在(0,)+∞上单调递减，且0x →时，()0g x >，g '（1）10e =-<
故存在0(0,1)x ∈使得
00
1
x e x =即00x lnx =-，使得0()0g x '=， 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，函数单调递减， 故0000000
11
()()222()x max g x g x lnx e x x x x ==-+=--+=-+， 因为0(0,1)x ∈，00
1
2x x +
>， 所以()220max g x <-+=，即()0g x < 故当2a =-时，求证：1
()2x f x e x x
<--
成立． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y α
αα=+⎧⎨=⎩
为参数），以O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．
【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y α
αα=+⎧⎨=⎩
为参数），转换为直角坐标方程为
22(1)1x y -+=，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．
曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．转换为直角坐标方程为22(3x y +=． （2）直线:(0)l y kx k =>转换为极坐标方程为(0)2
π
θαα=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，
所以2cos ρθθα
=⎧⎨
=⎩，得到||2cos OA α=，
曲线2C 交于O ，B 两点，所以ρθ
θα⎧=⎪⎨
=⎪⎩
，则||OB α=，
所以||||2cos 4sin()6OA OB πααα+=+=+，当3π
α=时，|||OA OB +取得最大值．
此时l 的极坐标方程为3
π
θ=，即直角坐标方程为y =．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；
（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…． 【解答】解：（1）()(1)5f x f x +-<即为|1||2|5x x -+-<， 等价为1125x x x ⎧⎨-+-<⎩„或12125x x x <<⎧⎨-+-<⎩或2125x x x ⎧⎨-+-<⎩
…
，
解得11x -<„或12x <<或24x <„， 所以原不等式的解集为{|14}x x -<<， 由题意可得1m =-，4n =； （2）证明：由（1）可得41x y +=，
由0x >，0y >，可得
11114(4)()559y x x y x y x y x y +=++=+++…， 当且仅当1
23
y x ==时等号成立，
故11
9x y
+…，即9x y xy +…．。