南开大学基础物理期中考试题06级II-1期中卷-答案

本科生06-07学年第2学期《大学物理II －1》期中考试试卷（A 卷）
一、 填空题: (共30分，第6小题每空1分，其余每空2分)
1、万有引力F=-GMm/r 2常数G 的量纲为 L 3M -1T -2 。

2、质点在一平面内运动,其径向速度
4=dt
dr
米/秒, 角速度ω=1.0 弧度/秒，求质点距离原点3米时的速度 00334|θ +==r v r 及加速度 00003831423|θθ
+-=⨯⨯+-==r r a r 。

3、一段均匀铁丝从中间弯成直角，放在如右图所示的坐标系内，铁丝的长度为l ，求此铁丝的质心
l 42x =
, l 8
2y = 。

4、一个质量为0.5kg 的小球自4.9m 高处坠落到水泥
地面，与地面碰撞后小球弹起到0.4m ，假设小球与地面的撞击时间为0.05s ，地面作用于小球的平均弹力是多大 126N 。

5、如图所示，质量为m 的小球以速度 v 0 射向靶 m ’ 的弹簧上，设弹簧的弹性系数为k ,靶m ’原来静止在光滑的水平面上,求弹簧被压缩的最大位移
021,
,
])
( [v m m k mm x += 。

6、一体重为50kg 的人，在加速上升的电梯内称体重，体重秤的示数（填“〉”、“〈” 或“=”） 〉 50kg ；如果在加速下降的电梯内称体重，那么体重秤的示数（填“〉”、“〈” 或“=”） 〈 50kg 。

7、一个盛饮水的大圆桶，横截面积为S =1.0米2，圆桶底部有一面积为S 0=1.0⨯10-4米2水龙头。

桶中盛满水后，打开水龙头，水流可视为稳恒流动，求水面高度降为40cm 时，水的流速是 2.8m/s 。

8、质量分别为m 1和m 2的两个质点，以相对速度u 运动，求两个质点相对于质心的动量分别
/
为 u μ 和 u
μ-
9、一个内半径为R 1，外半径为R 2的圆筒，质量为M ，求圆筒对其几何中心轴的转动惯量
)(2
1I 2221R R M +=。

10、已知在实验室测得π介子的速率为 u =0.99c ，并测得它在衰变前通过的平均距离为 52m 。

在π介子参照系中，它在衰变前通过的距离为 7.3m ，π介子的平均寿命为
s 8105.2-⨯
解：从π介子的参照系看来，实验室的运动速率为 u =0.99c ，实验室中同时测得它在衰变前通过的平均距离为 52m ，在π介子参照系中测量此距离应为：
m c
u
l l 3.7)99.0(152)(1'220=-⨯=-=
在π介子的参照系看来，相对飞过此距离所用时间为：
s u l t 8
8
105.210399.03.7''-⨯=⨯⨯==∆
11、一个电子（电子静止质量：31e 10109.9m -⨯=kg ）从静止开始，加速到0.1c 的速度，需要对它做功 16101.4-⨯ 焦耳
二、计算题 (共70 分)
1、（11分）一列火车在刮着北风的雨中以30m/s 的速率（相对于地面）向正南方向行驶，一
在地面上静止的观察者测得雨滴的路径与竖直线成30º角，火车中的观察者看到雨水在车窗玻璃上的轨迹是竖直向下的，求雨滴相对于地面的速度。

解：设雨滴相对地面的速度为v
火车中的观察者看到雨滴竖直向下，所以雨滴相对于火车的水平速度分量为零。

雨滴对地面的水平速度分量等于火车相对于地面的水平速度分量：
2s /30m =水平v
又已知v 与竖直线成30º角，即：︒=sin30v 水平v
所以：s /m 60sin30v v =︒
=水平
2、（11分）一条均匀的伸长量忽略不记的绳子，质量为m ，长度为L ，一端栓在转动轴上，并以匀角速率ω在一光滑水平面内旋转，问距离转动轴为r 处的绳子中张力是多少？
解：整条绳在光滑水平面内作圆周运动，绳上的每一小段（质元）都作圆周运动，如图。

)()(2ωr dm dT T T =+-
rdr l
m dT 2
ω=
- 根据边界条件，积分， 0
2
⎰⎰
=-T
r
l
rdr l
m dT ω 得：)(21
222r l m l
T -=ω
3、（11分）一质量为m 1=70kg 的人站在一条质量为m 2=280kg ，长度为l =5m 的船的船头上。

开始时船静止，试求：当人走到船尾时船移动的距离。

假定水的阻力不计。

解：考虑船和人的系统，在水平方向上不受力，所以质心速度不变，初始态质心静止，人在走动过程中质心的坐标值不变。

初态：212211m m x m x m x c ++=
末态：2
12211'
''m m x m x m x c ++=
r o
dT
c c x x '= 22112211''x m x m x m x m +=+∴
）
（）（222111''x x m x x m -=-∴ 设船的质心移动的距离为d ，即 d x x =-）
（22' d l x x -=-）（11' 代入上式可得船移动的距离：
m l m m m d x x 0.15280
7070
'21122=⨯+=+=
=-）（
4、（11分）一个人从10.0米深的井中提水，起始桶中装有20千克的水，由于水桶漏水，每升高1.0米要漏去1.0千克的水，求水桶匀速提升到井台上时这个人所作的功？ 解：选地面为参照系。

因为是匀速提升，所以提升时用常力：mg F y = 又因变质量：y m m η-=0 米/0.1kg =η
⎰⎰
-=⋅=∴h h
gdy y m y d F W 000
)(η )(14702
1
2J h g gh m o =-=η
5、（13分）一根长为 l 、质量为M 的均匀细直棒, 其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。

今有一子弹质量为m ，以水平速度ν0射入棒的下端而不复出。

求子弹和棒开始一起运动时角速度。

解：取棒和子弹为系统，碰撞过程时间极短，在此过程中棒的位置基本不变，所以重力和轴上支持力对O 点的力矩都为零，所以系统的角动量守恒：
ω I L = 231Ml I = ω203
1
v v Ml ml ml +=
碰撞过程中轴上有水平分力，所以动量不守恒。

ωl =v l
M m m 0
v 33+=
∴ω
6、（13分）有一个半径为R 、质量为m 的匀质圆柱体，沿倾角为α的斜面，由静止开始无滑动地滚下。

试求: 圆柱体的质心下降高度为h 时的速度？
解一：圆柱体受有外力：重力 mg 、摩擦力 f r 、支撑力N
2
2v 21v 21初末末
初外
C C i
CO i m m r d F -=⋅∑⎰
v 2
1)(2-=⋅++⎰末末
初
C CO r m r d N f g m l f mgl r d f g m r l CO r -=⋅+⎰αsin )(0
αsin l h = 2v 2
1末C r m l f mgh =-∴ ∑∑⎰
-=⋅i
ik ik i
iC i E E r d F )(内初内末末
初
外
02
120
-=
∆==⎰⎰
∆∆末C C r r Z I Rf d Rf d M ωθθθθ
θ
因为是纯滚动：θ∆=R l
2
2
1末C C r I l f ω=∴
22
1
mR I C =
C C R ω=v 从质
心
运
动
得
：
2
v 2
1末
C r m l f mgh =-
22
v 2
121末末
C C C m I mgh =-∴ω 2
2
2
2v 21v 2121末末C C m R mR mgh +⋅=∴ 3
4v gh
C =∴末
解二：斜面与圆柱组成的系统无外力矩做功，机械能守恒
mgh m I C -+⋅=
22v 2
1210ω 22
1
mR I =
ωR C =v 3
4v gh C =
∴末。