5.《因式分解》课例分析

第五节 《因式分解》课例分析
该节主要讨论问题：
1. 如何设计概念的注意要点？
2. 如何划分题组层次？
《因式分解》是人教版教材八年级上册第十五章第四节的第一课时。

前一节主要学了整式乘法、乘法公式等内容。

该节有两个知识点：1、因式分解概念，2、提公因式法。

课程标准对该节的教学要求是：能用提公因式法进行因式分解。

以下描述的两节课，均由一位熟手女教师郑老师执教。

郑老师在一所省会城市普通中学任教，教学业绩在年级名列前茅。

郑老师曾在一所省城著名私立初中校任教多年。

第一次课由郑老师自己备课，上课。

上课后与研究者简要讨论后，简单修改教学设计，第二天在另一个班继续上课。

以下是第一次课的描述。

第一次课分为四个环节。

分别是复习、讲授因式分解概念、讲授提公因式法、练习。

在复习环节，郑老师引导学生复习了乘法公式（平方差公式和完全平方公式）、添括号和约分。

约分以221==6233
⨯ 为例，郑老师强调，对分数进行约分必须对分子或者分母写成的乘积的形式，然后进行约分。

在讲授因式分解概念环节，郑老师分成了两项学习活动。

首先是讲授因式分解概念。

郑老师这样讲：“初中我们已经学习了多项式，同样我们要把多项式写成一种乘积的形式，为我们下一个章节做准备。

举个例子：22211(1)(1)x x x x -=-=+-，这是我们之前学过的平方差公式，21x -可以写成(1)x +与(1)x -)的乘积。

像这样子，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

21(1)(1)x x x -=+-左边到右边的这种变形叫做因式分解，从右边到左边的变形叫做是整式乘法。

”第二项学习活动是概念辨析，郑老师出了四个辨析题，题目如下：判断下列各式从左到右是否为因式分解？
（1）()()2
314312153x x x x -+=+- （2）111a a a ⎛⎫ ⎪⎝++
⎭= （3）()24161441x x x x +-=++
（4）111()333
ax bx x a b +=+ 通过与学生讨论这四道题，郑老师强调了因式分解概念的三个注意要点：左边是多项式、右边是乘积的形式、整式的乘积。

节录1展示了师生的探索对话。

节录1
师：第一个是不是？
生1：不是。

师：为什么不是？
生1：写反过来了。

师：那这样写是我们之前学过的什么？
生1：整式乘法。

师：那如果我要把它写成因式分解必须写成什么形式？积的形式。

这就是概念当中告诉我们第一点要注意的，要写成积的形式。

师：那第二个是不是写成积的形式？
生2：是。

师：那第二个是不是因式分解？
生2：不是。

师：为什么不是？
生2：(答不上来)。

师：我们看概念怎么说：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

那现在已经满足了什么？
生：积的形式。

师将1a
重点画一个圈。

生2：字母不能为分母。

师：因为概念中它强调是怎么样的积？
生2：整式的积。

师：所以在分解的时候要注意了，能不能出现像1a
这样的？因为整式当中分母不能有字母。

第三个呢？
生3：不是。

师：为什么不是？
生3：不能够加1。

师：因为积的形式是一个多项式乘以另一个多项式，这里它多了一个加1了，所以第3个不是因式分解。

第四个是不是？
生4：是。

师：因式分解是从左到右的变形，从右到左就是我们前面所学的整式乘法。

如果你没那么快确定的时候，我们可以从右递推过来看看是不是成立。

所以最后一个是不是因式分解？ 生4：是。

师：因此，我们在判断哪些是因式分解，或者自己在做因式分解的时候，要注意了最后的结果必须注意哪几个地方？（1）积的形式。

（2）必须要是整式。

在讲授提公因式法环节，郑老师引导学生思考如何把()pa pb pc ++写成整式的乘积形式。

学生认为根据乘法分配律，可以把p 拿出来，写成()p a b c ++。

郑老师进一步总结道：“我们把p 拿出来，是因为pa 、pb 、pc 都有一个共同的p ，也就是说这三个单项式中有一个共同的因式p 。

那我们把这个共同的因式给它个名称叫做公因式。

就像你们小学学的公因数。

现在我们把这个数扩展起来变成一个公因式，变成一个式子。

我们把多项式各项都含有相同的因式，这个因式叫做公因式。

我们看到()pa pb pc ++这样的多项式中，发现每个式子当中都含有1个公因式，我们在做题的时候就可以把这个公因式提出来，我们把这样的一个方法叫做提取公因式。

”
第四环节是练习提公因式法。

郑老师安排了三个学习活动。

首先是题组一。

题组一有六
道题，分别是两道指导性练习和四道独立练习。

两道指导性练习题是分解因式：（1）
236m mx +，
（2）323812a b ab c +。

在师生共同探索完（1）的解法后，郑老师板书了：公因式由数字与字母构成，系数部分：各项系数的最大公约数；字母部分：相同字母，字母指数取次数最低项的指数。

四道独立练习题目如下。

分解因式：
（1）ax ay +，（2）36mx my -，（3）282m n mn +，（4）22
129xyz x y -。

第（1）、（2）题学生都作对。

第（3）题有学生做错。

郑老师投影了学生的解答：原式2242)224(m n m n n m m =+⋅=+⋅，更正了答案：原式24()21241mn m mn mn m =⋅+⋅=+强调了这道题的两个易错点：找到正确的公因式；2mn 实际上是21mn ⋅。

第（4）题学生没有做出来。

郑老师再次强调找公因式的步骤。

题组二只有一题，分解因式：3
62a a --。

节录2展示了学生的思路与郑教师复习添括号的用意。

节录2
师：“-”不仅是一个运算符号，还可以是一个性质符号。

这里怎么看？
生5：看成3(62)a a -+-
师：那告诉我为什么？
生5：公因式是2a -
师：他把负号拿出来了，公因式可以是负的吗？
生5：可以。

师：然后怎么做？
生5：原式22()2321()231a a a a a =-⋅+-=-+⋅
师：如果有的同学只找到2a ，可以吗？
生5：可以
师：那怎么做？
生5：原式()222312( )1(3)2a a a a a =-+-=--⋅ 师：这样做也是可以的。

题组三有一道指导性练习，两道独立练习。

指导性练习是分解因式()()23a b c b c +-+，郑老师在学生正确回答的基础上强调：“公因式可以是单项式也可以是多项式”。

独立练习是分解因式：（1）()()2222p a b q a b +-+，
（2）()()23a y z b z y ---。

第（1）题学生基本做对，第（2）题有学生出错，郑老师投影了学生的解答：原式()()()2323()a y z b z y y z a b =-+--=-+-，做了纠正。

第一次课描述结束。

以下是讨论问题：
1. 郑老师讲授的因式分解概念辨析，考虑到了左边是多项式、右边是乘积的形式、
整式的乘积这三个特征。

沿着这个思路，请你概括一下设计概念注意要点辨析题的方法。

按照你概括的方法，郑老师还缺少了一类什么样的题目？
2. 根据郑老师使用的提公因式法的三个题组，你认为应该如何划分题组层次，如何
设计题组？
以下是第二次课的节选，主要描述与第一次课不同的地方。

不同之处主要有两点。

一是复习时添加了两个题目，分别是计算113254622323212
+=+=⨯⨯⨯⨯和简便计算444534393⨯+⨯+⨯。

二是分解因式概念辨析时多添加了一道题：()()25623x x x x +-=--。

以下是第二次课的讨论问题：
1. 复习时为什么要添加题目计算1146
+？复习时为什么要添加题目简便计算444534393⨯+⨯+⨯
2. 分解因式概念辨析时多添加了一道题：()()25623x x x x +-=--。