材料力学课件-第八章-应力应变状态分析

（3）任意斜截面的应力 与三向应力圆对应关系
n 1 cos2 2 cos2 3 cos2
2
n
1
3
n
n
12
cos2
22
cos2
2 3
cos2
2 n
•A
结论：任意斜截面的应力值 位于三向应力圆的阴影区内
3
2
o
1
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MECHANICS OF MATERIALS
二. 最大与最小应力 最大与最小正应力
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MECHANICS OF MATERIALS
§8-1 引言
关于应力：
两个特点： • 同一横截面上，不同点处的应力一般不同 • 过同一点，不同方位截面上的应力一般不同
一个概念：应力状态
通过构件内部一点所作的任一平面在该点的应力状况 称为该点的一个应力状态。
一个问题：一个点的各应力状态之间存在怎样的联系？是否 可能由已知的若干个应力状态推知到其它所有应力状态？
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关于微体：
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围绕杆件内某点所截取的一个边长无限小的长方体；
每个面上的应力分布差异可忽略，认为其均匀分布；
微体相对的两个面上的应力视为过该点的、法向相反的两个 平面在该点的应力，等值、反向 ；
微体三个相邻表面上的应力分别代表了过该点的、互相垂 直的三个平面在该点的应力状况；
§8-3 应力圆
一、应力圆
应力转轴公式
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
xcos2
在 平面上， 的 ,轨迹 ？
应力转轴公式形式变换
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
0
x
2
y
sin2
xcos2
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MECHANICS OF MATERIALS
(
x
2
y
)2
2
( x
2
y
60
30
80
°
解：
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
30
单位：MPa
80 30
2
80 30 cos300 2
(-60)sin 300
104.46MPa
x
2
y
sin2
xcos2
80 30
2
sin 300
60cos300
=8.35MPa
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MECHANICS OF MATERIALS
•面应力： 考察H点应力
y E
x+y)/2 x-y)/2 x
H OC CH cos(20 2 ) OC CDcos20cos2 CD sin20sin2
H
x y
2
x
2
y
cos2
xsin2
同理： H
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MECHANICS OF MATERIALS
应力圆点与微体截面应力对应关系
MECHANICS OF MATERIALS
利用应力圆解前例题（图解法）
已知 x 80 MPa y 30 MPa x 60 MPa 150
求图示
比例尺：1cm=20MPa
60
80
E(30, 60)
30
单位：MPa
量得 C 点的应力为:
n 105MPa n 17MPa
(MPa)
K
0 C
D( x , x )
R
2 0 x
FA
E( y , y )
D
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
max
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MECHANICS OF MATERIALS
问题：如何确定微体内最大与最小正应力？最大与最小 切应力？微体内取得最大正应力与切应力的平面方位？
y
y max
R
2
o
R
(
x 2
y )2
x2
为半径作圆
(x+ y)/2
缺点：
•需用解析法计算圆心坐标和半径
•没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
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MECHANICS OF MATERIALS
绘制方法2（实际采用）
y
y y
n
x
x x
C
o
y
y E
D
xHale Waihona Puke F•分析x+y)/2 x-y)/2 x
300
C (MPa)
D(80, 60)
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MECHANICS OF MATERIALS
§8-4 平面应力状态的极值应力与主应力
思考：
对于平面应力：
•是否一定存在正应力为 零的面？
•是否一定存在切应力为 零的面？
•正应力最大与最小的面， 切应力有什么性质？它们 的方位有何特征？
oB
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MECHANICS OF MATERIALS
例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向
50
解：1.解析法
x 10 MPa
y 50 MPa
x 30 3MPa=51.96MPa
max x y
min
2
x
2
y
2
2 x
10 50 2
10 2
sin(2 )
x
y 2
sin(2 ) x
cos(2 )
y 符号规定：—拉伸为正；—使微体顺时针转者为正
—以x轴为始边，指向沿逆时针转者为正
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MECHANICS OF MATERIALS
应力转轴公式（任意斜截面上的应力公式）
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
xcos2
设x面和y面的应力分别为 D( x , x ), E( y , y ),
由于 x
y ,
故DE中点坐标
C
(
x
y
,
0)
2
为圆心，DE为直径。
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MECHANICS OF MATERIALS
y
y y
n
x
x x
H
H ,
D H
C 220x
o
y
F
•绘图：以ED为直径， C为圆心作圆
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MECHANICS OF MATERIALS
应力状态分类: 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态
二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态
三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
复杂应力状态: 二向与三向应力状态
三、纯剪切状态的最大应力
C ,max
A0,
45
D
C
o
45
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MECHANICS OF MATERIALS
方法二：利用应力圆
oB
K
D( x , x )
max min
OC
CA
x
2
y
x
2
y
2
2 x
0 C
R
2 0 x
FA
tan2 0
DF CF
2 x x y
E( y , y )
D
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
max
答：利用切出的微体的静力平衡条件
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MECHANICS OF MATERIALS
§8-2 平面应力状态应力分析
y
y dx
什么是平面应力状态？
x
y
dy
x
•微体有一对平行表面不受力的应力状态。
x
由此推断
dz
x ➢ 微体仅有四个面作用有应力；
z
y
y
➢ 应力作用线均平行于不受力表面
平面应力状态的应力分析
微体的任意截面上的应力均匀，并且代表了同法向平面在 该点的应力
Page3
BUAA p3
p2
MECHANICS OF MATERIALS p1
pn
p1
p3
思考：如果围绕一点所取的一个微体上的应力（p1, p2 p3) 已知，如何确定该微体任一截面上的上的应力pn?
或者说，如果已知某点的三个特定的应力状态，如何确定 该点的任一其它应力状态？
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➢ 几种简单受力状态的应力圆
单向受力状态
x
x
纯剪切受力状态
y x
双向等拉
R=x/2
o
C
R=x
C
o
o
x/2
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例：绘制应力圆
MECHANICS OF MATERIALS
B
A
B
A
(A, A)
o
(B, B)
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应力转轴公式的适用范围？
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用 于各向异性、非线弹性与非弹性问题。
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MECHANICS OF MATERIALS
例 求图示 ，
已知 x 80 MPa x 60 MPa
y 30 MPa 150
点面对应：微体截面上的应力值与应力圆上点的 坐标值一一对应。
y y
xx
H( , )
C
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MECHANICS OF MATERIALS
二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角 变化的两倍，且二者转向相同。
y y
n
x x
H ( , )
2
C
D( x , x )
微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端
)2
x2
—坐标系下的圆方程
圆心坐标：
（ x y ， 0） 2
o
R
半径：
R
(
x 2
y )2
x2
(x+ y)/2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆 ——应力圆（莫尔圆）
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MECHANICS OF MATERIALS
二、应力圆的绘制及应用
绘制方法1：
以 （ x y ， 0） 为圆心，
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MECHANICS OF MATERIALS
第八章 应力应变状态分析
§8-1 引言 §8-2 平面应力状态应力分析 §8-3 应力圆 §8-4 平面应力状态的极值应力与主应力 §8-5 复杂应力状态的最大应力 §8-6 平面应变状态应变分析 §8-7 广义胡克定律 §8-8 复杂应力状态下的应变能与畸变能 §8-9 复合材料的应力、应变关系
t ,max
B 0,
t,max C c,max D 1 3 , 2 0 max min
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MECHANICS OF MATERIALS
例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：
低碳钢圆轴扭转时滑移与剪断发生在max的作用面：
灰铸铁圆轴扭转时断裂发生在max 的作用面：
x
x
ydAsin( )cos( ) ydAsin( )sin( ) 0
x
Ft 0
t
x dA xdAcos( )cos( ) xdAcos( )sin( )
y
dA n
x x
t
y
ydA sin( )sin( ) ydAsin( )cos( ) 0
x
y 2
x
y 2
cos(2 ) x
问题：已知x , y, x , y, 求任意平
dz
x 行于z轴的斜截面上的应力。
z
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MECHANICS OF MATERIALS
➢ 应力分析的解析法：微体中取分离体，据力(非应力)平衡。
y y
Fn 0
y
n
dA xdAcos( )sin( ) xdA cos( ) cos( )
tan 0
FD BF
x
x min
x max y
0
[
2
,
2
]
max min
CK
x
2
y
2
2 x
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MECHANICS OF MATERIALS
二、主应力
2
主平面－切应力为零的截面
1
主平面微体－由三对互垂的主平面构 成的微体
3
主应力－主平面上的正应力
主应力符号与规定－ 1 2 3（按代数值排列）
min
x x
0
max
min
(a cos b sin )
a2 b2 sin( ) 其中＝arctg a
b
方法一：求三角函数极值
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
xcos2
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 x
max min
x
2
y
2
2 x
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§8－5 三向应力状态的最大应力
2
一. 三向应力圆
（1）三组特殊的平面应力对应
于三个应力圆：平行3 平面， 由 1 , 2作应力圆；平行 1， 2
平面由 2, 3 和 3, 1 分别作应 d
力圆。 （2）三向应力圆
a
1
3
3
c 3
3
b
3
2
1
2
3
1 2
1 2
1
Page
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MECHANICS OF MATERIALS
50
2
30
2 80MPa 3
40MPa
tan 0
x
x min
x max y
3
10 30 3
单位：MPa
50
3
0 60
10 30 3
1
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MECHANICS OF MATERIALS
2.图解法
（1）在 坐标系画上
D 10,51.96, E 50, 51.96
MECHANICS OF MATERIALS
例 试作图示平面应力状态微体的三向应力圆
50
100 100
单位：MPa
50 100
100
100
o
o
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MECHANICS OF MATERIALS
D
两点，联结DE，以DE为直径作应力圆 B
20
C
A
（2）量A、B两点坐标，DCA得
D
E
1 =80MPa 0 60