第五章-振动

2
x

0
的形式，如果能化为这 种形式，也就证明了振 动为简谐
振动。（3）由求出周期T或频率。
简谐振动中的物理量x，v，a均完全由t
确定的。所以称之为相位，或位相，或相,为t 0时
的相位, 称为初相.
1. 不同时刻，相位不同，物体的运动状态不同，但相位差是
2的整数倍的物体的运动状态完全相同，只是在时间上落
0 ~ 1 kA2 1 m 2 A2 之间。
2
2 2

2动能最大时，势能为零；势能最大时，动能为零。
3振动总能量不随时间变化。
1 mv2 1 kx2 E 恒量
2
2
等式两边对t求导
即
mv dv kx dx 0 dt dt
mv
d2x dt 2

kxv

0

d2x k x 0
2
dx dt


2 0
x
0
（1）在 2 02 时（弱阻尼）
方程的解为 x

Ae t
cost

x
02 2，A、 由初始条件
v0、x0决定，此时系统仍能维持振 0
动，但振幅 Aet按指数规律衰减。
Ae t t
（2）在 2 02 时（过阻尼）
Asint
（b）o
v A为速度振幅
a
a

d2x dt 2
2 Acost
（c）o
am 2 A为加速度振幅
T
t1 t2 t1 t2
t1 t2
t3
t
t3
t
t3
t
由前可见，x，v，a均为t的周期函数，其周期均 为
T 2 , 频率 1 , 角频率 2 2
0.1cos10t


2
m

例4. 轻弹簧的一端固定，另一端与物体m间由柔软
细绳连接，细绳跨于桌边滑轮M上，而m悬于细绳下 端M=。1已kg知，弹半簧径的R=倔0.强2米系，数物k体质50量N mm=，1.5滑k轮g。的若质将量物为体 由平衡位置向上托起0.15米，然后突然放手。证明物 体做简谐振动，并写出振动方程。
4、由初始条件确定振动的振幅和初相。
设t

0时，x

x0，v

v0则有v0x0AAcossin
(1) (2)


A
x02

arctan

v0
2


v0
x0

(3) (4)
注 : 由(4)确定的值在 ~ (或0 ~ 2 )范围内有两个值 , 将
后了T 的整数倍。
2. 一定的运动状态对应于一定的相位。 3. 两个简谐振动的相位差
2t 2 1t 1 2 1t 2 1
当2 1时，与时间无关（有恒定的相差），由2、1 决定。 2 1为两振动的初相差.
若 2k
（特殊情况下只有一个位置）
2由初始速度方向、从转动矢量两个可能的位置确定其初始位
置，从而找出初相。如：
p1 2
1
0

p1
例: 任意时刻质点位于x处,如果质点
向x负向运动, x
则由op1
,
矢量描述,
相位1;
如果质点向x正向运动, 则op1矢量描述,
相位 2 .
（3）将空间分为四个象限，判断旋转矢量在哪个象限。
x1 x2 x3 x4 x5
•曲线下降，质点向x轴负向运动，v<0 •曲线上升，质点向x轴正向运动，v>0
当x1,x2,x3….为不同坐标轴时，
x 其初位相分别为
V<0
V>0
1 0
2


2
3
4

3 2
或


2
5 2或0
例5. 已知一简谐振动的 位移曲线如图所示，写 出振动方程。
m的振动方程为 x Acost 0.15cos5t m

P
A

ox
1矢量的长为A。
2矢量绕逆时针方向以角速 度匀速
旋转。
3矢量与x轴的夹角 t 。
X
矢量末端P点的投影为
x Acost
1由初始位置x0确定转动矢量两个可能的位置。
mg sin

ml
d 2
dt 2
当角很小时，sin

mg

ml
d 2
dt 2

d 2
dt 2

g
l

0
l m
f mg
单摆的小角摆动是简谐振动，其振动的角频率
和周期分别是
g
l
T 2 l
g
微分方程的解为 0 cost
例2. 一半径为R的球体，用一根质量可忽略的细线悬

m
k 1
m
x

2 x


6
2

m作谐振动，且圆频率为

k m 1 m
5.0 1.5 0.5

5秒
周期 T 2 0.42 1.26秒
2

又 t 0时，x0 0.15m，v0 0 A
x02


v0


2

x0
0.15m
由 x0 Acos A 得cos 1
EK

1 mv2 2

1 m 2 A2 sin 2 t
2
振动势能
EP

1 kx2 2

1 kA2 2
cos 2 t

1 m 2 A2 cos 2 t
2
总能量
E

EK

EP

1 m 2 A2
2

1 kA2 2
1振动动能和势能均随时间周期性变化，周期为T ，其值在
解 : 从图可知
x(cm) 2
1 0
1 2
A 2cm
t

0 时，x0


A 2 ,v0

0;
t 1时，x 0,v 0;
2 7
3
6
x 2 cos 7 t 2 (cm)
6 3
1
t(s)
t 1
A o t
2
x
t 0
振动动能
设想一余弦式驱动力 F0 cost 作用于有阻尼的
弹簧振子上，则动力学方程为：
m
d2x dt 2

kx v

F0
cost
令
2 ,
m

2 0

k m
,
f F0 m
即
d2x dt 2


m
dx dt

k m
x
F0 m
cos t
则方程的解为
x A1et cos 2 02t A2 cost
mgl

J
d 2
dt 2

d 2
dt 2

mgl
J

0

T 2
l g
1

0.4
R2
l
2
1 2
mgl J
g
l 1 0.4 R2 l 2
其解题方法是：（1）分析受力情况，由F ma或M J
写出动力学方程。（2）将动力学方程变为
d2x dt 2
上式第一项代表阻尼振动，经过足够长时间后消失，
则受迫振动的稳态解为：
其中 驱动力频率
x A2 cost
A2
f
02 2 2 4 2 2
tan

2 02 2
是由于阻尼引起的
位移比驱动力相位的 滞后，与初始条件无关。
受迫振动的能量转换过程：驱动力对系统作功，使系统 能量增加，阻尼则消耗能量，使系统能量减少，当振动 稳定后，这种能量的转换达到平衡。
x
x et A1e
2 02 t
A2e
2 02t
（此时，运动已不具有振动
0 临界阻尼
t
特征，物体将十分缓慢地回
到平衡位置。）
（3）在 2 02 时（临界阻尼）
x A Bt et
（此时，运动亦无振动特征， 物体以最短的时间返回平衡 位置。但又不振动）
三、共振
1、位移共振
强迫力角频率为某
一定值r时，受迫
振动位移振幅达到 极大值的现象。
共振频率
阻尼越小，r愈接近0
阻尼为零时，r 0
2、速度共振:
一定条件下, 速度幅 值达到极大的现象。
dt2 m
由于摩擦或者激发波动，会使振动能量耗散，导致 振幅衰减。这种振动称为阻尼振动，或减幅振动。
假设阻尼正比于速度， 即 fr v（为常数），则有
m
d2x dt 2

k x v
即 d 2x dx k 0
dt2 m dt m
令 2
m

2 0

k m
则
d2x dt 2
k 0，1， 2， 3 时
称两个振动同相。即振 动1与振动2的运动同步。
若 2k 1
k 0，1， 2， 3 时
称两个振动反相。
若t 2 t 1 ，称振动2超前于振动1。
若t 2 t 1，称振动2落后于振动1。
称为简谐振动。其解为： x Acost
由系统本身性质决定,与外界无关。
要证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面 三个方程之一为依据。
f kx
d2x dt 2


2
x

0
x Acost
x
x Acost
A为位移振幅
（a） o
v
v dx dt
初始条件：t 0时，x0 0，v0 1m s1
A
x02


v0

2

0

110

2

0.1m
tan v0 1
x0 10 0
2
v0

A sin

0Байду номын сангаас

sin

0




2
物体的振动方程为：x


T
T
结合简谐振子问题可知 其周期为 T 2 m
k
显然，如果我们通过振动系统的动力学方程，能写出，
则可以求得其振动的周期与频率。
例1. 确定单摆固有角频率 及周期T。
解 : 小球受力的切向分力为 mg sin
小球的切向加速度为
a

l
d 2
dt 2
l m
f mg
根据牛顿第二定律
研究简谐振动的意义：（1）简谐振动是一种最简单的 振动，容易研究。（2）复杂的振动是由简谐振动合成 的，研究简谐振动是研究其他振动的基础。
弹簧原长时小球m所在位置为坐标原点O.
f

kx

m
d2x dt 2
d2x dt 2

k m
x

0
令 k 2
m
d2x dt 2


2
x

0
凡是描述运动的物理量满足上面二阶微分方程的运动

v
A2 0x0
A1
xv00
v
x0

0 A3
0
Av40x0
第一象限
x0

0, v0

0,0



2
第二象限
x0

0, v0

0,

2


x 第三象限
x0

0, v0

0,



2
第四 象限
x0

0, v0

0,

2


0
（4） 由位移—时间曲线(x-t)形状判断速度的正负， 进一步确定其位相。
这两个值代入 (1)、（2）式，一定有一个与初 始条件不符，舍去！
例3. 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，
弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击
力，使它具有 1m s1的向下的速度，它就上下振动起
来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
解 : 取物体的平衡位置为原点o，
向下为x轴正方向，则有
k
mg kl 0
当物体运动至某点x时，根据牛顿
第二定律 整理可得
mg k
d d
2
t
x
2

k m
x l
x0


m
d2 dt
x
2
由此可知物体作简谐振动。
v0 m
o
m
X
k g 10(rad s1)
ml
振动方程为 x Acost ，速度方程为 v Asint ,
解:
k
M
m
在平衡位置o处有
mg kx0 0 1
物体离开o点x处时
T2 kx0 x 2
对物体m mg T1 ma 3
对滑轮M
T1
T2
R

1 2
MR 2



4
且 a R 5
解上述方程得
a

d2x dt2
第5章 机械振动
振动——一个物理量在平衡位置附近作往复运动
1、周期性, 物理量的某个状态及其变化量完全重复所需
要的时间,称为振动周期T.
2、有一个平衡位置
（1）回复力:指向平衡位置的力. （2）惯性
m o
（a）单摆
m o
（b）扭摆
m o
（c）弹簧振子
（d）浮体
o x AX
弹簧振子模型：无质量弹簧（轻弹簧），劲度系数为K (倔强系数)。质量为m的小球（质点）。
挂着，球心至悬挂点的距离为l，试求这个球作小角摆
动时的周期。
解 : 球相对于通过球心的任 意转轴的
转动惯量
J0

2 mR 2 5
l
球相对于与球心距离为 l的任意转轴的
转动惯量 J J 0
球受到的重力矩
ml 2
M
2 mR 2 5
mgl sin
ml
2
R
o
当角很小时，sin 。应用转动定理