2020-2021学年山东省济南市章丘区第一中学高一上学期12月月考数学试题 及答案

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2020-2021学年山东省济南市章丘区第一中学高一上学期12月月
考数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一 、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

）
1．已知命题:p n ∀∈*N ，2
112n n >-，则命题p 的否定为
A ．n ∃∈*N ，2
112n n ≤-
B ．n ∀∈*N ，2
112n n <-
C ．n ∀∈*N ，2
112
n n ≤-
D ．n ∃∈*N ，2
112
n n <-
2. 设x ,y 是两个实数,则“x ,y 中至少有一个数大于1”是“222x y +>”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件 3. 函数y ＝
3－x
2－log 2(x ＋1)
的定义域是
A ．(－1,3)
B ．(－1,3]
C ．(－∞，3)
D ．(－1，＋∞) 4. 若1a b c >>>且2,ac b <则
A ．log log log a b c b c a >> B. log log log c b a b a c >> C. log log log b a c c b a >> D. log log log b c a a b c >>
5. 函数223,0
()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩
的零点个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．函数3cos 1
()x f x x
+=
的部分图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数)
53(2
1
2log )(+-=ax x x f 在),1(+∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
)6,8.(--A ]6,.(--∞B ]6,8.[--C ]6,8.(--D
8.函数()f x 2(41)2x a x =--+在[1,2]-上不单调，则实数a 的取值范围是
A ．1
(,)4-∞-
B ．15(,)44-
C ．15[,]44-
D ．(,)4
5
+∞
二、多项选择题（每题5分，共20分。

给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

） 9. 已知,,a b c ∈R ，那么下列命题中正确的是 A ．若22ac bc >，则a b >
B ．若
a b
c c
>，则a b > C ．若33a b >，且0ab >，则
11a b < D ．若22a b >，且0ab >，则11a b
< 10. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在6
x π
=-
时取最大值，与之最近的最小值在
3
x π
=
时取到，则以下各式可能成立的是
A.1(0)2f =
B.()02f π=
C.()13f π=-
D.2()13
f π
= 11.已知集合M 是满足下列条件的函数()f x 的全体：（1）()f x 是偶函数但不是奇函数；（2）函数()f x 有零点，则下列函数属于集合M 的有 A.2()1ln f x x x x =--+ B.cos (1sin )
()1sin x x f x x
-=
-
C.()2sin()12
f x x π
=-- D.()1||f x x =-
12. 下列命题中真命题的是
A.2000,2sin 5x R x x ∃∈-≥的否定是“2
000,2sin 5x R x x ∀∈-<”； B. “11x y >>，”的充要条件是“2x y +>”；
C. 函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心是,0(k )26k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝
⎭； D. 在锐角ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件． 三、填空题（每小题5分，共20分。

）
13. 已知角θ的终边经过点P (4，y )，且3
sin 5
θ=-，则()tan πθ-= ．
14. 函数2lg(2)y x x =+-的单调递增区间
是 .
15. 已知实数0a >，0b >，且111a b +=，则3211
a b +--的最小值为 ． 16. 函数()2ln 1y ax ax =++的值域是R ，则a 的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17(本小题10分). 求值：
(1) 已知4sin 2cos 63sin 5cos 11θθθθ-=+ 求cos()sin()22
sin()3cos()
ππ
θθπθπθ-++--+ (2)5log 2
2541231log log 5log 3log 45.2⨯--+
18(本小题12分). 已知全集U =R ，集合{}
56A x x =<≤，139x a
B x -⎧⎫
=<
⎨⎬⎩⎭
，a 为实数. （1）当15
2
a =
时，求
A B ；
（2）若()R C B A φ≠，求a 的取值范围.
19(本小题12分). 函数()log a f x b x =+（0a >且1a ≠）的图象经过点(8,2)和
(1,1)-．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）函数2()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小值．
20(本小题12分). 函数()2sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭一个零点为3π，其图象
距离该
零点最近的一条对称轴为12
x π
=．
（1）函数()f x 的解析式；
（2）若关于x 的方程2()log 0f x k +=在2,43x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒有实数解，求实数k 的取值范围．
21(本小题12分). 已知函数2
1()log 1
ax
f x x +=-（a 为常数）是奇函数． （1）求a 的值与函数()f x 的定义域；
（2）若当(1,)x ∈+∞时，2()log (1)f x x m +->恒成立．求实数m 的取值范围．
22(本小题12分). 定义在R 上的单调函数()f x 满足2(3)log 3f =，且对任意x ，
y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+．
（1）求证：()f x 为奇函数；
（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
答案
选择题：ADAB CBCB AC AC CD ACD
13. 3
4
14.(1,)
+∞15.26
16.(0,4]
17.(1) 解析：tan2
θ=,原式3
5
=.--------5分
（2）5log2
25412
3
1
log log5log3log45
2
⋅--+＝－
1
4＋1－2＋2＝
3
4.-------10分
18. 解：(1)当
15
2
a=时，
1515
2
22
1
333
9
x x
B x x
---
⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪
=<=<=
⎨⎬⎨⎬
⎪⎪⎪⎪
⎩⎭⎩⎭
1511
2,
22
x x
⎧⎫⎛⎫
-<-=-∞
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎩⎭
，
因为集合{}
56
A x x
=<≤，所以(],6
A B=-∞；
（2）因为{}2
1
333
9
x a x a
R
C B x x
---
⎧⎫
=≥=≥
⎨⎬
⎩⎭
[)
2,
a
=-+∞，
又因为()
R
C B Aφ
≠，
所以26
a-≤，即8
a≤，
所以a的取值范围是(],8
-∞.
19. 【解析】（1）由题意得
log82
log11
a
a
b
b
+=
⎧
⎨
+=-
⎩，
解得
2
1
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，所以2
()1log
f x x
=-+．------------------6分
（2）设2
1log
t x
=-+，t∈R，则2
()
g t t t
=-，即2
11
()()
24
g t t
=--，
所以当
1
2
t=，即22
x=时，min
11
()()
24
g x g
==-．-------------12分
21. 【解析】（1）因为函数21()log 1
ax
f x x +=-是奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以2211lo
g log 11ax ax x x -+=----，即2211
log log 11ax x x ax
--=++，所以1a =， 令
101
x
x +>-，解得1x <-或1x >，所以函数的定义域为{}11x x x <->或．---6分 （2）22()log (1)log (1)f x x x +-=+，当1x >时，12x +>，所以
22log (1)log 21x +>=．
因为(1,)x ∈+∞,2()log (1)f x x m +->恒成立，
所以1m ≤，所以m 的取值范围是(,1]-∞-------------------------------------12分 22. 【解析】（1）证明：由()()()f x y f x f y +=+，
令0x y ==，得(0)0f =．令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-， 又(0)0f =，则有()()0f x f x +-=，
即()()f x f x -=-对任意x ∈R 成立，所以()f x 是奇函数．------------------6分 （2）2(3)log 30f =>，即(3)(0)f f >，
又()f x 是R 上的单调函数，所以()f x 在R 上是增函数． 又由（1）知()f x 是奇函数．
(3)(392)0(3)(932)3932x x x x x x x x x f k f f k f k ⋅+--<⇔⋅<-+⇔⋅<-+，
分离参数得2313x
x k <+
-，即2313x
x
k <+-对任意x ∈R 恒成立，
令2313x
x u =+
-，当31log 22
x =时u 的最小值为1，
则要使对任意x ∈R 不等式2
313x
x
k <+
-恒成立，只要使得1k <，
故k 的取值范围是1k <------------------------------------------12分。