四川省资阳市2019-2020学年高考二诊数学试题含解析

四川省资阳市2019-2020学年高考二诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数2
()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.
【详解】
(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.
故选:B . 【点睛】
本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.
2．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则
sin 22πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ） A ．4
5
-
B ．
45
C ．35
-
D ．
35
【答案】D 【解析】 【分析】
由题知cos α=，又2
sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，代入计算可得.
【详解】
由题知cos α=，又2
3sin 2cos 22cos 125πααα⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.
3．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v
，则2x y +=
（ ）
A ．1
B ．23
-
C ．13
-
D ．34
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r ，，表示，可得到的,x y 关系，再
由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】
由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则
(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，即412y =，
所以13y =，又,,B D C 共线，则1111,,233
x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】
此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 4．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．21,06e ⎛⎫-
⎪⎝⎭
B ．1,06e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．10,
6e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．2
10,
6e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
令2
()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3x k x =
，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x
=有两个交点，结合已知，即可求得答案. 【详解】
令2
()()30F x f x kx =-=， 可得2
ln 3x
k x =
， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x =
有两个交点， Q 3
12ln ()3x
g x x -'=
， 令12ln 0x -=，
可得x =
∴当x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；
当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减.
∴
当x =max 1()6e
g x =， ∴若直线y k =和2
ln ()3x g x x =
有两个交点，则10,6e k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. ∴实数k 的取值范围是10,6e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】
因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，
0m =.故选A.
【点睛】
本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.
6．已知角α的终边与单位圆22
1x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则cos2α等于（ ）
A ．
19
B ．79
-
C ．23
-
D ．
13
【答案】B 【解析】 【分析】
先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α. 【详解】
解：角α的终边与单位圆22
1x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
1
cos 3
α=，
2
217cos 22cos 12139αα⎛⎫
=-=⨯-=- ⎪⎝⎭
，
故选：B 【点睛】
考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.
7．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可. 【详解】
由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C. 【点睛】
本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.
8．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）
A ．6
B ．3
C ．
92D ．
92+【答案】B 【解析】 【分析】
求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】
解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，
可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为
|103|
22
--+=， 则PAB △的面积的最小值为1
32232
⨯⨯=. 故选：B.
【点睛】
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
9．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36 B ．72
C ．36-
D ．36±
【答案】A 【解析】 【分析】
根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】
等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以4264a a a =±⋅=±，又2
420a a q =⋅>，所以44a =，由等
差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】
本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 10．已知数列满足
，且
，则数列
的通项公式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：因为，所以，即，所以数列是以
为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列
的通项公式是，故选D ．
考点：数列的通项公式． 11．若
，则
（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】 因为
，由诱导公式得
，所以
.
故选B 【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.
12．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2
212
x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径
的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．65,⎛ ⎝⎭
B ．66
5,5⎛- ⎝⎭⎝U C ．65⎝
D ．66
5,5⎛- ⎝⎭⎝U
【答案】D 【解析】 【分析】
设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r
，
联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】
显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，
()11,P x y ，()22,Q x y ，由2
2122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22
12860k x kx +++=，
Q ()
226424120k k ∆=-+>，
∴
解得k >
或k <，
∴122812k x x k +=-
+，122
612x x k =+， Q 02
POQ π
<∠<，
∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r
，
∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r
()()2
1212124k
x x k x x =++++()2222
22611610240121212k k k k k k
+-=
-+=>+++， ∴
解得k <<
∴直线l 的斜率k
的取值范围为22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数2
2ln 2()x f x x +=
的图象在2e
x =处的切线方程为__________．
【答案】3
40320x e y e +-= 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义,对2
2ln 2()x f x x
+=求导后在计算在2e
x =处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可. 【详解】
2
44
1(2ln 2)22(2ln 2)()x x x x x x x f x x x ⋅-+⋅-+'==,则切线的斜率为3402e f e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭
.
又2
122e f e
⎛⎫=
⎪⎝⎭,所以函数()f x 的图象在2e x =处的切线方程为2312402e y x e e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,即340320x e y e +-=.
故答案为：3
40320x e y e +-= 【点睛】
本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.
14．已知数列{}n a 满足11,a =对任意2N*n n ≥∈,，
11
11
2n n n a a ---=，则数列{}n a 的通项公式n a =__________.
【答案】1
21
n - 【解析】 【分析】
利用累加法求得数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，由此求得{}n a 的通项公式.
【详解】 由题，
112211
11111111n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21122221n n -=+++⋅⋅⋅+=-
所以1
21
n n
a =- 故答案为：1
21
n
- 【点睛】
本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.
15．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________，4a 的最大值为__________． 【答案】5 5
2
【解析】
243546225a a a a a a ++=22
233553535225()25,05n a a a a a a a a a ⇒++=⇒+=>∴+=Q
22354354255(
)242a a a a a a +∴=≤=⇒≤ ，即4a 的最大值为5
2 16
．在8的展开式中，x 的系数等于__．
【答案】7 【解析】 【分析】
由题，得811422
1881122r
r
r
r r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，令3r =，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得81
1422
1881122r
r
r
r r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
令3r =，得x 的系数3
38
172C ⎛⎫== ⎪⎝⎭
.
故答案为：7 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii
）若1p =，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈
【答案】（1）110（2）（i ）()1
11k
p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.
【解析】 【分析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可； （2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到
()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得
()11k
p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断
()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值
【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,
则()23
23
5
5A A 1A 10
P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为1
10
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,
()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k
E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦
,
若()()12E E ξξ=,则()11k
k k k p =+--,则()1
1k
p k
-=
, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k
p f k k ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥）
（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k
<-,
1p =Q
,1k
k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1
ln 3
f x x x =-（0x >）, 则()113
f x x '=
-,令()0f x '=,则13x =,
∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,
4
1.33333
≈, 4ln 43
∴>
, 又ln5 1.6094≈,
5
1.66673
≈, 5
ln 53
∴<,
∴k 的最大值为4 【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性 18．已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为
2ln 33
-.
（1）求a ；
（2）讨论函数()()2g x f x x =-(0)x >和2()()21
x
h x f x x =-
+(0)x >的单调性； （3）设12
,5
a =()1n n a f a +=，求证：1521202n n
n a +-<-<(2)n ≥. 【答案】（1）1a = （2）()()2g x f x x =-(0)x >为减函数，2()()12x
h x f x x
=-+(0)x >为增函数.
（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出导函数()f x '
，求出切线方程，令0x =得切线的纵截距，可得a （必须利用函数的单调性求
解）；
（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；
（3）不等式152122n n
n a +-<-变形为25
n
n a <，由()g x 递减，得()(0)0g x g >=(0x >)，即()2f x x <，
即11(21)2n n n a f a a --=+<，依次放缩，2
1
1212222
5
n
n n n n a a a a ---<<<<=L ． 不等式1
20n a -<，2()()21
x h x f x x =-+递增得()(0)h x h >(0x >)，2()021x f x x >
>+,
111()2f x x <+,11122()2f x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭,先证21
11220()a f a -=-<，然后同样放缩得出结论． 【详解】
解：（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得2()2f x x a
'=+.
因此2
(1)2f a
'=
+.又因为(1)ln(2)f a =+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为
2
ln(2)(1)2y a x a -+=
-+， 即22ln(2)22y x a a a
=
++-++. 由题意，22
ln(2)ln 323a a +-
=-+. 显然1a =，适合上式. 令2
()ln(2)2a a a
ϕ=+-+(0)a >， 求导得2
12()02(2)a a a ϕ'=
+>++， 因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.
（2）由（1）可知，()ln(21)2g x x x =+-(0),x >2()ln(21)21
x
h x x x =+-+(0)x >， 因为24()202121
x
g x x x '=
-=-<++， 所以()()2g x f x x =-(0)x >为减函数. 因为222()21(21)h x x x '=
-++2
40(21)x
x =>+， 所以2()()12x
h x f x x =-
+(0)x >为增函数.
（3）证明：由12
,5
a =()()1ln 21n n n a f a a +==+，易得0n a >.
15212225
n n
n n
n a a +-<-⇔< 由（2）可知，()()2g x f x x =-ln(21)2x x =+-在(0,)+∞上为减函数.
因此，当0x >时，()(0)0g x g <=，即()2f x x <. 令1(2)n x a n -=≥，得()112n n f a a --<，即12n n a a -<. 因此，当2n ≥时，2
1
121222
n n n n a a a a ---<<<⋅⋅⋅<25
n
=.
所以1521
22n n
n
a +-<-成立. 下面证明：1
20n
a -<. 由（2）可知，2()()21x h x f x x =-
+2ln(21)21
x
x x =+-+在(0,)+∞上为增函数. 因此，当0x >时，()(0)0h x h >=， 即2()021
x
f x x >
>+. 因此
11
1()2f x x
<+， 即
11122()2f x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭
. 令1(2)n x a n -=≥，得
()11111
222n n f a a --⎛⎫-<- ⎪⎝⎭
，
即
1111
222n n a a -⎛⎫-<- ⎪⎝⎭
. 当2n =时，
21122n a a -=-()112f a =-1
225f =-⎛⎫
⎪⎝⎭
12ln1.8=-.
因为1ln1.82
>>=
， 所以120ln1.8-<，所以2
120a -<. 所以，当3n ≥时，
221221111111
22220222n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-<-<⋅⋅⋅<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 所以，当2n ≥时，
1
20n
a -<成立.
综上所述，当2n ≥时，1521
202n n
n
a +-<-<成立. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明，
考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系：12n n a a -<，1
111
2(2)2n n a a --<-(2)n ≥．这是最关键的一步．然后一步一步放缩即可证明．本题属于困难题． 19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：
（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：
0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，3
5
，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为
45，12，2
3
．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A
，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．
附：（1）相关系数n
i i
x y nx y
r -=
∑
（2）
8
1
347i i
i x y
==∑，8
2
1
1308i i x ==∑，8
21
93i i y ==∑
【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）6
5
【解析】 【分析】
（1）根据题目提供的数据求出,x y r u r
，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；
（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，
3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
:,，利用二项分布的期望公式求解即可.
【详解】
解：（1）由题意可知2361021131518
118
x +++++++=
=r ， 112 2.56 3.5 3.5 4.538
y +++++++==u r ，
由公式0.98r =
=≈，
0.980.75r ≈>Q ，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；
（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为
1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322
535
A P =⨯=，
由题意，235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
:, ，
()26
355
E X ∴=⨯=.
【点睛】
本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题.
20．（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ： 24y x =于点P ，点F 为C 的焦点.圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ， PF ， x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；
（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ， 2l 分别与y 轴相交于点
A ，
B .当线段AB 的长度最小时，求s 的值.
【答案】 (1) 2=1y x - ()0y ≠．(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）设(),M m n 根据题意得到
n =，化简得到轨迹方程；（2）设
()
21,Q t t +， ()10,A y ，()20,B y ，33151
232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-+=++>，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值. 解析：
（1）因为抛物线C 的方程为2
4y x =，所以F 的坐标为()1,0，
设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P (
)
2
,2n n ，则直线PF 的方程为
2121
y x n n -=-，即()()
2
2110n x y n ---=，
n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，
所以E 的方程为2
=1y x - ()0y ≠．
（2）设()
2
1,Q t t +， ()10,A y ，()20,B y ，
由（1
）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，
由y '=
，所以121AQ
t y k t -==+，2
21BQ t y k t -==-+ 所以11
22t y t
=
-，3223y t t =+， 所以3
3151232(0)2222t AB t t t t t t t
=+-
+=++>． 令()3
51222f t t t t =++，0t >，则()422
22
5112516222t t f t t t t '+-=+-=，
由(
)0f t '>得t >
()
0f t '<得0t <<
所以()f t 在区间⎛
⎝
单调递减，在⎫⎪+∞
⎪⎭
单调递增， 所以当t
=
()
f t 取得极小值也是最小值，
即AB 取得最小值， 此时21s t =+=． 点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问
题要先分析题意转化为等式，例如0NA NB ⋅=u u u r u u u r
，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，
然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
21．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计A ，B 两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：
A 市场：
B 市场：
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品，在A 、B 两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y （单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润. （1）求200X >的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n =吨还是200n =吨?并说明理由. 【答案】（1）0.42；（2）200n =吨，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，由题可得()1P A ，()2P A ，()3P A ，()1P B ，2()P B ，()3P B ，代入
()()233233200P X P A B A B A B >=++，计算可得答案；
（2）X 可取180，190，200，210，220，求出190n =吨和200n =吨时的期望，比较大小即可. 【详解】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，则
()10.2P A =，()20.5P A =，()30.3P A =， ()10.1P B =，)2(0.6P B =，()30.3P B =， ()()233233200P X P A B A B A B >=++
()()()()()()233233P A P B P A P B P A P B =++ 0.50.30.30.60.30.30.42=⨯+⨯+⨯=；
（2）X 可取180，190，200，210，220，
()()111800.20.10.02P X P A B ===⨯=
()()21121900.50.10.20.60.17P X P A B A B ==+=⨯+⨯=
当190n =时，()()18051020.02190510.02948.()6E Y =⨯-⨯⨯+⨯⨯-=
当200n =时，()()()()18052020.021*******.17200510.020.17E Y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯--
985.3=.
9486985.3<Q .，
200n ∴=时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n =吨.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.
22．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；
（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()
2
sin 22e
x
f x x x <++.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出()g x 的定义域，导函数，对参数a 、b 分类讨论得到答案.
（2）设函数()()()31h x f x x =-+，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.
（3）由（1）可知1ln x x ≥+，可得()()2
2
sin sin 1e 1ln 1e x
x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦
，即()
()2
sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥又()()2
2sin sin 22e 1e x x x x x ++>+即可得证.
【详解】
（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x b
x
'=
-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >
，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在,b a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增；
当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；
当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<
，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，
在,b a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2
cos 31
x x h x '=
+-+. 因为0x ≥，所以
(]2
0,21
x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，
所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+. （3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.
由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥， 即1ln x x ≥+.
当1x >-时，()210x +>，()2
sin 1e 0x x +>，
则()()2
2
sin sin 1e 1ln 1e x
x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦
， 即()()2
sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，
又()
()2
2sin sin 22e
1e x
x x x x ++>+， 所以(
)
()2
sin 22e
2ln 1sin 1x
x x x x ++>+++，
即()()
2
sin 22e
x
f x x x <++.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.
23．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点.
（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；
（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2 【解析】 【分析】
（1）取BC 中点M ，连接,PM AM ，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，结合垂线段的性质可以确定点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1.
以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】
（1）证明：取BC 中点M ，连接,PM AM ， 因为四边形ABCD 为菱形且120BAD ∠=︒. 所以AM BC ⊥，
因为PB PC =，所以PM BC ⊥， 又AM PM M =I ，
所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ， 所以PA BC ⊥. 同理可证PA DC ⊥， 因为DC BC C =I ， 所以PA ⊥平面ABCD .
（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，
所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ⋂平面ABCD AF =. 所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离.
过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为2AB =，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1. 以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,0),(0,1,1),(0,2,0)A C E B
所以(0,1,1),(0,2,0)AC AE AB ===u u u r u u u r u u u r
平面PAF 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r
，
设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r
， 则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r
即0,0,y y z +=+=⎪
⎩ 取1y =
，则(1)3
n =--r
，
cos ,7||||n AB n AB n AB ⋅<>==⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，
所以sin ,n AB <>==u u u r r ， 所以面PAF 与面EAC
. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.。