(精选试题附答案)高中数学第九章统计经典大题例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第九章统计经典大题例题
单选题
1、某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数表法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于（）
A．80B．160C．200D．280
答案：C
分析：每个个体被抽的可能性等于样本容量除以总体数，由此列出关于n的方程并求解出结果.
=0.2，解得n=200，
由题意可知：n
400+320+280
故选：C.
2、某校为了解学生的课外锻炼身体的情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外锻炼时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该校学生一周进行课外锻炼的时间的第40百分位数是（）A．8.5B．8C．7D．9
答案：A
分析：根据百分位数的求法计算即可.
抽取的学生人数为6+10+9+8+7=40．由40%×40=16，
故第40百分位数为所有数据从小到大排序的第16项与第17项数据的平均数，
=8.5．
即8+9
2
故选: A.
3、下列调查方式较为合适的是（）
A．为了了解灯管的使用寿命，采用普查的方式
B．为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式
C．调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样调查的方式
D．调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用普查的方式
答案：B
分析：根据实际情况选择合适的调查方式即可判断.
对A，为了了解灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A错误；
对B，为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式，故B正确；
对C，调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样普查的方式，故C错误；
对D，调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用抽样普查的方式，故D错误.
故选：B.
4、2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错．误．的是（）
A．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半
C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人
D．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多
答案：D
分析：根据饼状图和条形图提供的数据判断．
由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×(45%−30%)=30，A正确；
=45<50，B 由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为200×45%×1
2
正确；
成绩第1-50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2=18，因此高三最多有32人，C正确；
第51-100名的50人中，高二人数不确定，无法比较，D错误．
故选：D．
5、某射击运动员6次的训练成绩分别为：88,91,89,88,86,85，则这6次成绩的第70百分位数为（）
A．89B．89.5C．90D．90.5
答案：A
分析：先将数据按从小到大的顺序排列，计算6×70%=4.2不是整数，则所求的是从小到大排列的第5位数
6次考试数学成绩从小到大为:85,86,88,88,89,91,
6×70%=4.2，
∴这名学生6次训练成绩的第70百分位数为89 .
故选：A
6、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是（）
A．29 mmB．29.5 mm
C．30 mmD．30.5 mm
答案：A
分析：先求得棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为85%，在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，从而可得80百分位数一定位于[25，30)内，进而可求出答案
棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，
在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，
因此，80百分位数一定位于[25，30)内，
=29，
由25+5×0.80−0.60
0.85−0.60
可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是29 mm.
故选：A
7、根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数x̅<4；
②平均数x̅<4且极差小于或等于3；
③平均数x̅<4且标准差s≤4；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
答案：B
分析：举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.
①举反例：0，0，0，4，11，其平均数x̅=3<4．但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为10−3=7，此时数据的平均数必然大于7，
与x̅<4矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1，1，1，1，11，平均数x̅=3<4，且标准差s =4.但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.
故选：B ．
8、关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y )的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）
A ．4a m
B ．a+2m
C ．a+2m m
D ．4a+2m m
答案：D
解析：由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数x,y ，满足{0<x <10<y <1
，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．
解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(x,y )，即{0<x <10<y <1
， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，
若两个正实数x,y 能与1构成钝角三角形三边，则有{x 2+y 2<1
x +y >10<x <10<y <1
，
其面积S =π4−12；则有a m =π4−12，解得π=4a+2m m
故选：D ．
小提示：本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
9、某校高一共有10个班，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a ，高一（6）班被抽到的可能性为b ，则（ ）
A ．a =310
，b =29B ．a =110，b =19 C ．a =310，b =310D ．a =110，b =110
答案：C
分析：根据简单随机抽样的定义，分析即可得答案.
由简单随机抽样的定义，知每个个体被抽到的可能性相等，故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均为310. 故选：C
10、为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）
A ．1200名学生是总体
B ．每个学生是个体
C ．样本容量是100
D ．抽取的100名学生是样本
答案：C
分析：根据总体、个体、样本容量、样本的定义，结合题意，即可判断和选择.
根据题意，总体是1200名学生的成绩；个体是每个学生的成绩；
样本容量是100，样本是抽取的100名学生的成绩；故正确的是C.
故选：C.
填空题
11、某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生7000人，现采用分层抽样的方法从这三个
区所有高中学生中抽取一个容量为600人的样本进行学习兴趣调查，则A区应抽取__________________.
答案：210
分析：根据总体数和要抽取的样本数，得到每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以A区的人数，得到A区
要抽取的人数.
解：由题意知A区在样本中的比例为7000
20000
∴A区应抽取的人数是7000
20000
×600=210.
所以答案是：210．
12、某单位有员工900人，其中女员工有360人，为做某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为150的样本，则应抽取的男员工人数是_______________________．
答案：90
分析：按照分层抽样的定义，按照比例抽取即可
由题意，设应抽取的男员工人数是x
则900−360
900=x
150
解得：x=90
所以答案是：90
13、已知一组数据：20，30，40，50，50，60，70，80，记这组数据的第60百分位数为a，众数为b，则a和b的大小关系是______________．（用“<”“>”或“=”连接）
答案：a=b##b=a
分析：由百分位数求法得50为第60百分位数，并确定数据的众数，即可比较它们的大小关系.
因为8×60%=4.8，
所以这组数据的第5个数：50为第60百分位数．
观察易知这组数据的众数为50，
所以a和b的大小关系是a=b．
所以答案是：a=b
14、某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm）：
152 ，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170 ，171，x，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为________.
答案：172
分析：根据百分位数的意义求解.
百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，
=173，x=172
本题第90百分位数是173，所以x+174
2
故答案为:172
小提示：本题考查样本数据的第多少百分位数的概念.
15、气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的
日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
答案：①③
分析：根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答
即可得出答案．
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22、
22、24、25、26，其连续5天的日平均气温均不低于22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19、20、27、27、27，可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22，如22、25、25、26、32，这组数据的平均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．
小提示：本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．
解答题
16、为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照[27.5,32.5)，[32.5,37.5)，[37.5,42.5)，[42.5,47.5)，[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数x̅（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．
答案：(1)a=0.050
(2)40
(3)7000
分析：（1）由各组频率之和为1（面积之和为1）可求得；
（2）频率分布直方图用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和估计平均数；
（3）用样本频率估计总体概率进行求解.
（1）由题意，有(0.020+0.040+0.075+a+0.015)×5=1，
解得a=0.050；
（2）这种植物果实重量的平均数约为：
30×0.020×5+35×0.040×5+40×0.075×5+45×0.050×5+50×0.015×5=40，
∴这种植物果实重量的平均数x̅的估计值约为40.
（3）样本中，这种植物果实重量不低于37.5克，即优质果实的频率为
0 .075×5+0.050×5+0.015×5=0.7，
由此估计某批10000个果实中，重量不低于37.5克，即优质果实的概率为0.7，
∴这批果实中的优质果实的个数约为10000×0.7=7000个.
17、第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取40名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；
(2)现要对测试成绩在前26%的中学生颁发“滑雪达人”证书，并制定出能够获得证书的测试分数线，请你用样本来估计总体，给出这个分数线的估计值.
答案：(1)a=0.02，平均数为74.5
(2)82
分析：（1）计算出测试分数位于[90,100]个数，可求得测试分数位于[80,90)的个数，由此可求得a的值，将每
个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得样本的平均数；
（2）设能够获得证书的测试分数线为x，分析可得80<x<90，根据已知条件可得出关于x的等式，求解即可. （1）
解：由频率分布直方图可知，测试分数位于[90,100]的频率为10×0.01=0.1，
则测试分数位于[90,100]个数为40×0.1=4，
所以，测试分数位于[80,90)的个数为40−(4+10+14+4)=8，
÷10=0.02.
所以a=8
40
估计平均数为55×0.1+65×0.25+75×0.35+85×0.2+95×0.1=74.5.
（2）
解：因为测试分数位于[90,100]的频率为0.1，测试分数位于[80,90)的频率为0.2，
能够获得“滑雪达人”证书的中学生测试分数要在前26%，
故设能够获得证书的测试分数线为x，则80<x<90，
由(90−x)×0.02=0.26−0.1，可得x=82，所以分数线的估计值为82.
18、某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85.
（1）求x，y的值；
（2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是乙班参赛.
答案：（1）x=9，y=5；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．
分析：（1）利用茎叶图，根据甲班7名学生成绩的平均分是85，乙班7名学生成绩的中位数是85．先求出x，y，
（2）求出乙班平均分，再求出甲班7名学生成绩方差和乙班名学生成绩的方差，由此能求出结果．
解：（1）甲班的平均分为：1
7
(75+78+80+80+x+85+92+96)=85；
解得x=9，
∵乙班7名学生成绩的中位数是85，∴y=5，
（2）乙班平均分为：1
7
(75+80+80+85+90+90+95)=85；
甲班7名学生成绩方差S12=1
7(102+72+52+42+02+72+112)=360
7
，
乙班名学生成绩的方差S22=1
7(102+52+52+02+52+52+102)=300
7
，
∵两个班平均分相同，S22<S12，
∴乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．
小提示：本题考查茎叶图的应用，解题时要认真审题，属于基础题．
19、2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于[20,45]岁的人中随机地抽取x人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.
（1）求x、y、z的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保
留整数）；
（3）从年龄段在[25,35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]中的概率.
答案：（1）{
x=200
y=0.625
z=6
；（2）30.75；（3）13
18
.
分析：（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出x、y、z；
（2）根据频率分布直方图，能估计这x人年龄的平均值；
（3）从年龄段在[25,35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，[25,30)中选5人，分别记为A、B、C、D、E，[30,35]中选4人，分别记为a、b、c、d，在这9人中选取2人作为记录员，利用列举法列举出所有的
基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
（1）由题意得：
{
x=
45
0.75
0.06×5
=200
y=25
200×0.04×5
=0.625
z=200×0.03×5×0.2=6
；
（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：x=22.5×0.3+27.5×0.2+32 .5×0.2+37.5×
0.15+42.5×0.15=30.75；
（3）从年龄段在[25,35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，
从[25,30)中选：9×25
25+20
=5人，分别记为A、B、C、D、E，
从[30,35]中选：9×20
25+20
=4人，分别记为a、b、c、d，
在这9人中选取2人作为记录员，所有的基本事件有：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(A,E)、(A,a)、(A,b)、(A,c)、(A,d)、(B,C)、(B,D)、(B,E)、(B,a)、(B,b)、(B,c)、(B,d)、(C,D)、(C,E)、(C,a)、(C,b)、(C,c)、(C,d)、(D,E)、(D,a)、(D,b)、(D,c)、(D,d)、(E,a)、(E,b)、(E,c)、(E,d)、(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c,d)，共36种，
选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]包含的基本事件有：(A,a)、(A,b)、(A,c)、(A,d)、(B,a)、(B,b)、(B,c)、(B,d)、(C,a)、(C,b)、(C,c)、(C,d)、(D,a)、(D,b)、(D,c)、(D,d)、(E,a)、(E,b)、(E,c)、(E,d)、(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c,d)，共26种，
因此，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]中的概率P=26
36=13
18
.
小提示：本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题.。