勾股定理知识点+专项练习50题(有答案)

勾股定理知识点+专项练习
50题（有答案）
基础知识点： １．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：
方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221
4()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的
面积与小正方形面积的和为221
422
S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为
222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1
()()2
S a b a b =+⋅+梯形，
211
2S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在
ABC ∆中，90C ∠=︒，则
c =
，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决
一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边
c
b a
H
G F E
D
C
B A
b
a
c
b
a
c c
a
b
c
a b a b
c
c b
a
E D C
B
A
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；
2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
８.．勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常
见图形：
A
B C
30°
D C B
A A
D
B C
10、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

专项练习50题：
１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．
⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长
⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=
2、在Rt △ABC 中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a.
3、如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?
4、如图，已知：在
中，
，
，
. 求：BC 的长.
5、如图，已知：
，
，于P . 求证：.
6、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD 的面积。

7、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向
走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

8、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
9、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
10、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
11、作长为、、的线段。

12、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．（正确）
2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
13、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

15、已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
17、如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?请说明。

18、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

19、等边三角形的边长为2，求它的面积。

20、直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

21、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

22、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8，15，17
B、4，5，6
C、5，8，10
D、8，39，40
23、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

24、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
25、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

26、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

27、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

28、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
，求、、的值。

29、如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
30、如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EF 的长。

31、 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．
32．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．
B A C
D
2-1
N
A
M
C
B
33．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．
34．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）
A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13
35、如图把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，•若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？
36、．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
37、．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？
2-4
38．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF 的长为（）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77
2-5
39、试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？
40．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
41．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=1
4
BC，猜想AF•与EF的位置关系，
并说明理由．
42．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）
A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．
B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．
C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．
D．△ABC不是直角三角形．
43、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．
求证：△ABC是直角三角形．
44．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②
∴c2=a2+b2．③
∴△ABC为直角三角形．④
问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；
（2）本题的正确结论是________．
45、如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．
46、如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC 的度数．
2-9
47、如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
48.如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．
求证：A D2=AC2+BD2．
2-12 49．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．
2-13
50．如图．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C 处，问绳子最短是多少厘米？
专题练习50题答案：
１.解：⑴2210AB AC BC =+=
⑵228BC AB AC =-=
2、 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC 中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC 中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC 中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
3、 【答案】∵∠ACD =90° AD =13, CD=12 ∴AC 2 =AD 2－CD 2 =132－122 =25 ∴AC =5
又∵∠ABC=90°且BC =3
∴由勾股定理可得 AB 2=AC 2－BC 2 =52－32 =16 ∴AB = 4
∴AB 的长是4.
4、
思路点拨：由条件，想到构造含
角的直角三角形，为此作于D ，则有
，
，再由勾股定理计算出AD 、DC 的长，进而
求出BC 的长. 解析：作于D ，则因
，
∴
（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
∴.
5、
解析：连结BM，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵（已知），
∴.
在中，根据勾股定理有
，
∴.
6、
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC 交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。

∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
7、解析：（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
8、【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：OC＝1米(大门宽度一半)，
OD＝0.8米（卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
9、
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3
图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
10、解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得
（提问：勾股定理）
∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：最短路程约为１０．７７cm．
11、思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

作法：如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。

斜边为；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是
、、、。

12、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．（正确）
2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

13、
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

∵(a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

∴a=3，b=4，c=5。

∵32+42=52,
∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

14、【答案】：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
15、
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
16、
解析 （1）由点A 作AD⊥BC 于D ， 则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离 在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，
∴AD=2
1
AB=110.
由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响． 故该城市会受到这次台风的影响．
（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，
将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时， 该城市都会受到这次台风的影响.
由勾股定理得
∴EF＝2DE ＝6015.
因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，
所以这次台风影响该城市的持续时间为
15415
15
60 小时. （3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20
110＝6.5级．
17、【答案】答：DE⊥EF。

证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。

18、思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
（3x）2+（4x）2＝202
化简得x2＝16；
∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

19、【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）
∴BD＝1
在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3
∴AD＝
S△ABC＝BC·AD＝
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

20、【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：
由（1）得：x+y＝7，
（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49 (3)
(3)－(2)，得：xy＝12
∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）
21、
思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2
化简得：n2＝4
∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

22、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8，15，17
B、4，5，6
C、5，8，10
D、8，39，40
解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。

例如：对于选择D，
∵82≠（40+39）×（40－39），
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

同理可以判断其它选项。

【答案】：A
23、解：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36
24、
思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。

（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。

因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

解析：作AB⊥MN，垂足为B。

在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，
∴AB＝AP＝80。

（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),
∴CD＝120(m)。

拖拉机行驶的速度为: 18km/h＝5m/s
t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

25、解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)
设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为7－5＝2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。

【答案】4
26
【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。

（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，，
，故
27、
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．
解：连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC．又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB．AD⊥BC．
且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．
所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以AE=FC=5．
同理：AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。

通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

28、
思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。

解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则，由勾股定理，得。

因为，所以，
，，。

总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

29、
设MN交AC于E，则∠BEC=900.又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，
∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=900.又∵MN⊥CE，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288， ∴CE=
13144. 13144÷169
144
≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 9时50分+51分=10时41分.
30、 解：因为△ADE 与△AFE 关于AE 对称，所以AD=AF ，DE=EF 。

因为四边形ABCD 是矩形，所以∠B=∠C=90°， 在Rt △ABF 中， AF=AD=BC=10cm ，AB=8cm ， 所以。

所以。

设
，则。

在Rt △ECF 中，，即
，解得。

即EF 的长为5cm 。

周长是2+6，易知
31、分析 由斜边长是2，
两直角边的和
是6，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握． 解：设直角三角形的两直角边为a 、b ，根据题意列方程得：
2222,226
a b a b ⎧+=⎪⎨++=+⎪⎩
即22
4,6.
a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ②式两边同时平方再减去①式得： 2ab=2，
∴
12ab=12． ∴S=1
2
．
因此，这个三角形的面积为12
．
32．24（提示：利用勾股定理即可求出） 33．长方形的对称轴有2条，要分别讨论：
①②
A
D C
B
c
b
a
（1）以A 、B 为对称点（如图） ∵S=AB ×BC ，AB=2， ∴BC=AD=
2
S ． 根据对称性得DF=
1
2
AB=1． 由于∠D=90°，据勾股定理得：
AF=2
2
2
14
S AD DF +=+=
1224S +
（2）以A 、D 为对称点（如图） ∴BF=
12BC=4
S
． 由∠B=90°，据勾股定理得：
AF=22
2
416S AB BF +=+=
2
1644
S +． 34．D
35、分析 图形沿EF 折叠后A 、C 重合，可知四边形AFED ′与四边形CFED 全等，则对应边、角相等，∴AF=FC ，且FC=AE ，则△ABF ≌△AD ′E ，•由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积． 解：∵图形沿EF 折叠后A 、C 重合， ∴四边形AFED ′与CFED 关于EF 对称， 则四边形AFED ′≌四边形CFED ． ∴∠AFE=∠CFE ．
∴AF=FC ，∠D ′=∠D=∠B=90° AB=CD=AD ′． ∵AD ∥BC ， ∴∠AEF=∠EFC ． ∴∠AEF=∠AFE ． 则AE=AF ．
∴Rt △ABF ≌Rt △AD ′E ． 在Rt △ABF 中，∵∠B=90°， ∴AB 2+BF 2=AF 2．
设BF=x ，b 2+x 2=（a-x ）2，
∴x=222a b a
-．
∴S=2S △ABF =2×12bx=2×1
2
·b ·222a b a -=22()2b a b a -．
2-2
36．
21
4
（提示：利用Rt △ABE 的勾股定理即可求出） 37．0.8m 38．B
39、分析 先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形． 解：∵n 为正整数， ∴（2n 2+2n+1）-（2n 2+2n ） =2n 2+2n+1-2n 2-2n=1>0，
（2n 2+2n+1）-（2n+1）=2n 2+2n+1-2n-1=2n 2>0． ∴2n 2+2n+1为三角形中的最大边． 又（2n 2+2n+1）2=4n 4+8n 3+8n 2+4n+1， （2n 2+2n ）2+（2n+1）2=4n 4+8n 3+8n 2+4n+1． ∴（2n 2+2n+1）2=（2n 2+2n ）2+（2n+1）2．
∴这个三角形是直角三角形． 40．B
41．AF ⊥EF （提示：连结AE ，设正方形的边长为a ，则DF=FC=
2a ，EC=4
a
，在Rt △ADF 中，由勾股定理得： AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（2a ）2=54
a 2
． 同理：在Rt △ECF 中，EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516
a 2
，
在Rt △ABE 中，BE=34a ，则AE 2=a 2+916a 2=2516
a 2
．
∵54a 2+516a 2=2516
a 2
，
∴AF 2+EF 2=AE 2． ∴∠AFE=90°． ∴AF ⊥EF ．
42、A （点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）
43、分析 欲证△ABC 是直角三角形，在已知两边AC 、BC 的情况下求边AB 的长，比较困难；但注意到CD 是边AB 的中线，我们延长CD 到E ，使DE=CD ，•从而有△BDE•≌△ADC ，这样AC 、BC 、2CD 就作为△BCE 的三边，再用勾股定理的逆定理去判定． 证明：延长CD 到E ，使DE=CD ，连结BE ． ∵AD=BD ，CD=ED ，∠ADC=∠BDE ． ∴△ADC ≌△BDE （SAS ）． ∴BE=AC=12． ∴∠A=∠DBE ． ∴AC ∥BE ．
在△BCE 中，∵BC 2+BE 2=52+122=169． CE 2=（2CD ）2=（2×6.5）2=169．
∴BC2+BE2=CE2．
∴∠EBC=90°．
又∵AC∥BE，
∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．
∴△ABC是直角三角形
44．（1）③、④
（2）△ABC为直角三角形或等腰三角形．
45．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴∠C=90°．
将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E（如图）∴CD=DE， AC=AE=5．
则△ACD≌△AED．
又BE=AB-AE=8．
设CD为x，则x2+82=（12-x）2．
解之得x=10
3
．
∴AD2=52+（10
3
）2．
∴AD=513
3
．
46．过点C作CE⊥CP，并截CE=CP=2，连结PE，BE．（如图）
∵∠ACB=∠PCE=90°，
∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB．
即∠ACP=∠BCE．
∴△PCA≌△ECB（SAS）．
∴BE=AP=3．
在Rt△PCE中，
PE2=PC2+CE2=8．
又∵BP2=1，BE2=9，
∴BE2=BP2+PE2．
∴△PBE是直角三角形，其中∠BPE=90°
在Rt△PCE中，PC=CE，
∴∠CPE=∠CEP=45°．
∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．
47、分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt•△ADC的直角边．
∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程．
解：作AE⊥BC于E．
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=
12BC=1
2
×32=16． 在Rt △AEC 中，
AE 2=AC 2-C E 2=202-162=144， ∴AE=12． 设DE=x ，
则在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2， 在Rt △ACD 中，AD 2=CD 2-A C 2=（16+x ）2-202． ∴144+x 2=（16+x ）2-202 解得x=9．
∴BD=BE-DE=16-9=7．
48．连结AM ． ∵M 为CB 的中点， ∴CM=MB ．
又∵AC 2=AM 2
-CM 2，BD 2=BM 2-MD 2 ，
∴A C 2+BD 2=AM 2-M D 2． 又∵AD 2=AM 2-D M 2， ∴AD 2=AC 2+BD 2．
49．36（提示：连结BD ，利用勾股定理及逆定理即可求出）． 50．5cm （提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面，
连结AC （如图），此时线段AC 的长度即为最短距离． ∴AC=2
2
3(22)++=5（cm ）．
2-11。