上海市格致中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题(解析版)
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【答案】
【解析】
【分析】根据图形可求出 与棱锥 的体积之比，即可求出结果．
【详解】如图所示：
棱锥 可看成正四棱锥 减去四个小棱锥的体积得到，
设正四棱锥 的体积为 ， 为PB的中点， 为PD的中点，
所以 ，而 ，
同理 ，
故棱锥 的体积的为 ，
即棱锥 与棱锥 的体积之比为
故答案为： .
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形的面积公式计算即可判断①，在展开图中可知沿着 爬行即为最短路径，计算即可判断②.
【详解】 直径为10cm，母线长为15cm.
底面圆周长为 .
将其侧面展开后得到扇形半径为 cm，孤长为 ，则扇形面积为 ，①错误.
将其侧面展开，则爬行最短距离为 ，由孤长公式得展开后扇形弧度数为 ,作 ， ，又 ,
【详解】
故答案为：100
2.在三棱锥 中，点Р在底面ABC内的射影为Q，若 ，则点Q定是 的______心．
【答案】外
【解析】
【分析】由 可得 ，故 是 的外心.
【详解】
解：如图，∵点 在底面ABC内的射影为 ,∴ 平面
又∵ 平面 、 平面 、 平面 ，
∴ 、 、
在 和 中， ,∴ ，∴
同理可得： ,故
格致中学2021学年度第一学期高二期末考试
2022.1
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．
1.若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______．
【答案】100
【解析】
【分析】根据棱柱体积公式直接可得.
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，由 得出直线 与GF所成角，再由余弦定理得出直线 与GF所成角的大小.
【详解】连接 ，因为 ，所以直线 与GF所成角为 .设 ，则 ， ， ，又异面直线的夹角范围为 ，所以直线 与GF所成角的大小是 .
故答案为：
9.已知球面上的三点A，B，C满足 ， ， ，球心到平面ABC的距离为 ，则球的表面积为_____算即可得出结果.
【详解】因为 是直线的一个方向向量， 是平面 的一个法向量，且直线 平面 ，所以 ，
所以 ，解得
故答案为：-2.
8.如图，正方体 中，点E，F，G分别是 ，AB， 的中点，则直线 与GF所成角的大小是______（用反三角函数表示）．
【答案】
【解析】
【分析】利用百分位数的求法直接求解即可.
【详解】解：将所给数据按照从小到大的顺序排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
数据量 ，
∵ 是整数，
∴
故答案为： .
7.已知向量 是直线l的一个方向向量，向量 是平面 的一个法向量，若直线 平面 ，则实数m的值为______．
（1）分别求 以 获胜、以 获胜的概率；
（2）若前两局双方战成 ，后因为其他要事而中止比赛，间，怎么分奖金才公平？
【答案】（1） 以 获胜、以 获胜的概率分别是 ；
（2）分给 分别是 元， 元.
【解析】
【分析】（1） 以 获胜、以 获胜，则分别要连胜三局，前三局胜两局输一局，第四局胜利；（2）求出若两局 之后正常结束比赛时， 的胜率，按照胜率分奖金.
A. 90B. 75C. 60D. 45
【答案】A
【解析】
【详解】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，
∴样本总数为 .
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
【小问1详解】
点О是正四棱锥 的底面中心， 点О是BD的中点，
四边形PQDO矩形， ， 两点到平面APQ的距离相等.
正四棱锥 中，
平面 ， 平面 ， ，
，
设点B到平面APQ的距离为d，
则 ，即
解之得 ，即点B到平面APQ的距离为
【小问2详解】
取PC中点N，连接BN、ON、DN，则 .
平面 平面
正四棱锥 中，
【小问2详解】
解：估计该校高二年级学生的平均身高为 .
18.在四面体ABCD中，CB=CD， ，且E，F分别是AB，BD的中点，
求证：（I）直线 ；
（II） ．
【答案】（I）证明见解析．
（II）证明见解析．
【解析】
【详解】证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点
．
（II） ，又 ，
所以 ．
19. 两人下棋，每局均无和棋且 获胜的概率为 ，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金，
【小问1详解】
设 以 获胜、以 获胜的事件分别为 ，依题意要想 获胜，必须从第一局开始连胜 局， ；要想 获胜，则前 局只能胜 局，且第 局胜利，故概率 ;
【小问2详解】
设前两局双方战成 后 胜， 胜的事件分别为 .若 胜,则可能连胜 局，或者 局只胜 场，第 局胜，故概率 ；由于两人比赛没有和局， 获胜的概率为 ，则 获胜的概率为 ，若 胜,则可能连胜 局，或者 局只胜 场，第 局胜，故概率 .故奖金应分给 元，分给 元.
综上所述，过点 至多有一条直线与直线 ， 都相交.
故选：D.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.某校高二年级共有男生490人和女生510人，现采用分层随机抽样的方法从该校高二年级中抽取100名学生，测得他们的身高数据．
（1）男生和女生应各抽取多少人？
20.如图，点О是正四棱锥 的底面中心，四边形PQDO矩形， ．
（1）点B到平面APQ的距离：
（2）设E为棱PC上的点，且 ，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为 ，试求实数 的值．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）以三棱锥等体积法求点到面的距离，思路简单快捷.
（2）由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为 ，可以列关于 的方程，解之即可.
【答案】
【解析】
【分析】取 的中点为 ，连接 ，由面面角的定义得出二面角 的平面角为 ，再结合等腰直角三角形的性质得出二面角 的大小.
【详解】取 的中点为 ，连接 ，因为 ，所以二面角 的平面角为 ，因为 ， ，所以 为等腰直角三角形，即二面角 的大小为 .
故答案为：
6.以下数据为某校参加数学竞赛的 名同学的成绩： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .则这 人成绩的第 百分位数可以是______．
考点：频率分布直方图.
15.有一个圆锥形铅垂，其底面直径为10cm，母线长为15cm．P是铅垂底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅垂 侧面积为150cm2；②一只蚂蚁从P点出发沿铅垂侧面爬行一周、最终又回到P点的最短路径的长度为 cm．其中正确的判断是（）
A.①②都正确B.①正确、②错误C.①错误、②正确
故选：B.
14.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.
故 是 的外心.
故答案为：外.
3.将一枚质地均匀的骰子，先后抛掷 次，则出现向上的点数之和为 的概率是________.
【答案】
【解析】
【分析】
将向上的点数记作 ，先计算出所有的基本事件数，并列举出事件“出现向上的点数之和为 ”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】将骰子先后抛掷 次，出现向上的点数记作 ，则基本事件数为 ，
【答案】
【解析】
【分析】根据数列递增和递减的定义求出实数a的取值范围.
【详解】因为数列 是严格递增数列或严格递减数列，所以 .
若数列 是严格递增数列，则 ，即 ，即 恒成立，故 ；
若数列 是严格递减数列，则 ，即 ，即 恒成立，由 ，故 ；
综上，实数a的取值范围是
故答案为：
12.如图，在正四棱锥 中， 为棱PB的中点， 为棱PD的中点，则棱锥 与棱锥 的体积之比为______．
向上的点数之和为 这一事件记为 ，则事件 所包含的基本事件有： 、 、 ，共 个基本事件，因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算概率，解题时一般要列举出相应的基本事件，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题.
4.若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H、T，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为 ，则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为______．
， 直线 平面
平面 ， 平面 平面 ，平面 平面
平面 中，点E到直线ON 距离即为点E到平面 的距离.
中，
，
点P到直线ON的距离为
△ 中， ，
设点E到平面 的距离为d，则有 ，则
（2）若样本中男生和女生的平均身高分别为173.6、162.2厘米，请估计该校高二年级学生的平均身高．
【答案】（1）应抽取男生49人，女生51人；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样计算男生和女生应抽取的人数；
（2）利用平均数的计算公式计算求解.
【小问1详解】
解：应抽取男生 人，女生应抽取100-49=51人.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知 为直角三角形，求出 外接圆的半径，可求出球的半径，然后求球的表面积.
【详解】由题意， ， ， ，则 ，可知 ，
所以 外接圆的半径为 ，
因为球心到平面 的距离为 ，
所以球的半径为： ，
所以球的表面积为： .
故答案为： .
10.一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间 {红，黄，蓝，绿}，设事件 {红，黄}，事件 {红，蓝}，事件 {黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）．
,
cm,②正确.
故选：C
16.若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（）
A.不存在过点O且与直线a，b都相交的直线
B.过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交
C.过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交
D.过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交
【答案】D
【解析】
【分析】设直线 与点 确定平面 ，由题意可得直线 与平面 相交或平行.分两种情形，画图说明即可.
【答案】②③
【解析】
【分析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.
【详解】 {红}，则E与F不是互斥事件； 且 ，则F与G是对立事件； ，则E与F是独立事件； ， ，则F与G不是独立事件．
故答案为：②③
11.若 ，且数列 是严格递增数列或严格递减数列，则实数a的取值范围是______．
【答案】 ， ， ，
【解析】
【分析】先写出与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间，再写出其全部子集即可.
【详解】与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间为 ，此空间的子集为 ， ， ，
故答案为： ， ， ，
5.如图，在四面体 中，BA，BC，BD两两垂直， ， ，则二面角 的大小为______．
【详解】点 是空间中不在直线 ， 上的任意一点，设直线 与点 确定平面 ，由题意可得 ，故直线 与平面 相交或平行.
(1)若直线 与平面 相交（如图1），记 ，
①若 ，则不存在过点 且与直线 ， 都相交的直线；
②若 与 不平行，则直线 即为过点 且与直线 ， 都相交的直线.
（2）若直线 与平面 平行（如图2），则不存在过点 且与直线 ， 都相交的直线.
13.从集合 中任取两个不同元素，则这两个元素相差 的概率为（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数 和有利事件数 ，代入古典概型的概率计算公式 ，即可得解.
【详解】解：从集合 中任取两个不同元素的取法有 、 、 、 、 、 共6种，其中满足两个元素相差 的取法有 、 、 共3种.故这两个元素相差 的概率为 .
【解析】
【分析】根据图形可求出 与棱锥 的体积之比，即可求出结果．
【详解】如图所示：
棱锥 可看成正四棱锥 减去四个小棱锥的体积得到，
设正四棱锥 的体积为 ， 为PB的中点， 为PD的中点，
所以 ，而 ，
同理 ，
故棱锥 的体积的为 ，
即棱锥 与棱锥 的体积之比为
故答案为： .
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形的面积公式计算即可判断①，在展开图中可知沿着 爬行即为最短路径，计算即可判断②.
【详解】 直径为10cm，母线长为15cm.
底面圆周长为 .
将其侧面展开后得到扇形半径为 cm，孤长为 ，则扇形面积为 ，①错误.
将其侧面展开，则爬行最短距离为 ，由孤长公式得展开后扇形弧度数为 ,作 ， ，又 ,
【详解】
故答案为：100
2.在三棱锥 中，点Р在底面ABC内的射影为Q，若 ，则点Q定是 的______心．
【答案】外
【解析】
【分析】由 可得 ，故 是 的外心.
【详解】
解：如图，∵点 在底面ABC内的射影为 ,∴ 平面
又∵ 平面 、 平面 、 平面 ，
∴ 、 、
在 和 中， ,∴ ，∴
同理可得： ,故
格致中学2021学年度第一学期高二期末考试
2022.1
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．
1.若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______．
【答案】100
【解析】
【分析】根据棱柱体积公式直接可得.
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，由 得出直线 与GF所成角，再由余弦定理得出直线 与GF所成角的大小.
【详解】连接 ，因为 ，所以直线 与GF所成角为 .设 ，则 ， ， ，又异面直线的夹角范围为 ，所以直线 与GF所成角的大小是 .
故答案为：
9.已知球面上的三点A，B，C满足 ， ， ，球心到平面ABC的距离为 ，则球的表面积为_____算即可得出结果.
【详解】因为 是直线的一个方向向量， 是平面 的一个法向量，且直线 平面 ，所以 ，
所以 ，解得
故答案为：-2.
8.如图，正方体 中，点E，F，G分别是 ，AB， 的中点，则直线 与GF所成角的大小是______（用反三角函数表示）．
【答案】
【解析】
【分析】利用百分位数的求法直接求解即可.
【详解】解：将所给数据按照从小到大的顺序排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
数据量 ，
∵ 是整数，
∴
故答案为： .
7.已知向量 是直线l的一个方向向量，向量 是平面 的一个法向量，若直线 平面 ，则实数m的值为______．
（1）分别求 以 获胜、以 获胜的概率；
（2）若前两局双方战成 ，后因为其他要事而中止比赛，间，怎么分奖金才公平？
【答案】（1） 以 获胜、以 获胜的概率分别是 ；
（2）分给 分别是 元， 元.
【解析】
【分析】（1） 以 获胜、以 获胜，则分别要连胜三局，前三局胜两局输一局，第四局胜利；（2）求出若两局 之后正常结束比赛时， 的胜率，按照胜率分奖金.
A. 90B. 75C. 60D. 45
【答案】A
【解析】
【详解】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，
∴样本总数为 .
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
【小问1详解】
点О是正四棱锥 的底面中心， 点О是BD的中点，
四边形PQDO矩形， ， 两点到平面APQ的距离相等.
正四棱锥 中，
平面 ， 平面 ， ，
，
设点B到平面APQ的距离为d，
则 ，即
解之得 ，即点B到平面APQ的距离为
【小问2详解】
取PC中点N，连接BN、ON、DN，则 .
平面 平面
正四棱锥 中，
【小问2详解】
解：估计该校高二年级学生的平均身高为 .
18.在四面体ABCD中，CB=CD， ，且E，F分别是AB，BD的中点，
求证：（I）直线 ；
（II） ．
【答案】（I）证明见解析．
（II）证明见解析．
【解析】
【详解】证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点
．
（II） ，又 ，
所以 ．
19. 两人下棋，每局均无和棋且 获胜的概率为 ，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金，
【小问1详解】
设 以 获胜、以 获胜的事件分别为 ，依题意要想 获胜，必须从第一局开始连胜 局， ；要想 获胜，则前 局只能胜 局，且第 局胜利，故概率 ;
【小问2详解】
设前两局双方战成 后 胜， 胜的事件分别为 .若 胜,则可能连胜 局，或者 局只胜 场，第 局胜，故概率 ；由于两人比赛没有和局， 获胜的概率为 ，则 获胜的概率为 ，若 胜,则可能连胜 局，或者 局只胜 场，第 局胜，故概率 .故奖金应分给 元，分给 元.
综上所述，过点 至多有一条直线与直线 ， 都相交.
故选：D.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.某校高二年级共有男生490人和女生510人，现采用分层随机抽样的方法从该校高二年级中抽取100名学生，测得他们的身高数据．
（1）男生和女生应各抽取多少人？
20.如图，点О是正四棱锥 的底面中心，四边形PQDO矩形， ．
（1）点B到平面APQ的距离：
（2）设E为棱PC上的点，且 ，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为 ，试求实数 的值．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）以三棱锥等体积法求点到面的距离，思路简单快捷.
（2）由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为 ，可以列关于 的方程，解之即可.
【答案】
【解析】
【分析】取 的中点为 ，连接 ，由面面角的定义得出二面角 的平面角为 ，再结合等腰直角三角形的性质得出二面角 的大小.
【详解】取 的中点为 ，连接 ，因为 ，所以二面角 的平面角为 ，因为 ， ，所以 为等腰直角三角形，即二面角 的大小为 .
故答案为：
6.以下数据为某校参加数学竞赛的 名同学的成绩： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .则这 人成绩的第 百分位数可以是______．
考点：频率分布直方图.
15.有一个圆锥形铅垂，其底面直径为10cm，母线长为15cm．P是铅垂底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅垂 侧面积为150cm2；②一只蚂蚁从P点出发沿铅垂侧面爬行一周、最终又回到P点的最短路径的长度为 cm．其中正确的判断是（）
A.①②都正确B.①正确、②错误C.①错误、②正确
故选：B.
14.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.
故 是 的外心.
故答案为：外.
3.将一枚质地均匀的骰子，先后抛掷 次，则出现向上的点数之和为 的概率是________.
【答案】
【解析】
【分析】
将向上的点数记作 ，先计算出所有的基本事件数，并列举出事件“出现向上的点数之和为 ”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】将骰子先后抛掷 次，出现向上的点数记作 ，则基本事件数为 ，
【答案】
【解析】
【分析】根据数列递增和递减的定义求出实数a的取值范围.
【详解】因为数列 是严格递增数列或严格递减数列，所以 .
若数列 是严格递增数列，则 ，即 ，即 恒成立，故 ；
若数列 是严格递减数列，则 ，即 ，即 恒成立，由 ，故 ；
综上，实数a的取值范围是
故答案为：
12.如图，在正四棱锥 中， 为棱PB的中点， 为棱PD的中点，则棱锥 与棱锥 的体积之比为______．
向上的点数之和为 这一事件记为 ，则事件 所包含的基本事件有： 、 、 ，共 个基本事件，因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算概率，解题时一般要列举出相应的基本事件，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题.
4.若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H、T，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为 ，则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为______．
， 直线 平面
平面 ， 平面 平面 ，平面 平面
平面 中，点E到直线ON 距离即为点E到平面 的距离.
中，
，
点P到直线ON的距离为
△ 中， ，
设点E到平面 的距离为d，则有 ，则
（2）若样本中男生和女生的平均身高分别为173.6、162.2厘米，请估计该校高二年级学生的平均身高．
【答案】（1）应抽取男生49人，女生51人；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样计算男生和女生应抽取的人数；
（2）利用平均数的计算公式计算求解.
【小问1详解】
解：应抽取男生 人，女生应抽取100-49=51人.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知 为直角三角形，求出 外接圆的半径，可求出球的半径，然后求球的表面积.
【详解】由题意， ， ， ，则 ，可知 ，
所以 外接圆的半径为 ，
因为球心到平面 的距离为 ，
所以球的半径为： ，
所以球的表面积为： .
故答案为： .
10.一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间 {红，黄，蓝，绿}，设事件 {红，黄}，事件 {红，蓝}，事件 {黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）．
,
cm,②正确.
故选：C
16.若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（）
A.不存在过点O且与直线a，b都相交的直线
B.过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交
C.过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交
D.过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交
【答案】D
【解析】
【分析】设直线 与点 确定平面 ，由题意可得直线 与平面 相交或平行.分两种情形，画图说明即可.
【答案】②③
【解析】
【分析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.
【详解】 {红}，则E与F不是互斥事件； 且 ，则F与G是对立事件； ，则E与F是独立事件； ， ，则F与G不是独立事件．
故答案为：②③
11.若 ，且数列 是严格递增数列或严格递减数列，则实数a的取值范围是______．
【答案】 ， ， ，
【解析】
【分析】先写出与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间，再写出其全部子集即可.
【详解】与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间为 ，此空间的子集为 ， ， ，
故答案为： ， ， ，
5.如图，在四面体 中，BA，BC，BD两两垂直， ， ，则二面角 的大小为______．
【详解】点 是空间中不在直线 ， 上的任意一点，设直线 与点 确定平面 ，由题意可得 ，故直线 与平面 相交或平行.
(1)若直线 与平面 相交（如图1），记 ，
①若 ，则不存在过点 且与直线 ， 都相交的直线；
②若 与 不平行，则直线 即为过点 且与直线 ， 都相交的直线.
（2）若直线 与平面 平行（如图2），则不存在过点 且与直线 ， 都相交的直线.
13.从集合 中任取两个不同元素，则这两个元素相差 的概率为（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数 和有利事件数 ，代入古典概型的概率计算公式 ，即可得解.
【详解】解：从集合 中任取两个不同元素的取法有 、 、 、 、 、 共6种，其中满足两个元素相差 的取法有 、 、 共3种.故这两个元素相差 的概率为 .