曾谨言量子力学第一卷习题答案解析3第三章.docx

第三章：一维定态问题
［1］对于无限深势阱屮运动的粒子（见图3・1）证明
…
上（1—亠
2
12 / 兀 2
并证明当"T 00时上述结果与经典结论一致。

［解］写出归一化波函数:
(1)
先计算坐标平均值：
x=「|屮「曲=「dn 2竺曲显「（l — cos 込）xdx Jo X a a
gJo a 利用公式：
. xcos px sin px xs in pxax — --------------------- 1 -------- ；—
P P
—f 1T/ 2 2 / f 2 2 - 2 MX J 1 f" 2/1 2勿才、, x - 屮才 ax- —x sin 〜 ---------- ax-— 才Pl — cos ---------- ) ax
Jo J a a a
利用公式 ［才2
cos pxdx-—x 1 sin /zr +丄7才cos/zr —— sin px
J
p
矿
p
2/77L
V
(2)
才 cos pxdx -
xs in px cos px
(3)
(5) nnx
得
计算均方根值用s-$2 = 7-pj 2 J 以知，可计算7
/__/ 12 ~ 2/72^2
在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0, a ）范围中运动，各点的几率密度看作 相同，由于总几率是1,几率密度CD=-.
a
_ f" 」r z, 1 , a x - coxar = —xax=—
Jo Jo a 2
［解］（甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下:
（x<0 区）：屮=
(x>a 区)：H 7 = De~kyX
但仏三寸2腻人一Q 丨H
k 、三 J2同匕 _ Z ）/ 1i 写
出在连接点x=0处连续条件
（0<x<a 区）：屮=BdJC 沙
(2) (1) (3)
/c 2 三 J2/〃Z7
力
故当/?—> oo 时二者相一致。

#
［2］试求在不对称势力阱屮粒子的能
f 4= B+C
I k\A = ikAB—C} x=a处连续条件
Be ikl<i + Ce ikia = De kyi (6)
Bd® - C严=竺De kyi（7）
（4）（5）二式相除得
k x B-C
ik[ B + C
（6）（7）二式相除得
ik、_ B" _ C严
石一Bd^ + C严
从这两式间可消去B, C,得到一个k&出间的关系
ik、_ （心 + 右 + ik
石+%2）/"+（一£ +%2）才®
k、cos k^a-k2 sin k、a
/(心sin k’a* k z cos k z a\
解出tgkg得
tgk、a = /"J + "）+ 〃兀（〃
=0,1,2,...）〜k；-心
最后一式用E表示吋，就是能量得量子化条件:
個〃〃 + 一夕）
tg --------- a -- ------ -- 彳、，〜
卉夕-JW-勾“一刀
（乙法）在0<x<a区间屮波函数表示为
(8)
屮（才）=2?sin （禺才+§）
现在和前一法相同写出边界条件:
力=2?sin 5
(在x=0处) (9)
(在x=a处) k x A-局〃cos5 (10)
(11) 一(2 方cos/a+M = k^De(12)
(9) (10)相除得
加 3+»)=
写出(13) (14)的反正切关系式，得到:
E
------- + mn V x -E E
F Z77T V x -E
E V z -E
前述两法的结果形式不同，作为一种检验，可以用下述方法来统一。

试将笫二法所得的量子化条件, 等号左右方取其正切：
凤帀1+収2 A
此结果与笫一法相同。

#
[3]设质量为m 的粒子在下述势阱中运动:
00
求粒子的能级。

(解)本题是在半区才w(o, 00)屮的一维谐振子，它的肆定谴方程式
(11) (12)相除得
k
\
(13)
(14)
= tg 1
E — ------ s in
/c 2a= pji - sin "
\
左方
/
本题的波函数是
°’
炉 b) = <
刃+i
k<0)
_g2
方“2曲旧
在x>0的半区内与普通谐振子的相同，在负半区（才（0）屮卩（才） = 0。

一-般谐振子的函数巾（x ）满足篩氏方程式：
2m dx= 2
z mo )
、
(a = )
ti
为了使波函数e （X ）满足标准条件，级数（4）必需屮断。

此外由于本题情形屮应满足边界条件（波 函数连续性），x=0时巾（x ） =0,即u （0） =0«因而必需取s=l,它的递推式是（6）,因此如果级 数（4）中断，而（4）的最高幕是n=2m,在（4）式中取s=l, “° HO,⑷=0 ,则在（6）式中取
n 为最高基时:
由（3）得
式中的m=0,l,2,3,4,……
（7）式即我们需求的粒子的能级。

fico
< 3、 tlCD = * 3) “ + ― 2/77+ — 2 < 2丿
< 2
E=2
/?CD (1)
作自变量变换§ 并将波函数变换: 屮(X )= e 6/(g)
得u 的微分方程:
tlCD
设（2）的解是级数：= § ”勺+
+…"〃了' +…
将（4）代入（2）知道，指标s 的值是s=l 或s=0。

(2)
(3)
(4)
此外又得到相同的二个未定系数5 e+Z 间的关系有二种:
s=0 时,
2//+1—a
，/，2
(/7+ 2)(/7+ 1)'
(5)
s=l 时,
2 77+
3 —
几
(6)
2/?+ 3—a
(〃+3)(〃
是归一化常数，仏”冲（日是奇阶数厄米多项式。

#
［4］考虑粒子（E 〈0）在下列势阱壁（x = 0 ）处的反射系数。

（解）本题中设想粒子从左侧入射。

在（x 〈0〉区中有入射反射波
（z ）
-下 ----- Z
--------------
屮13 =力纟如+尿一知 （1）
在（x>0区）中仅有透射波 屮=
（2）
但 右=J2 加龙+%）/方
k 2 =y/2^lti
考虑在原点0 （x=0）处波函数屮（X ）和一阶倒数屮'（X ）的连接性，有: 出（0）=屮2（°） 即
A+B=C （3）
屮；（0）=屮;（0）
即（力 + 叭
ik 、= CiX
（4）
因按题意要计算反射系数R,
—反射几率波流密度|厶|
"入射几率波密度］«/」
Rk 、 m
同理
J A =
若求比值，可从（3）（ 4）消去C,得到：
=
kl M2
Ml b+斤2I 血丿
[5]试证明对于任意势垒，粒子的反射系数T满足R + T= 1。

（解）任意的势垒是曲线形的，如果V （x）没有给定，则屮（x）不能决定，因而无法计算各种儿率流密度。

但如果附图所示V （x）满足二点特性：
(1)lim 沿)=乙
.r->oo
(2)lim l\x} = 0
才Tec
我们近似地认为当才T 00时波函数的解是屮吠E-岭）/方）
X—> -00时波函数的解是
屮（” =Ae iKx +尿％% =丿^万万/ M
但由于粒子几率流的守恒（V （x）是实数函数）：在数量上入射几率流密度乙应等于反射的乙和透射的厶的和，B|J：
w=w+w
(1)
仿前题的算法，不必重复就可以写出:
这里的（1）（2）是等效的，将（1）遍除|彳得：
1 = |乎|+|乎|即1 = 7+*得证
将（2）式遍除如|彳得另一种形式:
m
#
[6]设在一维无限深势阱屮运动的粒子的状态用:
4 . TIX 2 兀X -=sin —cos — Jo Q a
描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。

（解）（甲法）一维无限深势阱的本征态波函数是
题给波函数可用本征函数展开:
因此屮（x ）是非本征态，它可以有二种本征态，处在
（乙法）可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求C,其余同。

按一般原理，将已知函数 屮（才）展开成算符方的分立本数谱屮」”时，有
屮2）=工G = \屮"）屮』彳加
在本题屮，有
屮（工）
1 + COS
i{
2sin
7LT c ・亦 2xr
---- 2sin —cos --------
2sin TIX
>
这时能量是点 这时能量是厶
71X(
71X
・ 1)71X
.
—+ sin ------ -sin
a
a
态上的几率是
£
2
处在%(x) =
态上的几率是
]_
2
• m • 3TLT ' sin — +sin I " Q 丿
1(" •
= ---------------- sin
a .(加一3)处
+ ------ — s in ----- ----- --
[77-3)71 a
a . /Z7+ l)xr
------ sin
加+
1)7T
a • ------- s in /力+3)兀 a
mm . 7ix 2 /
------sin —cos_—ax
a sin [m- l)zr JL? (/〃_1)兀
sin (〃7 + 1)兀 * sin (〃7 — 3)兀 sin (zzz+
fn-3）兀
3)J
/〃 + 3)7T 按罗比达法则最后一式只有加-1 -> 0,加-3 T 0有贡献相当于m=l,或3。

C\=备C 2 =-j=,其余与甲法同。

［7］设一谐振子处于基态，求它的（山比（些）2并验证测不准关
系:
（解）（Ar ）? = X ） _（才由对称性知道x = 0,（Ar ）2 =十，同理（少?）？ =” _（才也由对称 性知道^ = o,（M 2 = ”对谐振子而言，应先写出归一化波函数:
但
j 2
屮厂处）
麻25\
于是
7 = 2 ［」力疋缺2诉
为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式:
(1) (2)
(3)
此式作为已知的，不证。

将前式遍乘g,重复用公式
詁鼻爲◎+力绍」百）
= £｛*+2 ⑹+（加+1）滋§）｝ +碍
处）+（加_1） “川）｝ =占2〃+2（§）+（加+ £）0〃（§）
+列加_1）2" 一 2怎）
将此式代入
（2）
dx
a
刃+ 3)7ZX ・ mux
sin ------ a
A 1
+裁
+存弘-1）£穴心几住滋
此式最后一式第一项。

第三项都和力勿忆）的正交化积分式成比例，都等于零。

第二项和归一化积 分成比例；可以简化
7=2（加+£）丄瓷j 穴疋©睛
X 2 a <
=R*）=£（T
再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式:
（加'是振子质量）
将此遍乘对积分
00
-00
co
E \屮和”“X
-00
1
f
1
‘2
2
（/〃 + —） = 2/力（/〃 + —）力①一/力「3
2 2
=刃'（加+ ―）方60
2
测不准关系屮的不准度是:
方
2/力 dx 1
co
dx - 2mE- zz/2co 2
'丄
2
2 2方（〃?+ —）/zco - 〃
1
力
&•》= （加+ —）力 因m=0, 而5r •少=—
[8]设粒子处于无限深势阱屮，状态用波函数1//（羽=顶"-才）描述，力=讣买是
归一化常数,
求（1）粒子取不同能量儿率分布。

（2）能量平均值及涨落。

（解）在物理意义上，这是一种能量的非本征态，就是说体系在这种态上时，它的能量是不确定的，肆 定W 方程是能量的本征方程，波函
但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是：
按壳加原理非木征态可用木征函数谱展开:
<” =j i//（x ）i//*（x ）^Zr= x （a- x ）s'm ^^-dx
利用积分公式：
r . . 一“cos px sin px xs in pxdx= --------------- + ----- ；— J P P
「
X
1
= 2〃7‘（〃7+ g ）力60
一 加 20）2 •丄
（/〃 + —） = 2方（/力 + —）力3_ 说
2®
2 2
=加'（加+ *）方少
测不准关系屮的不准度是:
这种解是能量本征态，相应的能量E=空3
⑴皿讥亠警
（1）
dx = 2曲E — m 2co 2
8x-彳（\
丫）
h z 1
方方6）（刃+ *）
程式。

-sin —（尸1,2,3, a a
才2 2才
一一)cos /zr+ —^sin px
P 卩匸
于（2）式，可求得：乙二竺®
Ti n
此式只有为奇数时才不为0,故只有量子数奇数的态
代（6）式得万=竺7
mcr
另一方法是直接依据题给的能量非本征态用积分法求平均值:
a
处_ /) • ( -------- (ax- x1、dx
0 72/77 dx2 7(2/_1)处
sin -------------
3^ +……* gif a + ............... } (4) 仍是归一化的，故粒子具有能级:
* 3^60.2 960
(5)
（2）能量的平均值可以按照已知几率分布的公式计算:
万比；—960林沪
n“ 7T6"62/77^
960A2
2況/罗&奇数）(6)
根据福利衰级数可计算Y-^-（n奇）有几种方法,
例如:
如"5一2|忙―笃豐芾
(-71 <X <71)
上式屮令x=0立刻得
s—=1+1 幺(2/7-1)4
1
34 +F+7
兀
4
96
护52
卩（才）=
• 3处sin
+
"卑 #1一2（处-/）必=头 cr 2 /方； mcT
能够这样的原因是是厄米算符.
（3）能量的涨落指能量的不准度8£=^£-（£）2现需求能量平方的平均值,这可利用前半题结果，既 的
值来计算. 耳&:也=工饗•伴
240/?4 y 1 2 ?
4 / 丄
Tin 爲矿
1
5
1
fiY —=y ——!—
幺（2一1）2
z,
1 1 1 1
关于此求和式若时 十尹歹+尹也用福利衰级数
（展开区间仔 心）此式中可収/=1,
〒 30 力 4 ★ （30/?4 25力 4 75/22 E =硏、比珂"一刁厂刀
（补白）：本题若直接用积分求要利用厄米性:
= j （尿）*（加）弘
[9]一-维无限深势阱中求处于 d 态的粒子的动量分布几率密度|（p （/2）|2 O
-sin — 是已知的，所以要求动量分布的儿率密度，先要求动量波函数, a a
这可利用福利衰变换的-•维公式:
以八忌用/九爭r
利用不定积分公式
丿心）十£（~1）Z \sin （2八 1）宀
71
代入才=丄得兰
2 8 -若（2—1）2血■）「若（2—1）2
\e-^pxdx^pX ~P ^pX
用于前一式:
IP ・ -—sin a Ti
ipa e lh
cos — (n 奇数)
cr p 「一矿兀寸「 21i
rmx rm mix
------------ cos ------ 』__匕 ------------ €
- 2〃A /勿力2
?
? ? ? 4- 7
erp- 一矿
ipa
• pa sin -—, 2方
（n 偶数）
动量几率密度分别是
4力2°加2 pa 一〃2兀幼2）2 COS —
（n 奇数）
sin 2 pa 2
方
（n 偶数）
#
[10]写出动量表象屮谐振子的篩定谭方程式，并求出动量几率分布。

（解）（一）主要方法是利用一维动量波函数的变换式：
co
©（〃）=
-ipx/
，% dx
(1)
先写出座标表象的薛定谭方程式:
(2) 遍乘再对坐标求积分，的到一种关系式:
+筈
h d
---------- p i dx
x —> hi —
dp
各项:
1
"屮
J" e ipx,h dx = f 空［如〃(才)］纟如滋 J r dx J dx 8
co
+
—00
co
j x 1 GpT 叽 5dx
-00
月2 8
5就宀曲
32 __ —fi _ —r <p (zO J2 加
将(4) (5)代入(3)再加整理后，得到动量表象的肆定铐•方程式:
2m 2 dpJ
最后-式已将偏导数石改成导数各⑹和(2)的形式相似，因此如果在(2)式中作以下替
代，就得到(6)式:
利用分部积分，并使用lim V /〃(X )T O
才一＞8
lim
才"d) TO 的边界条件，分别计算(3) dx
dx
dx
=¥屮”e
n
00 ・ .00 i
力力
-00
00
-co
(5)
（二）动量波函数的计算
根据动量表象的薛定谭方程式（6）,先设法将（6）变形，形成为和坐标衰象薛定谭方程式形式一 样，首先使二阶导数形式相同，将（6）遍除口2刀2得：
方沪(P p 1 _ E n
------ -- ----------- 1 --------------- (D — -------
Im dp_
2rrT®
府3
动暈的分布，即动暈儿率密度是:
本题是第一章第15题的特例，又因为势能的形式很特殊，所以能用类似方法求解。

假使换了别种形 式
的势能。

常要用积分方程求解。

[11]设粒子处在对称的双方势阱屮
r oo |.r| > b = Y 0 a < J \< b
% \A <a
（P
和（2）比较系数，发现若将动量表象式（3）
（7）式变成:
力 /(p
” En
---------- ------- 5—I 5—T 0 = —5—
2m dp 「 2rrrZ -- 叶农
(8)
但E 严丄—=航也 ,这样（8）和（2）形式全同，它们的解的形式也同，但（2）的
解是:
(9)
因此（8）或（7）的解是:
(10)
叭例2
=共厂旷"疋（妙）
Q 71 2 刃
(11)
0 e 麻
25
ZZ76O
但0
(1)在％Too情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并。

(2)证明乙取有限值情况下，简并将消失。

(解)本题的势场相对于原点0来说是对称的，因此波函数具有字称。

设总能量是E,又设/ = 励% 在区I'可(-00,-方)(-a, a) (b , oo)之屮波函数都是零，在区间(a ,b),设波函数是：
i/z(x)=力sin( ka+ ci) - 0 (1)
考虑x=a? x=b二连续条件：(势阱外面屮=0 )
厂卩(“)=力sin(屆+&) = 0
丫1//(力)=〃sin( Q+Q) = 0
从这里得到，因而得ka^a = //yr , kb^a - n 71.因而得a = -ka+ — kb+ HTt , n. / 是整数，满足边界条件的解是:
厂“sin k{x- a)
怜(x) = asin[ + 才・/z、
k ---- asm k\x- a}
再考虑区间{-b-d),设波函数：
i//2Cr)=方sin( £r+ 0) (5)
(x = -a)才=一方在二点的连续条件得
〃sin( 一ka* B) = O,〃sin( 一kb+ 0) = 0
得：—ka+ P = pre，一Q+ [3 = -但〃//整数，因此区间(一力厂“)的波函数:
2?sin ^(x+ d)(6)
也(才)=方sin[ k{x + a) + /?兀]=Y
J 一方sin %(才+Q)(7)
I//』*)和1/2 W Z间要满足奇或偶宇称的要求，才能成为一组合理的解，若令I//] (-x) = /(x)，得A=B, 相应的一组偶宇称解是：
r I//, (T) = ^sin k{x- d)
匚怜2 (x)= —力sin /c(x+ a)
同理令屮、(-T)= -/(才)，得到一组奇宇称解是
「i//[Cr) =+〃sin k{x- ci)(9)
jv/2(x) = 〃sin %(才+m)
力2护?(X)和力⑴是线性不相关的解，但却有相同的波数局因而也有相同的能级£=丝么•能级是分立
*■2/力
的,这可以从边界条件式w(m) = 0,岁2(切=0同时满足的要求看到，这两式推得
ka+ a = rm、kb+ a = tin
相减得k{b-a）~（//一〃）TT = M 7i
n是整数，可作为能级编号.
因此能级是
—)2是二度简并的
2〃？b a
注：在本题屮因为左右两个势阱对称，粒子在两者屮都能出现，和实际上是同一个函数，只是的取值范围不同.
考察乙为有限值情形的解，先设E＜人设区I'可(彳力)屮的解是
c 2mE i//](x)=力sin( 后+a)
k 1 =——
tr
代入边界条件f (切=0,的得 /(力)=力sin( Zx+a) = 0 因而 /cb+a = mi 0(x) = y/sin[ /(才一方)+ 〃7r]
力sin /（龙一力）
一力sin k{x-b)
在（-人一4）的对称区屮的解设是
7 777 F i/z 、（x ） = （^sinC kx+ y ） k 1
=—— 2 h
代入边界条件卩、（-力） = 0,得
屮2 （力）= sin （ 一kb+丫、— 0—^6+ y = rln
因而/ =砂+方兀，卩2（无）=Osin[ /■（£+方）+ //兀]
C Osin 刈才+力）
或 卩2（才）=Y
J _Csin/（jr+力）
S
J
-
^ X
」
一 屠 -
- 纟
彳 £//!/ / 7 Z / /
$( x)二
和％ = oo情形相同,C=A，偶宇称解是
叭（劝= _/sin底x+力）
奇宇称解是
r =力sin k^x-b)
匚叭(x) = +〃sin加x+力)
在区间(-彳a)内的解岁2 (才)满足篩定铐方程
-警(％-砂=0 n
~d?
但乙-£>0,令右2=2〃％-%,知道这方程式的解可用实指数函数或双曲函数，计算法相类似.为计算方便直接设定
(一彳8)区间偶宇称解i//2(x) = Bchk x x(5)
奇宇称解V2 CO = Bshk\X(6)
这两者都满足此区间的薛氏方程式•为确定能量量子化条件，可以建立在边界点工处，波函数及其一阶导数的连续条件.使用(3)和(5)有：
{…―(7)
i/z2(a) =(//1 (<?)即：k x Bchk x a- >L7cos k{a-b)(8)
(7)和(8)相除得：
£/何4= kctg/^a-11}
将此式改用能量E的项来表示,得到偶宇称态的能量量子化条件：
=“卉力} ( 9)
注意若使用边界点X二a上的连续条件，由于对称性得不到新解.
其次求奇宇称的能量量子化条件，为此先写岀x=a处连续条件，所用方程式是(4)和(6)
｛皿1“即： (3)
屮2 (a)=屮\ ⑺ B|J ： k\Bchk 、a= kAow & a- b) 相除得：k 、cthky a = kctgk^a-b)
改写成能量式子：
枫 _E E \ J2〃"-Z) 4
（9）和（13）是不同的方程式，它们所决定的能级是不相同的，
因此偶宇称波函数（3）和（5）与奇 宇称波函数（4）和（6）不具有相同的能量E,它们是非简并的.（9） （13）屮E 的分立解要用图解法, 与有限深势阱类似.
第二种情形是E>IQ 这种情形可不必作重复计算•因为
代入（5） （6）得（一彳8）区间的波函数:
（a ，b ）区间的解同于（1）式的$（才），｛-h-a ）区间解同于（2）式的 /（才）
能量量子化条件是:
奇宇称収-J2加（£-％）彳｝ = y[Ectg\五万
也是不同的方程式•奇偶宇称的波函数是非简并的。

#
(12)
(13)
令2加£一
偶宇称解 i//2 W = Bchk^x- 2?cos k 2x
(14) 奇宇称解
屮？(才)=Bshk jx= g/sin k z x
(15)
偶宇称： 职_ 昭 J2%g_勺計二丘叭
a-h ~~h~
a-h ~~h~
三冷彳，则
[12]
设粒子在下述
周期场V （x ）中运动（见附图）求它的能带。

（分£>
两种情
（解）EC.情形 为求能
带先要决定各个区间中的波函数,按题意粒子的薛氏方程式只有二种，在势垒之内，如 区间（一人0）； （“,“+〃）；（2“+力,2Q +2力）。

薛氏方程为：
今一警冷砂=0
df Ti
或
空-為-0 （但SW （1
df
方
它的解是实指数形式或双曲线函数形式,设区间（-A0）屮的波函数是：
在势垒外面的区间（一"一力，一勿;（0,勿；
空+知=0
（但
dx~
它的解是虚指数函数或者三角函数，用任何一种都可以，下面用虚指数的： 区问（0, a ）屮 W = Cd, D 严
（3）
但势能相同的区间波函数未必相同，应当依周期场Bloch 的定理来规定，在区间（Q4+力）的势
垒内，其波函数可根据$ （x ）推出屮2 （x ）=严他\ {x-a-b ） （4） 但K 是个未定参数
根据（2）旳（对=e M [Ae^x -^} + 尿％心"）
（5）
现根据所设各个区波函数写出边界点上波函数及其一阶导数Z 连续条件:
况）证明当方TO 时,若保持
=常数，上述周期场变成Dirac 梳:
tr
⑵
（Q +力,2Q +力）。

等，肆氏
在0点(不=0)处的连续条件是
1/1(0)=卩2(°) B- C+ D
{©)=必⑼取(力一B、=心- D)
在A点Cr=勿处的连续条件是
『必(切=/(4 = /3% (-勿
I 俐(“)〜；(“) =饬;(-力)
利用⑶(5)二式，二式写成
C护 + De~ika = e ik{a^\Ae Kb + Be klh}(8)
iklCd^ - DG^、= e ik^b}/^Ae Kb -尿竹(9)
若从⑹(7)(5)(9)中消去各个系数，可能得到一个关于波函数攵厶的约朿条件,这个条件含有
E(因为都用E的项表示)，可能是需要的能带条件，从(6)(7)解C和D使其用A,B的项表示: 0=(1-¥)彳+(1 + 半)彳
%(1+乎)彳+(1-豹彳
将此二式等号右方两式代入(8)(9)二式等号的左方部分，加以整理：
[(1 -劣'+(1 + V)+ [(1 + 年)'+ (1 - 年)刍严=AdZE'b + B JE"
[(1 一乎)2 + (1 +乎)刍幽一 [(1 +乎)兰+ (1-乎)2育沏=_位[力"3® M _尿恥5+的
2 2 2 2 力
(cos冷+血sin比7-/3处饥)力+(cos忌+sin冷一"(冈必力)方=0
k
(sin ^-―cos 冷""f)力+ (sin ^+―cos ka-—e,k{a^k\h^p - 0
k k k k
要使这组关于A,B的方程式有非平凡解，系数的行列式应当等于零
cos^4sin s/z* cos^4sin力严g
经过一些原理简单的计算，最后，前述条件简化成为下式
A2 _ A2
cos«(“+ b) - cos kachk^ h^
此式屮的参数K 理应是个实数，因cos «(“+力)的值只能局限在值域cos Kgb) e (-1,1) 之内，这个条件就决定能带，将前式屮心,心换成E 的项，则能带条件是:
一\5 顾訴加2啦一硝+需土^顾討J2"心—硝<\
凡能落在此区间的能暈都是可能运动的能暈 其次再考虑E> %的情形，这类似于自由运动，令
k\ =
_— = ~~^2 —= (3
则k\ = *代入(10)得到波函数约束条件
_k] _G
& + 泾
cos&（“+力）=cos £^cos 厶力+——= - s in km /sin k=b= cos kaz^k^h ----------- sin /cash k=b
Ikk^i ~ Ikk.
能带条件是
一 1 < cos 爲晋cos J2陀一嚅一 2益二)八航訥
勾紗 前述
的周期性矩形势垒从原理讲是能迫近于形周期垒的，为此仅需保持矩形面积不变令 方T0则人
TOO.但形势垒是相当笫一种情形，即E5 的为此可近似地设人-E"。

式可以加以变形：
〃? V b
在此式屮，収力T 0，乙T 00的极限，但在趋向极限过程屮，保持 = n (势垒强度)为有 tr
限量 又当力—> 0时，可令shsb » sb 、chsh « 1
cos b ） - cos Ka
ch^lfnV^ — = c 肩2Qb « 1
fl
Hkroscrft
w
Microsoft 公式
3.0
cos
1 +— 2
卡 s in 7ImE y s 〃」2加比 (14)式代成
.即 cos K- cos kaA-—sin ka
k
此式是问隔等于a,势垒强度Q 的梳状Dirac 周期势垒的能带公式. #
[13] 设粒子在周期场/（才）=人cos/ir 屮运动，写出它在刀表象屮的薛定谭方程式.
解木题的性质只在于建立方程式,并不需要解这方程式，所以不要利用周期的定期，而需要第 二章第15习题,本章第10习题类似的方法.
按第二章15题动暈表象薛定谭方程式是:（一维情形）
方/多二分0 + J SPe'MS ；%'
P
因为是定态方程式第一式重写作
P
展开（1）得到
K ? 1 厂川竹 厂刃化
力 +纟力、dx
00
利用常见的i 种函数定义.
e ）（A ）=—[Z r ^r
2亡
则前式直接表示成.
5（左一// +屈）+ 5（左一//一力力）｝
代入⑵得
2 ]
护）+汀*-八閒）+2八州
叭 p 、dp = Eqlp)
另一法:前法所得的方程式不易求解，另一法与木章第10题类似，座标表象方程式是:
A 27ltl
00
J 厂％ cos hxdx
(1)
・Y=Y>
(3)
2/力
]（p （7? +力力）+ 0（/?-屈｝ =
(4)
分呛)+ % cos (方弓)5木ZW)
(8)
遍乘以1 €叹，对X 求定积分. 丁2加
co
J 幺如方屮（Y ）cos 勿Mr
-00
=工（-1丫 土卜叫E 屮（劝族
<4
2^?!
“
一 g
[ K 0
=工（—1丫「（加?）叮严"Y （x ）〃
=丽•工（-1）"二（加少W ）
丁 2/z! dp
6
J2加 cos(/z/—)(/)(/?)
6p
a
（5）式（6）式的计算己在第10题证过，（7）式的算符cos （/?/—）是级数算符 dp
y （-ir —（A/—）〃简写；得所求方程式:
2/T ! dp
00
护
—00
j e gdx - 2，"F J e 屮 cos Ar 呦=0
00
(7)
按变换式卩3） = J ——讥对/"%
】2兀方
Microscitt
范
Microsoft 公式
3.0
力程式变成：
空+丄.空_（々十2用_尤_止/屮=o 睛 2 2§ 琦 4g 4
4§
（2）波函数变换:微分方程式（4）不易求解，为了将因变量屮变换，先找寻（4）在
/TOO
时的近似解，为此忽去（4）屮丄，丄有关项
[14] 设势场（见附图）是:
?（X ）= %（ -- ）1（"，才〉0）
x a
求粒子能级与波函数，证明其能级与谐振子相似。

（解）本题的解法是先将原来的薛定谭方程式变形，使其适 合于用级数求解，从波函数符合标准条件的要求得出能量量 子化条件，经变形后的薛氏方程式可以归属于合流超几何方 程式类别，因而最后用合流超几何函数表示波函数。

（1）爺氏方稈式变形:原方程式是：
晋 + 寻｛（夕+2乙）一 ％（为 2_%（£）2｝屮=0 dx~ Tr a x
作自变量变换才但§=（还）2, a dx er a
将原有的一阶、二阶导数变形：
(1)
c/Y dx
/屮—此”丹_ 4 dx 1 dx 睛 dx a 1
将前两式代入（1）,得:
/屮 1丹
2W
z “
夕+2«
乙
------------ 1 ----------------- 1 ------------- (-K -------------- -----
睛2
H 此
47?2 °
§
百2
用缩写文字：
(2)
(3)
(4)
V (z)1
（5）的具有波函数标准条件的解是：e 2，可认为波函数屮（才）是此近似解与另一函数
/©的积:
屮（g）y 丁/©
求相应的一阶、二阶导数：
变形，并项后，得・/（§）的微分
方程:
（3）级数解和量子化条件：
设方程式（7）的幕级数解是:
8
=勺了+少严+…+衣心
//=0
将（8）代入（7）,集项整理，得:
曲_ 1）+寸—需-唏Z +…
3
+ ｛［（$+" + 2）（$+ 〃
+ —） -
+ ［倚+2忙也 _£（$+” +1）］% “”
4
+ • • • = 0
使最低幕和通项系数等于零，得到指标s的植和系数递推公式:
s=— + — J1 + 4斥/
4 4~ 1
先考察级数（8）的收敛性质，求其邻项系数比值的极限，由（10）可知
Hm N = 9 〃鬥如I n (7) (6) (8)
(9)
3 屁2 (s+〃+2)($+ 77 + —) -!—(10)
将此二导数代入（4）,消去共有的纟2
k^cT + 2战a1一
k\Q
az
但是这个值与指数函数/本=工伙"）的相应的比值极限相同，因此级数/花）收敛性
质同于/①所以屮点）=幺丁/（g ）性质同于
(12)
但该函数在gToo 时，有一端趋于发散，不适宜作波函数，但如果级数（8）中断而成多项
式，则可以作为符合标准条件的波函数，从（10）可知若级数在第（〃 + 1 ）项屮断，则岛+|
=0,
在（10）中将"+1换"，得屮断条件:
利用式（3）,前式改写成:
因为"是整数，所以◎（能级）是分立的。

当洒极小的值时，前式中啥可忽视。

这和一维谐振子相似。

即使〃不很小，（13）也代表等间隔能级，这也和一维谐振子能级类 似。

（4）波函数的计篦：
前己知道/（g ）含有因式了'，因此/（g ）表示为:
(14)
为求尸忆）所满足微分方程，可将（14）式代入/（§）的微分方程（7）,容易看出:
竺=了竺+曾* 犹 此
d f 匕$ d F c r s-\ dF z ［、匕$-2 >-r 歹
以歹T 忆忑+血-呀F
将此一二阶导数连同（14）式代入（7）式，并项，遍除gz,最后得:
g # + {(2 呜)一苗涪 + &5人-W = 0
("=0」,23 …)
(13)
(15)
右久，+
77）—
1 +淖}-2乙
根据（6）和（14）知道方程式（1）的解是
%）=+于启产/（“磴书也却*;必片） a 4 占
2 a
[15] 设？（劝=——» （见附图），求反射系数 夕+ 1
（解）设能量是正值g 〉0要确定反射系数，我们 需要将势场看成一个势垒，同时要将波函数分解成 入射波和反射波两部分。

为此，首先对粒子的肆氏 方程式进行变换。

（1） 口变虽的变换：
_1
一兰
试令 ——=—e " = §
才
P
则有笛一-空=莖空一◎空 dx a dx dx a 此
将此式遍除变换自变量:
/ —、 C FF “ 1、 dF
+2^2^ -k x a 十八
（阮）尿帝+ ©+亍）"個碍+{
伽 一 "=
°
(16)
这种方程式在形式上可归属于“合流超儿何方程式”（Confluent hypergeometrie
equation ），后者的典型形式是：
上£ +仔“）空"〜0
d*
dx
(17)
合流超儿何级数的特解叫“合流超儿何级数”（或函数），特解有儿种形式，用途多的一种特 解是：
00
F (a,y) =》
/7=0
/ 1! y(y + 1) 2!
(18)
对照（16）和（17）,我们可以将（15）式的解写作:
F(^=F(s-
k}cr +2斤夕 _k 、a
(19)
(1)
J,
V (z)
E
Z _此d ( g丹、
----- = --------- ( ---------- )
d" dx 此a
"2屮1 丹
a a绘a此
d lx V g 丹
代入篩氏方程式:
上2”屮上丹"尤J *
n
心、丁一+§ — + 心 +—^}/§ =0 （3）
（2）波函数变换：为使微分方程式得到级数解，考察XT oo时的情形，由（1）可知这相当于§ =0的情形，方程式（2）简化成：
分+ g°
dx~
它的特解"3是或"加，根据自变量变换式⑴，这相当于:
可设屮（0 = 了知® （百）
代入（3）,约去公有的「3,整理后得:
~d^
S+
X
e a +1
屮=0
(4)
(5) 则有:
"2屮
- 2%（）么-"宀贽+%（）" （l+%o“）
-曲-2卩
得:
+ (1 — 2殆)“)(6)
该式属于“超儿何微分方程式”即Gauss 方程式，它的一般复数形式是:
才F
dF
z Cz-D-― +[(&+0 + l) z- y]-— + a(5F= 0 dz dz
此方程式的-个特解记作
厂/
门
、 pa (a +1)…(a + 〃一 1)
0・・・(0 + 〃一1) ,z
F Joe, p, y ； z) =y -------------------------------------- - -- -------------- z
y (/ +!)•••(/ + n- 1) n\
将（7）与（6）对比后，就能决定a, 0, y 所相应的值：（方程式（7）与14题的方程式
（16）不同）
a + 0 +1 = ' — Uk® afi = a 1 y - 1 -l//c Q a
从前两方程式能决定a, 0,得
a =（J 点+欧一 k ）力三（心一 /（））仏 P = -（J/（j +/； + 心）ia 三一（心 + A ））ia
于是得到方程式（3）的特解0 （g ）以及波函数屮（g ）的解如下：
屮（§）= 严如（0 = 鹽5仏-走）力，一（走+心）ia\_"kg g} （8）
这个解不能表达入射波和反射波的特点，仍需加以变换，为此利用超几何函数有关的一个恒 等式，将自变量£转变为丄
Z
+ ；*）；；；—F 0 + 1 0 + i'£
（10）
将这个关系用于公式（8）得到：
「（1 - 2%。

$）「（-2%o“）
r （一（禺+心）力）「（一％（）“一％2“）
（-）%{（心—心）ia （心+他）力,1+2雄力;丄}
r (l-2/^0a )r (2/^2a) r((k 2 -^0)/kz )r (l- z^0<7+ ik^a)
（—刖宀"円—& +血）力,（心—幻力,1 — 2金勿4}
F Jg (3, y ； z)=
「（y ）「（0 -a ） 「（0）「（y —
a ）
——y F{a, a + 1 - y, a +1 - 伤一}
屮（。

=百
X 再根据（1）式，见个前式屮百更换成-厂,得
（x）=（-ir v[{
「（1-2%0“）「（-
r （-（禺+他）力）r （1- ik^a-ik z a}
e lklX - F{（k2 -k x）ia、（走+心）iaA + 2k2ab-e a}
H ---------
r（
「（1-2%）「（2*2 刃
（心一心）icT） r （1 - ik^a-\-ik^
X
尺一（£+/（））ia、（心一血）力,1 一2卷力,一纟
"}］
这是用坐标才表示的，适用于势场内各点的波函数，现在求才T-oo （即§TYO）的渐
进解，对于曲线形势垒来说，反射系数常在垒壁很远处进行计算，本题的情形，垒壁在x = 0
X
处，但若令XT-oo,则-R—0。

因此（11）式屮超几何函数F只留下常数项，前式成为
屮（才）〜G/N +GR曲
笫一项代表入射波，笫二项反射波、反射系数
「（1-2牝刃「（-2%。

“）
（心一心）力）r （1 - ik{}a-ik z a}
C2 =
「（1 —2牝°）「QikQ
（力2 — A））ia\ r （1 一弘
o“+%20）
利用伽马函数恒等式
r （才+i）=刃（才）sin Zr = ishx
n sin Tlx
C2 ~ shn（心一k） a
C、shn（k{} + k） a
［16］在p表象屮，求解均匀V （x）二-Fx屮粒子的能量本征函数。

（设F〉0）
（解）建立动量表象中的一维薛定谭方程式。

根据第二章第15题以
及本章第10题的方法，薛定谴方程式用一维动量p作自变量吋，形式
是：（定态）
［《 + /（加£）］卩Egp\
2m op
在势能这一项上’将v 看作一个算荷’v 川原来含有的X 应更换战加习,然后将疋样构成 的势能算符作用到动能波函数卩（庐）上，因而在本题情形:
此式容易分离变量:
詈®盏历-爲dp
积分得:
In 防 一-型十常数 6〃?力沪BiF
Ep
（P = C 丽市
积分常数C 用动量波函数归一化决定:
Gqdp - S JE- E\ ■
P
这种计算是所谓“（5函数归一化”。

原因是波函数（3）实际上是平面波包，当〃T±oo 时
（P （0）不趋近于0,所以（3）实际上是不能归一化的，而只能令儿率积分等于这样
0*(/2,
Jp, E ^) dp-Cc\^ e hiF E E dp
=CC (2加R 8 JE —Eh
因而c 岛
本题可参看 Davydov ： Quantum Mechanics (1965)
[17] 粒子处在5势阱7（才）=-乍（才）（人＞0）屮，用动量表象屮的薛定谭方程式,
求解其束缚态的能量本征值及其相应的本征函数。

（解）（甲法）：
薛定铐方程式的确定，与第二章习题15、本章习题10的方法类似，但是不能简单地用
,Cr) = "(怖)
z
2m
（P （/?）一方沪 d (p
-£
(p (/?) (2)
(3)
(4)
dp ~h F
来得到结果，因为本题的情形
7（才）=_乙§（T ）= -^<5 （///—）
这种算符运用不便，可以用笫二章15题方法；写下坐标表象篩氏方程式（定态）:
方2矿屮
一—仝+ 73炸丹
2/77 dx 2
+ \^=e ipxih
V 屮(才)dx 丁2加
E
等号左方第二项被积函数屮的屮（才）再用福里哀变换使成为〃的积分。

左方第一项和右方 -•项按逆变换变成动量波函数的项:
J 严冷 \如dx 、V 3 =的（£）
I
P
即：匚<p （〃）+丄][|>05 皿？&）呦（P （/） dp' = Eq （Z7）
Im
2曲）】
p x
利用5函数的变换性质 }/（才）8 （x-x"）於=/（才），有
.r=-oo
a>
=一乙”宀〉"0 (x) dx
X=-00
遍乘以-^e -/pxih
丿2加
再对坐标积分:
(2)
(3)
力2
2/Z 7 17ltl
-叫d'i xih
前式屮等号左方的积分二- 2L
2/r
方
co
j（P（〃）dp =常数力
p =—co
动量表象的薛氏方程式成为：2—0 （/?）+ A =
（
不需积分就得到动量表象的波函数：（p（"） = 2mA
LnE- p1(3)
(4)
(5)
00
丄=一8
首先确定能量的本征值E （即允许的值），在本题中因为没有寻常的势阱问题中的边界条件 可以利用，这只能依靠积分式（3）来解决，将式（5）代入（3）,得：
£ 2zr 方
/7=—CO
消去力，并注意到在朿缚态情形夕＜0,可令— E=E 沁 前一式成为:
| 沁〃）dp - 1 p
利用不定积分公式
从（8）式求得：
（乙法）如果我们不要求首先得到动量表象薛定谭方程式，再根据它计算能量本征函数; 而是用任何方法来求得动量表象的能量本征函数，则可以先求得同一问题的坐标表象本征函 数，这个函数是：（参看课本P. 72. 48式）
利用从坐标动量的福利哀变换
co
(6)
m% c dp _ 〃叱 1 加丄2加夕+”
加」2虫
dp 即E J 喚,E=吨
2沪
~2h 2
(7)
常数力可以将波函数 （5）通过归一化计算来定
(8)
dp
+［亠+切旳
2cr cT + p_ a a
3
力=（二冋2滋戶
71
?（泄）3
71 方
(9)
屮（x ）
=
1 （P
（〃） 2加—
/也屮（才）dx
得：(p (/0。